2026年安徽省芜湖市弋江区九年级质量调研检测数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年安徽省芜湖市弋江区九年级质量调研检测数学试卷（含解析）中考模拟，共6页。
2、请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3、请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4、请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 数1，0，，中最大的是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较数的大小，正数大于零，零大于负数；负数中绝对值小的数更大．
【详解】解：∵，且 ，
∴最大的数是1．
故选：A．
2. 在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：A、球的俯视图是圆，不符合题意；
B、四棱柱的俯视图是矩形，符合题意；
C、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意；
D、圆柱的俯视图是圆，不符合题意；
故选：B．
3. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“B”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵十亿，
∴．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的混合运算、合并同类项及完全平方公式对各选项逐一计算判断即可．
【详解】解：对选项A，，所以选项A错误；
对选项B，与x不是同类项，不能合并，所以选项B错误；
对选项C，，所以选项C正确；
对选项D，，所以选项D错误．
5. 若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可能是（ ）
A. 16B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知关于的一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键．直接根据一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且，
∴ k 的取值可能是．
故选：D．
6. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
7. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．
【详解】如图：连接，交于点O，
因为、、、分别是四边形边的中点，
∴；，， ．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵四边形面积为，，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∴．
8. 顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．
作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作的平分线交于点P，

由题意中的函数图象得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴点P运动的路程是．
故选：B．
9. 如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中，正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，可判断A错误；利用抛物线与x轴的交点得出①，②，整理得出可判断B错误；由可判断C错误；分别求出，，可判断D正确．
【详解】解：A．∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线为，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在和之间
∴，
∴0；故A错误；
B．∵抛物线与x轴的一个交点，
∴①，抛物线x轴的一个交点，
∴②，
，得，
把代入①得，，
∴，
∴，故B错误；
C．∵，
∴，故C错误；
D．∵，
∴．
∵，
∴．
∵顶点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故D正确．
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点为该函数图象的“倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“倍平点”．则函数图象的“倍平点”的坐标是（ ）
A. B.
C. 或或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据“倍平点”的定义分和两种情况解答即可求解．
【详解】①当时，设Px,x2−4x+3，则Qx+1,x2−4x+6，
∴x2−4x+6=x+12−4x+1+3 ，
解得，
∴x2−4x+3=9−12+3=0 ，
∴P3,0；
②当时，设Px,−x2−4x−3，则Qx+1,−x2−4x，
若即时，−x2−4x=x+12−4x+1+3 ，
解得（不合，舍去）或，
∴−x2−4x−3=−1+4−3=0 ，
∴P−1,0；
若即时，−x2−4x=−x+12−4x+1−3 ，
解得，
∴−x2−4x−3=−16+16−3=−3 ，
∴P−4,−3；
综上，函数图象的“倍平点”的坐标是或或．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 在不透明的袋子中，仅有颜色不同的7个球，其中3个红球，4个黄球，随机摸出一个球是红球的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率，根据概率的定义，红球个数除以总球数即可得到概率．
【详解】解：袋中共有7个球，其中红球有3个，
因此随机摸出一个球是红球的概率为红球个数与总球数的比值，即，
故答案为：．
13. 如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正八边形的性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，求得的坐标是解题的关键．作轴于，求得正八边形的内角的度数，即可求得△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，进而得出，得到，利用待定系数法即可求得的值．
【详解】解：作轴于，
正八边形中，内角的度数为，
，
，
△是等腰直角三角形，
同理△是等腰直角三角形，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，，点D是边上一动点，过点B作交的延长线于E．若，．
（1）若，则___________；
（2）的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；
（2）过点作于，设的中点为O，连接，先证明，得到，所以当取最大值时有最小值，然后证明A，B，E，C四点共圆，得到当时，即点E是中点时，有最大值，再求出，即可得到答案．
求两条动线段比的最值问题，通常通过相似三角形的判定与性质，将两条动线段转化为一条动线段来解，对于求单一动线段的最值问题，往往可以根据其运动过程中图形的位置变化去找最值．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得；
（2）如图1，过点作于，设的中点为O，连接，
，
，
，
，
是定值，
当取最大值时有最小值，
又，
，B，E，C四点共圆，
是定值，
当时，即点E是中点时，有最大值，
此时，E，O，F三点共线（如图2），
，
，
，
，
，
，
，
．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为：，求值结果为：；
【解析】
【分析】先通分，再将除法转化成乘法约分到最简代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点O、M也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的．
（2）画出关于直线对称的．
（3）画出绕点O按顺时针方向旋转后得到的，保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先作出点A、B、C向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后的对应点、、，最后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B、C关于直线对称的点、、，再顺次连接即可；
（3）先作出点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转后的对应点、、，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，即为所求；
本题主要考查了平移作图，旋转作图和轴对称作图，解题的关键是作出平移，旋转后对应点的位置．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度．
【答案】每本书籍厚度为
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每本书籍厚度为，桌子高度为，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每本书籍厚度为，桌子高度为，
