浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：叶燕忠 审题人：顾侠
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的．
1. 若 ，则 （ ）
A. 5 B. 20 C. 60 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先根据组合数的性质求出 的值，再代入排列数公式计算 .
【详解】因为 ，所以根据组合数的性质可得：
或者 ，解方程得：
或者 .
因为 ，所以 .
那么 .
故选：B.
2. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次
取到红球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 ，则（ ）
A. A，B 相互独立 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断 A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断 BCD.
【详解】对于 A， ， ，A，B 不独立，A 错误；
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对于 B， ，B 错误；
对于 C， ，C 正确；
对于 D， ，则 ，D 错误.
3. 等比数列 前 n 项和为 ，则 的值为（ ）
A. 83 B. 108 C. 75 D. 63
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，由片段和性质得 ，
即 解得 ，即 .
4. 3 名男同学和 4 名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相
邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 240 B. 364 C. 432 D. 468
【答案】C
【解析】
【详解】先安排队头有 种排法，再安排队尾有 种排法，然后安排 4 名女同学有 种排法，最后在 4
名 女 同 学 中 安 排 剩 下 男 同 学 有 种 排 法 ， 根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 可 知 ， 不 同 的 排 法 种 数 为
．
5. 现有 10 个样本数据 ， ，…， ，可得经验回归方程为 ，且 ，若去
掉一个数据点 后，可以得到新的经验回归方程为 ，则实数 的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】根据回归直线过样本中心点 ，代入得：
，所以原 个样本的 值总和为： ，
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去掉 后，剩余 个样本的 值总和为： ， 值总和为：
因此新的样本中心点为： ，
因为新的经验回归方程为 ，回归直线必过新的样本中心点 ，代入得：
，解得： .
6. 随机变量 的分布列如表：则 的取值范围是（ ）
0 1 2
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用概率和为 求出参数 的值，再根据概率非负得到 的范围，然后写出期望，将方差表示为关
于 b 的二次函数，结合 的范围求出方差的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 解得 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 的取值范围是 ．
故选：D.
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7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用 0~7 这八个数字来表示数值.例如，八进制数 2051
换算成十进制数是 .那么八进制数 换算成十进制数 m，则十进
制数 m 的个位数字为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据八进制数换算十进制数的公式得到 m 的表达式，求出 的个位数字，或结合等比数列
的前 n 项和公式、二项式定理即可求解.
【详解】方法一：由题意知 ，
设 ，因为 的个位数字分别为 ，
所以 的个位数字之和为 ，
所以 的个位数字为 5，
所以 的个位数字为 5.
方法二：由题意知
，
又由二项式定理知
是 7 的倍数，
所以 是 10 的倍数.
又由二项式定理知 ，
所以 的个位数字与 的个位数字相同，
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同理， ，
所以 的个位数字与 的个位数字相同，
可得 的个位数字为 5.
，且 是 10 的倍数，其个位数字为 0，所以 的个位数字与 的
个位数字相同，即为 5.
综上，十进制数 m 的个位数字为 5.
8. 已知直线 与焦点为 的抛物线 相交于 ， 两点，且 ，线段 的中点 到
抛物线 的准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得 ，结合 计算即
可求解．
【详解】设 ，过点 M，N 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，如图，
因为点 A 为线段 的中点，所以点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
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所以 ，
又 ，所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，
即 的最小值为 ．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得 0 分．
9. 已知 则（ ）
A. B. 若 越大，则 越小
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性等知识求得正确答案.
【详解】依题意， ，所以 ，
所以 ，A 选项正确.
越大，正态分布的最高点越矮，远离 的数据越多，
越小，B 选项正确.
根据正态分布的对称性可知 ，C 选项正确.
，D 选项错误.
故选：ABC
10. 现有一半径为 的圆纸片（ 为圆心 为圆内的一定点)，且 如图将圆折起一角，使圆周正
好过点 把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到 两点距离之和最小的点为 如此往复，就能得到
越来越多的折痕，设 点的轨迹为曲线 为曲线 C 上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
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A. 曲线 的离心率是 B. 的最小值为 2
C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据折叠的对称性推得满足条件的点 满足 ，结合椭圆定义确定 的轨迹 是以
为焦点的椭圆，求出椭圆基本参数后，结合向量数量积、三角形外接圆与内切圆的相关性质逐一判断
各选项即可.
