浙江省杭州市学军中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，解得 ，再求交集即可
【详解】 ，
解得 ，
．
故选：C．
2. 已知 z 为复数，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可知复数 z 对应的点 的轨迹是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆，进
而利用点 与点 之间的距离来求解.
【详解】法一：在复平面内，复数 z 对应的点 的轨迹是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆，
表示复平面内的点 与点 之间的距离.因为点 与原点 O 的距离 ，所
以 的最小值是 ，最大值是 ，故 的取值范围是 .故选:C.
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法二：因为复数 z 满足 ，不妨设 ， ,则
.因为 ，所以 ，所以 的取
值范围是 .
故选:C
3. 已知 满足 ，则 的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 由 已 知 等 式 可 得 ， 根 据 单 位 向 量 的 定 义 及 加 法 的 几 何 意 义 有
对应的向量在 的平分线上，进而有 的平分线与边 AC 垂直，结合等腰三角形
的性质即可得.
【详解】因为 ，所以 ，
利用向量加法的几何意义知， 对应的向量在 的平分线上，
所以 的平分线与边 AC 垂直，
所以 的形状一定是等腰三角形．
故选：A．
4. 如图所示，四棱锥 的底面为正方形，侧面 为等边三角形，且侧面 底面 ，
点 在正方形 内运动，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹一定是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线，
即可求得点 M 的轨迹
【详解】解：根据题意，可知 ，则点 符合“点 在正方形 内的一个动点，且满足
”，
设 的中点为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以
平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
根据题目条件可得 ，所以 和 全等，
所以 ，点 也符合“点 在正方形 内的一个动点，且满足 ”，
故动点 的轨迹肯定过点 和点 ，
而 到点 到点 的距离相等的点为线段 的垂直平分面，
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线段 的垂直平分面与平面 的交线是一直线，
所以 的轨迹为线段 ，
故选：B
5. 设 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，切化弦并结合二倍角的正弦公式求出 ，再利用同角公式及和角的正弦公式
求解.
【详解】依题意， ，解得 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ．
故选：B
6. 已知等比数列 中， ， ，则 的值为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】由等比数列的性质得到
又因为
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故得到原式等于
代入上式得到
故答案为 A．
点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本
量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和
项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律．
7. 已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，且
， 为 的内心，若 ， 则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 的内切圆半径为 ，由 ，得到 ，结合双曲线
的定义，求得 ，再由 ，得到 ，即可求解.
【详解】设 的内切圆半径为 ，因为 ，
所以 ，可得 ，
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因为点 为双曲线 右支上一点，
所以 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
故选：D.
8. 已知正实数 满足 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造 ，利用导函数可知 在 上单调递增，由 可得
，代入 得 ，再根据 的单调性可知 ，结合
和 的单调性可比较 的大小， 同理.
【详解】由已知可得 ， ， ，且 ，
若 ，则 ， ，此时 ，故 ，同理 ，
构造函数 ，其中 ， ，
则原等式等价于 ， ， ，
对 求导得 ，
因为 且 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 在 上单调递增，
由 可得 ，
所以 ，
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令 ，则 ，
由指数函数和对数函数的单调性可得 ， ，
所以 ， 单调递增，所以 ，
所以 ，
因为 且 在 上单调递增，所以 ，
同理由 可得 ，
所以 ，
同理可得 ，
因为 且 在 上单调递增，所以 ，
综上 ，
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9. （多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A. 数据 的第 70 百分位数是 23
B. 若回归方程为 ，则变量 与 成负相关
C. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则
D. 在线性回归分析中决定系数 用来刻画回归的效果，若 值越小，则模型的拟合效果越好
【答案】AB
【解析】
【分析】利用百分位数的计算方法判断 A，利用回归方程的相关性的性质判断 B，利用正态分布的对称性判
断 C，利用线性回归方程中决定系数的定义判断 D.
