河北保定市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题（含解析）

这是一份河北保定市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知，，，若，则， 已知复数满足，则， 在中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5-7节，必修第二册第六-七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逆用两角差的正弦展开公式求解即可.
【详解】sin48°cs18°−cs48°sin18°=sin48°−18°=sin30°=12.
2. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.
【详解】，所以共轭复数为.
故选：B.
3. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A. 30°B. 45°C. 150°D. 30°或150°
【答案】A
【解析】
【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.
【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．
故选：A
4. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可.
【详解】由，此时四边形 为平行四边形，
因为，所以 ，即对角线长相等，
故四边形为矩形
故选：C．
5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】.
6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合条件作图可得为等边三角形，再根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，所以是的中点，则是圆的直径，，
又，所以是等边三角形，，.
设，则，作于，则，
所以，即为向量在向量上的投影向量，
.
7. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可.
【详解】，，，
,
解得或，又，
则，，
故选：B.
8. 如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解夹角余弦值.
【详解】以为原点，建立平面直角坐标系如图：
依题意可知：，，，，，
则，，
所以，
，，
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为B. 为纯虚数
C. D. 和是方程的两个根
【答案】ACD
【解析】
【分析】先应用复数乘除法运算得出，结合共轭复数计算判断A，B，C，再根据方程求解计算得出复数即可判断D.
【详解】由题可得：，故，所以，故A正确，B错误；
，故C正确；
因为，，所以，，故D正确，
故选:ACD.
10. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若是的重心，则
C. 设为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积的比值为5
D. 若点在所在平面内，，且，则的面积是面积的
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：结合题意确定与的夹角，进而判断三角形形状；对B：利用向量的线性运算，将用和表示，验证等式是否成立；对C：利用向量的中点转化，建立面积之间的比例关系；对D：通过向量转化，结合三角形面积与底高的关系，推导与的面积比.
【详解】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，
故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误；
对B，由是的重心，可知，故B正确；
对C，取中点，得，代入条件,
得： 即共线，且.
和同底，高的比等于，因此面积比为，C正确；
对D，如图所示，设为中点，，
所以，即，
由，可得，即，，三点共线，
所以，故D正确.
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是该函数的一个单调递增区间
B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C. 若，则的最小值为
D. 若，函数在上有且仅有三个零点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】，A选项，由正弦函数单调区间可判断选项正误；B选项，得到平移后的函数解析式，后由正弦函数对称轴可判断选项；由，要使最小，则可取为相邻的两个最值点，据此可判断选项正误；D选项，设，由，，结合在上有且仅有三个零点可得关于的不等式，即可判断选项正误.
【详解】.
A选项，，，因在上单调递增，则是该函数的一个单调递增区间，故A正确；
B选项，函数的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为，其对称轴满足，，不包含y轴，故B错误；
C选项，若，要使最小，可取为相邻的两个最值点，此时为最小正周期的一半，即，故C错误；
D选项，设，则，，因函数在上有且仅有三个零点，则，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据余弦二倍角公式即可求解.
【详解】,
故答案为：
13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解.
【详解】如图，，，
，所以，则，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即，
所以，
所以此时小货船航行速度大小为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件?
（1）在虚轴上；
（2）位于第四象限.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据复数与复平面内点的对应关系建立关于的方程并求解；
（2）根据复平面内第四象限的点的实部大于0，虚部小于0，需列出不等式组并求解.
【小问1详解】
因为复数在复平面内对应点在虚轴上，
则有，解得或，所以或时，
复平面内表示复数的点在虚轴上.
【小问2详解】
复平面内，复数对应的点为m2−8m+15,m2−5m−14，
依题意m2−8m+15>0m2−5m−140m−7m+2