2025-2026学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列问题适合普查的是( )
A. 高铁列车出发前对关键部件的安全检查B. 了解全国中学生的睡眠状况
C. 调查一批节能灯管的寿命D. 检测某湖泊的水污染程度
2.某校为了解七年级300名学生的每周课外阅读情况，随机抽取了100名学生的每周课外阅读时间(单位：分钟)进行统计，下列说法正确的是( )
A. 上述调查是普查B. 100名学生的每周课外阅读时间是样本
C. 每名学生是个体D. 300名学生是总体
3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是( )
A. 掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率
B. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率
C. 从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球(小球除颜色外完全相同)，摸到白球的概率
D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1B. (x+1)(x−1)=x2−1
C. x2−4x+4=(x−2)2D. x2−x−4=x(x−1)−2
5.如果n−m=−5，mn=6，则m2n−mn2的值是( )
A. 30B. −30C. 11D. −11
6.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BC
B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO
D. AB//DC，AD=BC
7.如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，已知∠ABC=50∘，则∠BEC的度数为( )
A. 75∘
B. 65∘
C. 60∘
D. 50∘
8.顺次连接四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形必定是( )
A. 矩形B. 正方形
C. 对角线垂直的四边形D. 对角线垂直且相等的四边形
9.如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，D，E分别是边AB，BC上的动点，连接DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM长的最小值为( )
A. 2.4
B. 4.8
C. 2
D. 4
10.如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，连结CE，过点E作EG⊥CE交BC于点G，EH平分∠BEG交BC于点H，若已知矩形的周长为定值，则下列线段长为定值的是( )
A. BHB. CHC. CGD. EH
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.某校科技社团为了解本校学生对AI的使用情况，对使用AI进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查.将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为36∘.已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用AI进行知识梳理的学生人数是 人.
12.某班级有40名学生在期中考试学情分析中，分数在70∼79分的频率为0.4，则该班级在这个分数段内的学生有 人.
13.下列各式：①a2+2ab+1，②b2+2b+4，③a2−6a+9，④b2+b+14中，是完全平方式的有 .(填序号)
14.已知a+b=2，则代数式a2−b2−4a的值为 .
15.如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，则△CED的周长为 .
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C=60∘，若AD=6，BC=10，则此梯形ABCD的周长为 .
17.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则EF与CD的位置关系是 ，PF的长是 .
18.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是边AD上的一动点(点P不与点A，D重合)，连接CP，把△BCP沿CP所在直线翻折得到△B′CP，则当点B′落在矩形的边所在的直线上时，AP的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
因式分解：
(1)24a2b+6ab；
(2)x4−9；
(3)3mn2−18mn+27m.
20.(本小题8分)
为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了 ______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为 ______度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数.
21.(本小题6分)
某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同.将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是______(精确到0.1)；
(3)若袋中有红球4个，请估计袋中白球的个数.
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF，连接BE、DF、EF、BD.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，且EF=4，BD=6，求四边形BEDF的面积.
23.(本小题6分)
阅读下列材料：
已知多项式2x3−x2+m有一个因式是2x+1，求m的值.
解法：设2x3−x2+m=A(2x+1)(A为整式)，
∵上式为恒等式，
∴当x=−12时，2⋅(−12)3−(−12)2+m=A⋅(−12×2+1)，
即2⋅(−12)3−(−12)2+m=0，解得：m=12.
感悟上述材料，解答下列问题：
已知多项式x4+mx2+nx−16含有因式(x−1)和(x−2).
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的条件下，将多项式x4+mx2+nx−16因式分解，结果是______.(直接写答案)
24.(本小题8分)
如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE//BD，EB//AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证：四边形OCEB是矩形；
(2)已知菱形ABCD的面积为12，且AC+BD=12，求OE的长.
25.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.试探究：
(1)当点E为对角线AC的中点时，矩形DEFG______(填“是”或“不是”)正方形，其面积为______；
(2)当点E为对角线AC上任意一点时，判断矩形DEFG是否为正方形，并证明你的结论；
(3)取边CD的中点，记为点P，请直接写出PG的最小值为______.
26.(本小题10分)
定义：有两组邻边(不重复)相等的四边形叫做“准菱形”.如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，则四边形ABCD是“准菱形”.