【详解】对于 A，设点 对应圆上折点为 则 ，原圆半径为 4，故 ，因此：
，
由椭圆定义，曲线 是以 为焦点的椭圆，其中 ， ，
得 ， ， ，
离心率 ，A 正确；
对于 B，以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，椭圆方程为 ，
设 ，则 ，
代入 得：
， ，故最小值为 ，B 正确；
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对于 C，由正弦定理， 中 ，得 ，
根据椭圆性质，当 为短轴端点 时， 最大，此时 为等边三角形，
， ，故 ，C 错误；
对于 D，内切圆半径 满足 ，半周长 ，
面积 ，故 ， 最大值为 ，故 ，D 正确.
11. 已知正四棱台 的侧面积为 9， ， ， 为 AD 的中点，点 在侧面
内运动（包含边界），且直线 与平面 所成角的正切值为 ，则（ ）
A. 正四棱台 的体积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 过 ， ， 三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为
D. 若 均在同一球面上，则该球的表面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】先由正四棱台的侧面积求每个侧面梯形的面积，再求侧面梯形的高、侧棱长和棱台的高，利用棱
台体积公式判断 A 项；对于 B 项，取 的中点 ， 的中点 ，在平面 内作出点 到平面
的垂线，结合线面角的正切值得到点 的轨迹是侧面梯形内某圆的一部分，再判断其轨迹长度；
对于 C 项，利用 和 确定截面为等腰梯形 ，再计算其周长；对于 D 项，建立
空间直角坐标系，设过 ， ， ， 的球的球心为 ，半径为 ，列方程求 ，进而求球
的表面积．
【详解】因为正四棱台 的侧面积为 ，所以每个侧面梯形的面积为 ．
设该正四棱台的侧棱长为 ，则侧面梯形的高为 ，所以 ，解得
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．
设 正 四 棱 台 的 高 为 ， 由 于 上 下 底 面 对 应 顶 点 在 底 面 上 的 水 平 距 离 为 ， 所 以
．
对于 A 项，正四棱台上、下底面面积分别为 和 ，所以体积 ，A 项正
确．
由上述分析可知，侧面 的高为 ．
取 的中点 ，连接 ， ， ，则 ．因为 ，所以 ，从而四
点 ， ， ， 共面．因此过 ， ， 三点的平面截该正四棱台所得截面为等腰梯形 ．
其 中 ， ， ， 所 以 该 截 面 的 周 长 为
，不是 ，C 项错误．
如下图，取 的中点 ，连接 ， ．
易知 ， ，且 ，所以 平面 ．又 平面 ，所以
平面 平面 ．
过点 作 ，垂足为 ，则 平面 .连接 ，则 为直线 与平面
所成的角．
在 中， ， .过点 作 于点 ，则 ．
因为 ，所以 ．
由题意得 ．又 ，所以 ．因此动点 在以 为圆心、 为半径
的圆上．
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又 ，而点 在侧面 的边界上，所以该圆不可能全部
位于侧面 内．
因此动点 在侧面 内的轨迹不是整个圆，轨迹长度小于 ，B 项错误．
以正方形 的中心 为原点，过点 且平行于 的直线为 轴，
过点 且平行于 的直线为 轴，过点 的高所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ．
设过 ， ， ， 的球的球心为 ，半径为 ，则
由第三个方程与第四个方程相减，得 ；由第一个方程与第二个方程相减，得 ，所以
．
再由第一个方程与第三个方程比较，得 ，解得 ．
所以 ，该球的表面积为 ，D 项正确．
故选 AD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 曲线 在 处的切线方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的斜截式、一般式进行求解即可.
【详解】由题意知 ，故切线的斜率 ，而切点为 ，
故切线方程为 .
故答案为：
13. 圆 上任意一点 ，若 的值与 ， 都无关，则实数 的
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取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由圆上点横纵坐标的取值范围知 ，据此由恒等式知 恒成立，
分离参数后，令 ，利用直线与圆有公共点得出 的范围得解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
由点 在圆 上知， ， ，
所以 .
则 ，
由 的值与 ， 无关，可得 恒成立，
即 恒成立，从而得 .
令 ，即 ，
易知直线 与圆 有公共点，
则 ，解得 ，故 ，
，故 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知数列 的前 项和 ，若实数 满足 对 恒
成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据 之间的关系，结合数列奇数项和偶数项的单调性、任意性定义进行求解即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
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两式相减，得 ，
当 为偶数时， ，显然 适合，
当 为奇数时，
，
所以 ，
所以当 为偶数时， 此时数列单调递增， ，
而 ，所以 ；
当 为奇数时， ，显然此时数列单调递减，
，而 ，所以 .
因为实数 满足 对 恒成立，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．
15. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的 480 名同学进行了
问卷调查，得到如下 列联表：
对活动的评价 满意 不满意 合计
男生 240 40 280
女生 120 80 200
合计 360 120 480
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（1）根据小概率值 的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；
（2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取 2 名男生和 4 名女生，从中任选 3 人了解不满意的原因，记选中
的 3 人中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）与性别有关
（2）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）提出零假设，计算出 的值并比较大小即可得出结论；
（2）易知 的所有可能取值为 0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望.