【详解】对于 A，数据 共 8 个数，
，所以第 70 百分位数是第 个数 ，说法正确；
对于 B，回归方程 中 ，所以变量 与 成负相关，说法正确；
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对于 C，因为随机变量 服从正态分布 ， ，
所以 ，所以 ，说法错误；
对于 D，在线性回归分析中决定系数 用来刻画回归的效果，若 值越大，越接近 1，则模型的拟合效果
越好，说法错误；
故选：AB
10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于
1，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 在底面 上的投影是线段 的中点
C. 与平面 所成角大于
D. 与 所成角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别计算 和 判断 A；设 中点为 ，连接 ，若 在底面
上 投影是线段 的中点应得 ，计算验证判断 B；计算 ，根据勾股
定理判断 ，则 与平面 所成角为 ，再计算 判断 C；计算
以及 ，再利用向量的夹角公式判断 D.
【详解】对于 A，由题意 ，
所以
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，
又因为 ，
所以 ，A 说法正确；
对于 B，设 中点为 ，连接 ，
则 ，
若 在底面 上的投影是线段 的中点，则 底面 ，
又 底面 ，则应该有 ，
因为
，
故此时 与底面 不垂直，B 说法错误；
对于 C，因为 ， ，
所以 ，
，
在 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 与平面 所成角为 ，
又因为 ，即 ，
所以 与平面 所成角大于 ，C 说法正确；
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对于 D，因为
，
所以 ，D 说法正确；
故选：ACD
11. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 在区间 上单调递减
B.
C. 在区间 上的值域为
D. 设函数 满足关系式 且 ，则 在 上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导，利用导函数的符号判断函数的单调性进而逐项判断即可.
【详解】由 得 ，
当 时， ， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递减，A 说法正确；
因为 在区间 上单调递减，所以 ，即 ，B 说法错误；
因为 在区间 上单调递减，当 时， ， ，
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所以 在区间 上的值域为 ，C 说法正确；
当 时，令 ，
则 ，对 求导得 ，
又 ，代入解得 ，
由 C 可知当 时， 恒成立，所以 即 单调递增，
因为 ，解得 ，
所以当 时， ，即 在区间 上单调递减，D 说法正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的对称中心是____________________．
【答案】
【解析】
【分析】解法一：利用三次函数对称中心的横坐标满足二阶导数为 0 求解即可；解法二：设对称中心为
，利用对称中心的概念令 ，解出 即可.
【详解】解法一：由题意三次函数 存在对称中心，则对称中心点的二阶导数为 0，
因为 ，令 ，
则 ，由 解得 ，
又 ，所以函数 的对称中心是 .
解法二：设 的对称中心为 ，
则 对 恒成立，
即 ，
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整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的对称中心是 ，
故答案为：
13. 数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则数列 的通项公式
____________________．
【答案】
【解析】
【分析】构造等比数列 ，利用等比数列的通项公式求出 ，再利用
与 的关系求解即可.
【详解】因为 且 ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ①，
当 时， ②，
① ②得 ，
当 时代入上式得 ，符合条件，
综上 ，
故答案 ：
14. 某同学每次投篮命中的概率为 0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，
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则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设投篮总次数的数学期望为 ，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可.
【详解】设投篮总次数的数学期望为 ，
若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为 ，
此情况下发生的概率为 0.2，投篮总次数为 ，
若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为 ，
此情况发生的概率为 ，投篮总次数为 ，
若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为 ，投篮总次数为 2，
则投篮总次数的数学期望为 ，
解得
故答案为：
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应与出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【小问 1 详解】
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设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
【小问 2 详解】
因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
16. 如图所示正四棱台 ，其中 ， .
（1）当 时，求 和平面 所成角；
（2）证明： 平面 ；若棱台高为 3，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）
（2）证明见解析，体积为
【解析】
【分析】（1）作 到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小.
（2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三
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棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积.
【小问 1 详解】
过 作 平面于 ,连接 ，
过 分别作 于 于 ,连接 ,
如图 为 在平面 上的投影,
由于 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 .由于 平面 ，所以 .
所以 ,同理 , ,四边形 为正方形,
所以 ， 为 在平面 上的投影,
又因平面 平面 ,
所以 和平面 所成角即 ， ,
故 和平面 所成角为 .
【小问 2 详解】
连接 、 交于 ,连接 、 交于 ,
如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得 ,且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 ，
因为 平面 , 平面 ，所以 平面 .