(1)如图2，在正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请在图2中画出“准菱形”ABCD；(要求：D在格点上)；
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC=90∘，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于点D.
①若DC=DF，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD= 8，∠ACB=15∘，∠ACD=30∘，请直接写出四边形ACEF的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、选项中高铁列车关键部件的安全检查事关乘客生命安全，必须全面检查，适合普查，符合题意；
B、选项全国中学生范围过大，适合抽样调查，不符合题意；
C、选项检测节能灯管寿命具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；
D、选项检测湖泊水污染程度范围大，适合抽样调查，不符合题意．
故选：A.
普查适用于范围较小、事关重大、无破坏性的调查，抽样调查适用于范围大、有破坏性、工作量大的调查．
本题考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查的区别是关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、上述调查是抽样调查，选项说法错误，不符合题意；
B、100名学生的每周课外阅读时间是样本，选项说法正确，符合题意；
C、每名学生的每周课外阅读时间是个体，选项说法错误，不符合题意；
D、300名学生的每周课外阅读时间是总体，选项说法错误，不符合题意．
故选：B.
根据各统计概念的定义逐一判断选项正误即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握相应的定义是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，不符合题意；
C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球(小球除颜色外完全相同)，摸到白球的概率为24+2=13≈0.33，符合题意；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为1352=14，不符合题意．
故选：C.
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
本题考查的是利用频率估计概率，频数分布折线图，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、选项等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意；
B、选项等式是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、选项等式是因式分解，符合题意；
D、x2−x−4≠x(x−1)−2=x2−x−2，不是因式分解，不符合题意．
故选：C.
将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵n−m=−5，mn=6，
∴m2n−mn2=mn(m−n)=6×5=30，
故选：A.
原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法．
6.【答案】D
【解析】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选：D.
根据平行四边形的判定定理分别作出判断得出即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由条件可知∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25∘，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC=90∘−∠CBD=90∘−25∘=65∘.
故选：B.
由菱形的性质可得∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25∘，再根据直角三角形两锐角互余即可解答．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据三角形中位线定理，顺次连接某个四边形各边中点得到一个平行四边形，
它的一组邻边分别平行且等于四边形对角线的一半，
因为正方形四边相等，邻边垂直，
所以原四边形对角线相等且互相垂直，
故选：D.
根据正方形的判定即可解答．
本题考查三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定即可解答．
9.【答案】A
【解析】解：过点B作BG⊥AC于G，连接AE，如图所示，
∵AB=BC=5，AC=6，
∴AG=CG=12AC=3，
∴BG= BC2−CG2=4，
∴S△ABC=12AC⋅BG=12×6×4=12，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM是△ADE的中位线，
∴FM=12AE，
∴当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小，
∵当AE⊥BC时，S△ABC=12AE⋅BC=12，
∴AE=4.8，
∴FM=12AE=12×4.8=2.4，
∴FM最小值为2.4.
故选：A.
过点B作BG⊥AC于G，连接AE，由三线合一定理和勾股定理求出BG=4，进而求出S△ABC=12，证明FM是△ADE的中位线，得到FM=12AE，则当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小，利用面积法求出AE=4.8，则FM=2.4.
本题考查的是三角形中位线定理等腰三角形的性质，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，
∵E为对角线BD中点，
∴EM=12CD，
显然，EM=12CD，CM=12BC，
设∠EGC=α，
∵EG⊥CE，
∴∠ECG=90∘−α，
∵EB=EC=12BD，
∴∠EBG=∠ECG=90∘−α，
∴∠BEG=∠EGC−∠EBG=2α−90∘，
∵EH平分∠BEG，
∴∠HEG=12∠BEG=α−45∘，
∴∠EHM=∠EGC−∠HEG=45∘，
∵EM⊥BC，
∴HM=EM=12CD，
∴CH=HM+CM=12CD+12BC=12(CD+BC)，
∴CH的长等于矩形ABCD的周长的14，
∴当矩形的周长为定值时，CH为定值．
故选：B.
根据题意，结合图形，得到△EHM为等腰直角三角形，则有HM=12CD，结合CM=12BC，即可得到结果．
本题考查矩形性质的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11.【答案】225
【解析】解：用1500减去其它已知数目可得：
1500−1500×45%−1500×30%−1500×36360
=1500−675−450−150
=225(人).