由题意可得：，
解得，
答：每本书籍厚度为．
18. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】博学楼的高度为9米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可．
【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴设，
则，，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博学楼的高度为9米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气； B．电解水；C．木炭还原氧化铜； D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼．要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
请结合统计图回答下列问题：
（1）填空： ， E所对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”？
（3）某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】（1）50，
（2）估计该校九年级 1100名学生中有165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格．
（1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用1100人乘以类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
抽取的学生人数为 (人)，
选择C的学生人数为 (人)，
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，：
【小问2详解】
(人)，
答：估计该校九年级 1100名学生中有 165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
【小问3详解】
根据题意列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种，分别为(C， D)， (C， E)， (D， C)， (D， E)， (E， C)， (E， D)，
∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)
20. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由切线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于得出，由等边对等角得出，等量代换得出，由同弧所对的圆周角相等得出， 进而可得出 ，由等角对等边得出．
（2）连接，先证明，设，则，解直角三角形得出，再证明，得出，进一步得出，即，解出x即可求解．
【小问1详解】
证明：为的切线，
．
．
为的直径，
．
．
，
．
．
又，
．
．
【小问2详解】
连接．
为的切线，
．
，．
，
．
．
．
设，则．
在中，
，，
．
为直径，
．
，，
．
．
在中，
，
．
，
．
解得．
．
半径的长为．
本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（1）【理解】
如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________；
（3）【运用】
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．
①当，时，如图4，___________；当，___________时，；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】（1）梯形的面积为或；见解析
（2）
（3）①6；3；②；见解析
【解析】
【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可；
（2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答；
（3）①根据条件画图即可解答；
②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解．
【小问1详解】
解：有三个直角三角形，其面积分别为，和，
直角梯形的面积为，
由图形可知：，
，
，
．
直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，；
【小问2详解】
解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为，
将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，
则；
【小问3详解】
解： ①如图，当，时，；
如图，当，时，；
②．
验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为，
在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和，
即180°⋅n−2+360°⋅m ，
可得180°⋅y=180°n−2+360°⋅m ，
故．
七、（本题满分12分）
22. 如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连结CQ，求证：；
（2）若，求的值；
（3）求证：．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析
【解析】
【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB即可；
(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；
(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵BP绕点B顺时针旋转到BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,
∴∠ABP=∠CBQ，
在△APB和△CQB中，
，
∴△APB≌△CQB(SAS)，
∴AP=CQ．
(2) 设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，
△ABC为等腰直角三角形，∴BC=，
在Rt△PCQ中，由勾股定理有：，
且△PBQ为等腰直角三角形，
∴，
又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，
∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，
∴△BQE∽△BCQ，
∴，代入数据：，
∴BE=，∴CE=BC-BE=，
∴，
故答案为：．
(3) 在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：
∵∠FAP=∠GCQ=45°，
且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，
故有△PFA≌△QGC(SAS)，
∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，
又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，
∴∠DFP=∠QGE，
∵DABC，
∴∠DFP=∠CEQ，
∴∠QGE=∠CEQ，
∴△QGE为等腰三角形，
∴GQ=QE，
故PF=QE．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA这条辅助线．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点．
（1）用含a的式子表示b，并求c的值；
（2）已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）．
①若，，求H点坐标；
②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围．
【答案】（1），
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；
（1）由对称轴得到，再把代入抛物线得到；
（2）①先得到，，即可求出，，再根据中点得到；
②设，，由中点得到，再根据和分情况讨论，求出或范围内的最小值，只要最小值大于0即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，，，
当时，，，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴；
②由（1）得，
∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴，
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
∵，
∴，
∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或．
A
B
C
D
E
A
(A， B)
(A， C)
(A， D)
(A， E)
B
(B， A)
(B， C)
(B， D)
(B， E)
C
(C， A)
(C， B)
(C， D)
(C， E)
D
(D， A)
(D， B)
(D， C)
(D， E)
E
(E， A)
(E， B)
(E， C)
(E， D)