湖北省六所名校2025-2026学年高一下学期4月期中联考试题 数学（含解析）

这是一份湖北省六所名校2025-2026学年高一下学期4月期中联考试题 数学（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ）
A．1B．3C．iD．
2．已知向量，满足，且，则的值为（ ）
A．4B．2C．8D．3
3．如图，在中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ）

A．2B．4C．8D．12
6．函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为
B．点P第一次到达最高点需要20秒
C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米
D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
8．在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的说法为（ ）
A．若，，则
B．在中，若，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
11．正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（ ）
A．最大值为0.5B．最大值为1
C．的最大值为D．最大值是
三、填空题
12．已知向量不共线，且向量，，且，则_____________.
13．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________．
14．已知函数，．若，，，则a的取值范围是________．
四、解答题
15．如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，．
(1)若，求点A，B的坐标；
(2)若点A的坐标为，求的值．
16．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，，，的面积为，求边BC的长．
17．已知在中，为中点，，，．

(1)设和的夹角为，若，求证：；
(2)若，求．
18．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
19．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．
(1)若向量，求；
(2)若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，．
①若，的根从小到大依次为，求；
②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）
参考答案
1．B
【详解】∵，∴复数的虚部为3.
故选：B.
2．D
【详解】由，得，所以.
由，得，
又，得，
所以，则.
3．D
【详解】在中，，
，
又，，，
，
，.
故选：D.
4．C
【详解】依题意，，，，
又，则，所以.
5．A
【详解】取的中点，连接，则，
所以.
6．A
【详解】；
，；
在区间上单调递减，，解得，
实数的最小值为.
7．C
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，
所以，解得，
因为，所以，
则，
当时，，所以，则，
又，则，
综上，，故A正确；
令，则，
令，得秒，故B正确；
当秒时，米，故C错误；
当秒时，米，故D正确.
8．D
【详解】由题意得，得，又，得，
由余弦定理得：，化简得，
由正弦定理得：，
由于，
代入化简得，
因为，则，
又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则，
因为是锐角三角形，所以有解得，则，
，
令，则有二次函数，
由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增，
因此，故，故D正确.
9．BC
【详解】对于A，当时，对任意向量均有，因此向量不一定共线，A错误；
对于B，在中，，B正确；
对于C，由，得，
整理得，且向量是非零向量，因此与共线且反向，C正确；
对于D，当时，满足，对，均有，即的值有无数个，D错误.
10．ABD
【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以，
因为，则，则，
因为，则，所以，故B正确；
对于C，，由，得，
而，即时，没有意义，故C错误；
对于D，，则，
方程，得，
即，即，
所以或，因为，，
所以或，解得或，故D正确.
故选：ABD.
11．BD
【详解】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，．
设，，则，，，
由，得，则，
解得，
对于A，，
其中锐角由确定，，则当时，，A错误；
对于B，，，即，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
则，
而，当时，取得最大值为，C错误．
对于D，，其中锐角由确定，
，则当时，取得最大值，D正确．
12．
【详解】，所以，
即，，.
故答案为：.
13．
【详解】由题意知，所以，故.
所以实数的取值范围是
14．
【详解】函数.
令，
当时，，，所以.
当时，，当且仅当，即时等号成立.
所以由对勾函数的性质，得在上单调递增，
所以.
所以，.
函数是单调递增函数，
所以当时，.
若，，，则是的子集，
所以，解得.
故a的取值范围是.
15．(1)点A坐标为，点B坐标为
(2)
【详解】（1）因为，所以，，所以点坐标为，
又因为，所以，，所以点坐标为.
（2）因为点在单位圆上，得，又因为点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，即，，
由，得，因此，
由诱导公式得：，
又因为二倍角公式为：，
所以， 因此.
16．(1)，
(2)
【详解】（1），
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，
又A为的内角，则，故，
所以，所以
设角A，B，C所对边分别为a，b，c，
因为，由正弦定理得．①
因为三角形的面积为，所以．②
由①②解得：，
由余弦定理得，
所以
17．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为N为AB中点，所以，则．
根据向量数量积的分配律可得.
已知，，，
则，，
代入可得，因为，所以，即.
（2）因为，所以，
又因为，则，
所以，
而，，，，
所以代入得，解得，
因为，所以.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，则，
且，所以.
（2）①由题意可得，解得，
由于，
则
，
当且仅当时取等号，所以，
②因为为角A的角平分线，则，
因为，则，
且，则，可得，
又因为，则，即，
且，则，
又因为，当且仅当时，等号取得到，
则，所以．
19．(1)
(2)①；②，理由见解析
【详解】（1）解：因为向量，所以，
又因为，为单位向量，且夹角为，可得，，
所以，所以.
（2）解：①因为向量，，所以，，
所以，
化简得，
又因为的斜坐标分别为和，
可得
所以，
则方程的根等价于的根，
如图所示，在和的一个周期内，方程根的个数为3，
因为，则当，根的个数；
②，理由如下：
令，，则，
又因为，，所以，
又因为，所以，由零点存在定理可得，
由①可知在上单调递减，
所以，即，所以．