故答案为：225.
用1500减去其它已知数目即可求解．
本题考查了扇形统计图，熟练掌握该知识点是关键．
12.【答案】16
【解析】解：根据题意可知，该班级在这个分数段内的学生人数为：40×0.4=16.
故答案为：16.
根据频数等于总人数乘以频率计算即可．
本题考查了频数与频率，掌握频数与频率的定义是关键．
13.【答案】③④
【解析】解：根据完全平方式的定义逐项分析判断如下：
①对于a2+2ab+1，不是完全平方式；
②对于b2+2b+4，不是完全平方式；
③对于a2−6a+9，整理得a2−2⋅a⋅3+32，是完全平方式；
④对于b2+b+14，整理得b2+2⋅b⋅12+(12)2，是完全平方式．
故答案为：③④．
根据完全平方式的定义，逐个判断所给多项式是否符合完全平方式的结构特征，即可得到结果．
本题考查了完全平方式，熟练掌握该知识点是关键．
14.【答案】−4
【解析】解：原式=2(a−b)−4a
=2a−2b−4a
=−2(a+b)
=−2×2
=−4.
故答案为：−4.
先对代数式中的a2−b2运用平方差公式进行变形，再整体代入已知条件化简计算，即可得到结果．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键．
15.【答案】10
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴CD+DA=10，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△CED的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10，
故答案为：10.
由平行四边形的性质和周长得出AD+DC=10，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16.【答案】24
【解析】解：如图，过点D作DE//AB交BC于点E，
∵AD//BC，∠B=∠C=60∘，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=6，AB//DE，AB=DE
∴∠DEC=∠B=∠C=60∘，CE=BC−BE=10−6=4，
∴AB=DE=CD=EC=4
∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+10+4+6=24.
故答案为：24.
如图，过点D作DE//AB交BC于点E，证明四边形ABED是平行四边形，得到BE=AD=6，AB//DE，AB=DE，然后证明出△DEC是等边三角形，得到AB=DE=CD=EC=4，进而求解即可．
本题本题相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．
17.【答案】EF⊥CD
3− 3

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD=30∘,∠B=120∘，
由旋转可得，∠AEF=∠B=120∘，
∴∠PEC=180∘−∠AEF=60∘，
∴∠CPE=180∘−∠ACD−∠PEC=90∘，
∴EF⊥CD；
如图所示，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵∠BAC=∠BCA=30∘，
∴∠BCH=30∘，
∴BH=12BC=1，
由勾股定理得CH= BC2−BH2= 3，
∴AC=2CH=2 3，
∴CE=AC−AE=AC−AB=2 3−2，
∴PE=12CE= 3−1，
∴PF=EF−PE=2−( 3−1)=3− 3，
故答案为：EF⊥CD，3− 3.
利用菱形的性质得出相关角的度数，即可得出结论；，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，利用含30∘角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
18.【答案】2或2 7
【解析】解：根据题意得：B′C=AD=BC=8，AB=CD=6，BP=B′P，
设AP=x，则DP=8−x，
如图，当点B′落在CD边所在的直线上时，则∠A=∠PDB′=90∘，

∴B′D=B′C−CD=2，
在Rt△ABP和Rt△B′DP中，
BP2=AB2+AP2，B′P2=B′D2+DP2，
即AB2+AP2=B′D2+DP2，
∴62+x2=22+(8−x)2，
解得：x=2，
即AP=2；
如图，当点B′落在AD边所在的直线上时，则∠A=∠CDB′=90∘，

∴B′D= B′C2−CD2=2 7，
∴BP=B′P=2 7+8−x，
在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2，
∴62+x2=(2 7+8−x)2，
解得：x=2 7，
即AP=2 7；
综上所述，AP的长为2 7或2.
故答案为：2或2 7.
由折叠和矩形的性质可得：B′C=AD=BC=8，AB=CD=6，BP=B′P，设AP=x，则DP=8−x，然后分两种情况讨论：当点B′落在AD边所在的直线上时，当点B′落在CD边所在的直线上时，则∠A=∠PDB′=90∘，结合勾股定理，即可求解．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】6ab(4a+1) (x2+3)(x+ 3)(x− 3) 3m(n−3)2
【解析】解：(1)原式=6ab⋅4a+6ab⋅1
=6ab(4a+1)；
(2)原式=(x2+3)(x2−3)
=(x2+3)(x+ 3)(x− 3)；
(3)原式=3m(n2−6n+9)
=3m(n−3)2.