【小问 1 详解】
零假设为 ：对活动的评价与性别无关，
根据表中数据可得， ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯
错误的概率不超过 0.001.
【小问 2 详解】
的所有可能取值为 0，1，2，
，
故 的分布列为
0 1 2
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.
16. 记数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）证明 是等差数列，并求 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用 ，结合等差数列的定义即可求解；
（2）使用等差数列前 项和公式求得 ，再使用裂项相消结合 的取值范围即可得证.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，
即 ，
由于 ，所以 ，
，解得 ， ，
所以 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，得证，
即 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
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所以 ，
则
即 ，
又因为 ，所以 ，故得证.
17. 如图，在梯形 中， ， ， ， ， 于点 ，
于点 ，将 沿 翻折，将 沿 翻折，使得点 重合为点 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 外接球的表面积；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）通过折叠性质，可得 平面 ，再结合面面垂直的判定定理，即可证明；
（2）根据几何体体特征，可得四棱锥 外接球的球心 在过 且与平面 垂直的直线上，
建立空间直角坐标系，设 ，由 ，得 ，进而可求外接球的表面积；
（3）由（2）建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面 与平面 的法向量，再结合
二面角的向量求法即可求解.
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【小问 1 详解】
在梯形 中， 于点 ，故翻折后 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
在梯形 中，因为 ， ， ， ， 于点 ，
于点 ，
所以四边形 为矩形，且 ， ， ， .
取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，所以 ， ， 两两垂直.
所以以 为原点，过点 与 平行的直线为 轴，以直线 为 轴，以直线 为 轴，建立空间直
角坐标系如下图所示，
所以 ， ， ， ， ，
因为四边形 为矩形，所以 与 的交点 到 ， ， ， 的距离相等，
所以四棱锥 外接球的球心 在过 且与平面 垂直的直线上，
设 ，外接球的半径为 ，由 ，得 ，解
得 ，
所以 ，所以四棱锥 外接球的表面积 .
【小问 3 详解】
由（2）得 ， ， ，
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设平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，得一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，得一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知函数 .
（1）求 的导函数 的极值；
（2）不等式 对任意 恒成立，求 k 的取值范围；
（3）对任意 ，直线 与曲线 有且仅有一个公共点，求 b 的取值范围.
【答案】（1）当 时, 有极小值 2，无极大值.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值；
（2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可；
（3） 有唯一解，构造函数 参变分离，
有唯一解，构造函数 ，借助导数研究函数的单调性即可.
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【小问 1 详解】
因为函数 ，所以 的定义域为
令 ，则 ，注意到 为增函数，且 ，
所以当 时, ， 单调递减；
当 时, ， 单调递增；
所以当 时, 有极小值 2，无极大值.
【小问 2 详解】
由题意可知 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
设 ，则
设 ，则
因为 在区间 上单调递增，所以
则 在区间 上单调递增，所以 则
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 .
【小问 3 详解】
由题意可知 有唯一解，
设
注意到，当 时, ；当 时,
所以 至少有一个解.
因为 有唯一解，所以 有唯一解，
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设 ，因为 ，所以 为单调函数，
则 恒成立，
设 ，则 恒成立,
则 所以 在区间 上单调递增，
注意到 所以当 时, 单调递减；
当 时, 单调递增；
故只需 即可， 所以
19. 已知点 在双曲线 上， 是 的左､右顶点， 是 的右焦点，
，且 是整数.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线与 的右支交于 两点，直线 与直线 交于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）若直线 与直线 交于点 ，求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）9
【解析】
【分析】（1）利用 和两点间距离公式得到 ，再结合点在双曲线上和
可得双曲线方程；
（2）（i）设直线 的方程，联立曲线方程，得到韦达定理，再表示出直线 、 的方程，解出交点
坐标可得；
（ii）利用与（i）同样的解法求出 点坐标，得到 ，再利用三角形面积公式可解.
【小问 1 详解】
第 19页/共 21页
设 的右顶点 ，右焦点 ，
由 得 ，
又 ，又 是整数，且 ，
所以 ，
所以 的方程为 .
【小问 2 详解】
（i）证明：由（1）知 ，
由题意可设直线 的方程为 ， .
联立方程 得 ，
则 ，
直线 的方程为 的方程为 ，
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所以
，
，即点 坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
（ii）解：因为直线 与直线 交于点 ，
同样可求得直线 与直线 交于点 .
，
，
，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又点 到直线 的距离为 3，
所以 面积的最小值为 9.