由正棱台性质, 与上下底面均垂直,则 ，
因为 ， 平面 ，
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所以 平面 ,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,
即:
17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的
概率为 ．
（1） 时，移动 3 次后，求质点最终所在的位置的坐标为 1 的概率；
（2）若移动 4 次后，质点最终所在位置的坐标为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
（3）若移动 次后，质点最终所在位置的坐标为 ，求随机变量 的数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）最终所在的位置的坐标为 1 为事件 ，则 3 次移动中，2 次向右移动，1 次向左移动，再根据
乘法公式计算概率即可；
（2）根据题意， 可取 ，再分别计算对应概率，得到分布列并计算期望即可；
（3）设在移动 次中，向右移动的次数为 ，则向左移动 次， ，结合 ，
， 即可求解．
【小问 1 详解】
设移动 3 次后，质点最终所在的位置的坐标为 1 为事件 ，
由题可知事件 为 3 次移动中，2 次向右移动，1 次向左移动，
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；
【小问 2 详解】
根据题意， 可取 ，
， ，
又 ，
，
，
∴分布列为
4 2 0
∴ ；
【小问 3 详解】
设在移动 次中，向右移动的次数为 ，
则 ， ，
向右移动的次数为 ，则向左移动 次，
质点最终所在位置的坐标为 ，
，
即随机变量 的数学期望为 ．
18. 已知 为正实数，曲线 与直线 交于不同的两点
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）若点 恰在椭圆 上，求证： ．
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【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 有两个不同的解，设 ，再求导分析单调性，根据单调性确定
参数范围即可；
（2）根据题意，不等式转化为证 ，令 ，利用
导数证明不等式即可；
（3）设交点 ，由（2）可得 ，根据 和 相加、相减得
、 ，最后根据 得 求解即可．
【小问 1 详解】
当 时，直线方程为 ，
曲线 与直线 交于不同的两点，
即方程 有两个不同的解，等价于 有两个不同的解，
设 ，对其求导得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
所以 在 处取得极大值，也是最大值， ，
当 时， ，当 时， ，
要使 有两个不同的解，则 ，
因此， 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
已知 在曲线 上，则 ，
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要证 ，即证 ，
不妨设 ，只需证明 ，又 ，
故只需证明 ，
只需证明 ，即需证明
只需证明 ，
令 ， ,
则 ，
设 为 的导函数，则 ，
所以函数 在 上为减函数，
所以当 时， ，
所以函数 在 上为减函数，
故当 时， ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
【小问 3 详解】
设 ，其中 ，
由（2）知 ，
，
①，
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当 时，不等式 显然成立，
当 时，将 和 相减，
得 ，
②，
再将 和 相加，得 ③，
注意到： 时，由 知 ，
结合①、②、③，知
，
，
即 ，结合 可得 ，
所以 ．
19. 若 为 项数列 ，若存在数列 满足：① ；②
中的最大项为 1，最小项为 0，则称 是“ -好数列”．
（1）请写出所有第二项为 的“3-好数列”；
（2）若 为单调不增（即 ）的“2026-好数列”，求 的最大值；
（3）若 为“ -好数列”，记 为 中的最大项， 为 中的最小项，求 最小值．
【答案】（1） 或
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据“3-好数列”定义列举即可；
（2）根据“2026-好数列”的定义，结合 单调不增，证得 单调性，得出 ，再进行放缩即可；
（3）根据“ -好数列”的定义，存在 ，使得 ，存在 ，使
得 ， 讨论 的大小关系，结合 进行放缩，得到 ，并给出 1
个 的 即可.
【小问 1 详解】
若 ，则 ， ，则 ， 符合题意；
若 ，则 ，则 不符合题意；
若 ，则 ，
若 ，则 ， 不符合题意，
若 ，则 符合题意.
所以 或 .
【小问 2 详解】
由于 为单调不增（即 ） “2026-好数列”，
则 ，
则 ， ，
即 ，
， ，
当 时取等号，
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则 的最大值为 .
【小问 3 详解】
由题意，存在 ，使得 ， ，
存 ，使得 ， ，
若 ，则 ， ，
结合 可得 ，
若 ，则 ， ，
结合 可得 ，
当 时， ，
综上， 最小值为 .