(1)将原式提取公因式即可；
(2)利用平方差公式因式分解即可；
(3)将原式提取公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
20.【答案】①40；
②
③90；
280人
【解析】(1)①此次调查一共随机抽取了学生：16÷40%=40(名)；
故答案为：40；
②喜欢数字艺术的人数为：40−14−16=10(名)，
补全条形统计图如下：

③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为360∘×1040=90∘；
答：扇形统计图中皮影对应扇形圆心角的度数为90∘；
故答案为：90；
(2)800×1440=280(人)，
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
(1)①用喜欢科创实践的人数除以其所占百分比可得样本容量；
②用抽取的总人数减去喜欢计算思维和科创实践的人数进而得出喜欢数字艺术的人数，即可补全条形统计图；
③用360∘乘喜欢数字艺术的人数所占百分比即可求出圆心角的度数；
(2)用总人数乘样本中喜欢计算思维的学生所占百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
21.【答案】297、0.602； 0.6； 6个．
【解析】解：(1)
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
(3)4÷(1−0.6)−4=6(个)，
答：估计袋中白球的个数约为6个．
(1)根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)利用频率估计概率求解即可；
(3)红球个数÷红球频率-红球个数，据此求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形 12
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：由条件可知四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF的面积=12EF×BD=12×4×6=12.
(1)由四边形ABCD是平行四边形，得出AD//BC，AD=BC，由AE=CF得出DE=BF，进而即可得证；
(2)证明四边形BEDF是菱形，即可求出四边形BEDF的面积．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键．
23.【答案】m=−15n=30 (x−1)(x−2)(x2+3x−8)
【解析】解：(1)由条件可设x4+mx2+nx−16=A(x−1)(x−2)，
∵上式为恒等式，
∴当x=1时，1+m+n−16=0①，
当x=2时，16+4m+2n−16=0②，
∴联立①②解得m=−15n=30；
(2)根据题意设x4−15x2+30x−16=(x2+ax+b)(x−1)(x−2)
=(x2+ax+b)(x2−3x+2)
=x4+(a−3)x3+(−3a+b+2)x2+(2a−3b)x+2b，
对比多项式x4−15x2+30x−16的系数可知：a−3=0，2b=−16，
∴a=3，b=−8，
x4−15x2+30x−16=(x−1)(x−2)(x2+3x−8)，
故答案为：(x−1)(x−2)(x2+3x−8).
(1)根据题干中的解法设x4+mx2+nx−16=A(x−1)(x−2)，然后将x=1和x=2代入得到1+m+n−16=0①，16+4m+2n−16=0②，然后解方程组求出m和n的值；
(2)设x4−15x2+30x−16=(x2+ax+b)(x−1)(x−2)，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解．
本题考查了整式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是关键．
24.【答案】∵CE//BD，EB//AC，
∴四边形OCEB是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC=90∘，
∴平行四边形OCEB是矩形 2 6
【解析】(1)证明：∵CE//BD，EB//AC，
∴四边形OCEB是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC=90∘，
∴平行四边形OCEB是矩形；
(2)解：∵菱形ABCD的面积为12，
∴AC⋅BD=24，AC=2OC，BD=2OB，
∴OC⋅OB=6，OC+OB=12(AC+BD)=6，
∵AC⊥BD，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC= OC2+OB2= (OC+OB)2−2OB⋅OC=2 6，
∵四边形OCEB是矩形，
∴OE=BC=2 6.
