湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后、将试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式可求值．
【详解】．
故选：A．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
所以，
所以
故选:B.
3. 若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由有，所以，选D.
点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由求得，从而判断出充分、必要条件.
【详解】，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ ）．
A. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）；
B. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；
D. 纵坐标变为原来2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的图象变换知识求解.
【详解】将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再把函数的图象上向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.
故选：D
【点睛】结论点睛：三角函数图像的平移变换和上下变换：
平移变换：左加右减，上加下减
把函数向左平移个单位，得到函数的图像
把函数向右平移个单位，得到函数的图像
把函数向上平移个单位，得到函数的图像
把函数向下平移个单位，得到函数的图像
伸缩变换：
①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得
②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得
③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得
④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得
7. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式.
【详解】依题意，
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题.
8. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式，计算出投影向量.
【详解】依题意向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据降幂公式和辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性求出，再根据正弦函数的单调性和对称性逐一判断即可.
【详解】，
则，所以，故A正确；
所以，
因为，所以，
所以函数在上为增函数，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列叙述中错误的是（ ）
A. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】BC
【解析】
【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D.
【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若是零向量，则不成立，故C错误；
对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确．
故选：BC．
11. 在三角形ABC中，下列命题正确的有（ ）
A. 若，，，则三角形ABC有两解
B. 若，则一定是钝角三角形
C. 若，则一定是等边三角形
D. 若，则的形状是等腰或直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理，对A进行判断，得到A，B都是锐角，再利用同角三角函数的基本关系，及两角和与差的三角函数公式得，对B进行判断，利用余弦函数的性质对C进行判断，利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式，对D进行判断，从而得出结论.
【详解】对于A，因为，，，所以由正弦定理得,
所以角只有一个解，A选项错误；
对于B，由，即，
所以，即，
所以，所以，
故一定是钝角三角形，B选项正确；
对于C，因为
所以
所以，C选项正确；
对于D，因为，
由正弦定理可得，
所以
因为，，
所以，解得或，即或，
所以的形状是等腰或直角三角形，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分.
12. 把函数的图象向右平移个单位长度，设所得图象的解析式为，若是奇函数，则最小的正数是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用图象的平移法则可得函数，由为奇函数，可得，可求最小正数的值．
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图象．
若为奇函数，则，，所以，，
则的最小值为，
故答案为：．
13. 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
14. 在中，角所对的边分别为,已知，且的周长为，的面积为,则____，_______.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
【详解】中，角C所对边分别是，
已知，则：
且的周长为9，则：
解得： ．
若的面积等于，
则：12absinC＝3sinC，
整理得：．
由于：
故：a+b＝5ab＝6，解得：a＝2b＝3或a＝3b＝2，
所以： ．
故答案为4 ； ．
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差正切公式求得，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换化弦为切求解即可；
（2）先利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围确定角的大小.
【小问1详解】
因为，，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，且，所以，所以.
所以，
又因为，，所以，所以.
16. 如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.
（1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）求四边形MEOF的面积S的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，利用直角边表示面积即可；
（2）根据第一问，利用三角函数知识求最值即可.
【详解】（1），
，
由题意要得到四边形MEOF，则.
（2）由（1）知：，因为，所以，
所以当，即时，四边形MEOF的面积S的最大值为.
17. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算可求得，进而求出结果.
（2）根据向量垂直的坐标运算即可得出答案.
（3）由题意分析得到且与不共线，结合（1）利用相关坐标即可求得结果.
【小问1详解】
因为向量，且，
所以，解得，
所以
【小问2详解】
因为，且，
所以，解得.
【小问3详解】
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求A的值；
（2）若，，当的周长最小时，求的值；
（3）若，，且的面积为，求的长度.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.
【小问1详解】
由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以；
【小问2详解】
由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为，所以的周长为，
当且仅当，即时取等号，
所以当的周长最小时，；
【小问3详解】
由的面积为，得，
所以①，
又，所以，，
由正弦定理，得，②
由①②可得，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以.
19. 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．
（1）若，求护栏的长度即的周长；
（2）若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合余弦定理可得，进而可得，即可得结果；
（2）由题意可得，在、中结合正弦定理运算求解.
小问1详解】
在Rt中，因为，可得，
在中，由余弦定理，
所以，
可得，则，
可得，
所以护栏的长度即的周长.
小问2详解】
由题意可得：，设，则，
在，由正弦定理，整理得，
在，由正弦定理，整理得，
则，整理得，
而，故，即.