(1)先证明四边形OCEB是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，即可证明四边形OCEB是矩形；
(2)根据菱形的性质得到AC⋅BD=24，AC=2OC，BD=2OB，进而得到OC⋅OB=6，OC+OB=6，根据勾股定理得到BC= OC2+OB2，根据完全平方公式求出BC=2 6，根据矩形的性质即可求出OE的长．
本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
25.【答案】是;8 矩形DEFG是正方形；证明：如图1，四边形ABCD为正方形，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∴∠BCD=90∘，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENC=∠END=90∘，
∴四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN=90∘，
∵E是正方形ABCD对角线的一点，
∴∠MCE=45∘，
∴∠MCE=∠CEM=45∘，
∴EM=CM，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED=90∘，
∴∠MEN−∠FEN=∠FED−∠FEN，
即∠MEF=∠NED，
在△FEM和△DEN中，
∠EMF=∠ENDEM=EN∠MEF=∠NED，
∴△FEM≌△DEN(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG为正方形 2
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90∘，
∵点E为对角线AC的中点，
∴DE⊥AC，
又∵矩形DEFG，
∴DE⊥EF，
又∵F在射线BC上，
∴F，C重合，
∴DE=12AC=EC，
∴矩形DEFG是正方形，
∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AC= 2AB=4 2，
∴DE=12AC=2 2，
∴正方形DEFG的面积为DE2=(2 2)2=8；
(2)矩形DEFG是正方形；
证明：如图1，四边形ABCD为正方形，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∴∠BCD=90∘，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENC=∠END=90∘，
∴四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN=90∘，
∵E是正方形ABCD对角线的一点，
∴∠MCE=45∘，
∴∠MCE=∠CEM=45∘，
∴EM=CM，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED=90∘，
∴∠MEN−∠FEN=∠FED−∠FEN，
即∠MEF=∠NED，
在△FEM和△DEN中，
∠EMF=∠ENDEM=EN∠MEF=∠NED，
∴△FEM≌△DEN(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG为正方形；
(3)出PG的最小值为 2.理由如下：
∵正方形ABCD、DEFG，
∴AD=CD，ED=GD，
∵∠ADE+∠DEC=90∘，∠CDG+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGED=GD，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠DCG=∠EAD=45∘，
如图2，
∵P是CD的中点，CD=4，
∴PC=2，
当PG⊥GC时，PG最小，
∠DCG=45∘，
此时△PCG是等腰直角三角形，
∴PG的最小值为 22PC= 2，
故答案为： 2.
(1)先证明F，C重合，得出DE=12AC=EC，即可证明矩形DEFG是正方形，进而根据勾股定理求得AC，再得出DE=12AC=2 2，根据正方形的性质即可求解；
(2)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，可证四边形EMCN是正方形，得EM=EN，进而证明△FEM≌△DEN(ASA)，得到EF=ED，即可求证；
(3)先证明∠DCG=45∘，根据勾股定理，即可求解．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等．
26.【答案】“准菱形”ABCD，如图2即为所求； ①∵AF=EF，AC=EC，
∴CF垂直平分AE，
∴AE⊥CF，AD=DE，
∵CD=DF，
∴“准菱形”ACEF是平行四边形，
∵AC=EC，
∴“准菱形”ACEF是菱形；②四边形ACEF的面积为8 3
【解析】(1)解：“准菱形”ABCD，如图2即为所求；
(2)①证明：∵AF=EF，AC=EC，
∴CF垂直平分AE，
∴AE⊥CF，AD=DE，
∵CD=DF，
∴“准菱形”ACEF是平行四边形，
∵AC=EC，
∴“准菱形”ACEF是菱形；
②解：四边形ACEF的面积为8 3.理由如下：
如图3，四边形ACEF是菱形，取AC的中点G，连接BG、DG、BD，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∵DG=GA=GC=GB，
∵∠ACD=30∘，∠ACB=15∘，
∴∠GCD=∠GDC=30∘，∠GCB=∠GBC=15∘，
∴∠AGB=15∘+15∘=30∘，∠AGD=30∘+30∘=60∘，
∴∠BGD=30∘+60∘=90∘，
∴△BGD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BG2+DG2=2DG2=BD2=( 8)2，
∴DG=2，
∴AC=2DG=4，
∵∠ACD=30∘，∠ADC=90∘，
∴AD=12AC=2，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：CD= AC2−AD2=2 3，
∴菱形ACEF中，CF=2CD=4 3，AE=2AD=4，
∴菱形ACEF的面积为：12×4 3×4=8 3.
(1)根据题意画出图形即可；
(2)①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
②取AC的中点G，连接BG、DG、BD，再根据∠ADC=90∘，∠ABC=90∘，然后求出∠BGD=90∘，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题关键．摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
______
590
968
1204
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.594
0.590
0.605
______
摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
297
590
968
1204
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.594
0.590
0.605
0.602