2025-2026学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期中数学试卷-（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期中数学试卷-（含答案+解析），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列调查中，最适合普查的是( )
A. 了解某班男生的身高情况B. 了解高邮市全市空气质量情况
C. 了解黄河流域现有鱼的种类D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命
2.2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没⋅年年有熊》.从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 34
3.把分式x−yx2−y2中的x、y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 缩小为原来的13C. 不变D. 缩小为原来的19
4.已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
5.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是( )
A. AB=ADB. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BAC=∠ABDD. AC⊥BD
6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. 1.4−x2.4−x=813B. 1.4+x2.4+x=813C. 1.4−2x2.4−2x=813D. 1.4+2x2.4+2x=813
7.如图，菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点(E,F不与菱形的顶点重合)，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若∠BAD=150∘，GH的最小值是32，则菱形的边长是( )
A. 3B. 2 3C. 6D. 3
8.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60∘，OA=1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60∘，连续翻转2026次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2026的坐标为( )
A. (1348,0)B. (1348, 3)C. (1350,0)D. (1350, 32)
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.“任意选择电视的某一频道，正在播放新闻.”这是 事件.(填“必然、不可能或随机”)
10.若分式xx−2有意义，则x的取值范围是 .
11.分式12a2b和23ab2的最简公分母是 .
12.已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组.若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为 .
13.把多项式4x2y−2y分解因式时，应提取的公因式是 .
14.如图，在菱形ABCD中，AB=13，AC=10，则这个菱形的面积为 .
15.关于x的方程2x+mx+1=3的解是非正数，则m的取值范围是 .
16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BE=12AC，连接OE，则∠COE= 度.
17.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(−2,0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6)，则点E的坐标为 .
18.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，AB=10，AD=16，然后向左扭动框架，得到新的四边形BCEF(点E在BC的上方)，若在扭动后四边形面积减少了32，点P和Q分别为矩形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，则PQ的长 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
因式分解：
(1)ax2−2axy+ay2；
(2)4m2(x−y)−n2(x−y).
20.(本小题8分)
解方程
(1)1x−1=1x2−1
(2)1x−2+3=x−1x−2.
21.(本小题8分)
先化简：x2−1x2−2x+1÷x+1x⋅(x−1x)，然后x在−1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
22.(本小题8分)
雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”.活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图；
(2)求10元捐款所在扇形圆心角的度数；
(3)若该校共有3600名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数.
23.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=2，DE=3，求▱ABCD的周长.
24.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD是矩形，
(1)请用尺规作图法，分别在AD、BC边上求作点E、F，使得四边形BEDF是菱形(保留作图痕迹，不写作法).
(2)若AB=4，BC=8，试求出(1)中所作菱形BEDF的面积.
25.(本小题10分)
某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同.
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为12元，B品牌套装每套售价为10.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
26.(本小题10分)
已知P=x+12，Q=2xx+1，其中x>0.
(1)求证P−Q≥0；
(2)代数式3P+Q的值能否等于10？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(3)若x是整数，试求代数式3P+Q的整数值.
27.(本小题12分)
【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”.
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是______.
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”，∠BCD=90∘，AB=AC，点E，F分别是BD，AD的中点，连接CE，EF，以CE，EF为邻边作平行四边形CEFG.
(1)求证：∠ABD=∠ACE；
(2)求证：四边形CEFG为正方形.
【任务三】如图2，在矩形ABCD中，AD=2AB，将△ABD沿对角线BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF=CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”.
28.(本小题12分)
【问题初探】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M.那么AE与BF相等吗？直接判断：AE ______BF(填“=”或“≠”)；
【问题迁移】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M.那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
(3)如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF=ME+FN；
【问题拓展】
(4)如图4，在边长为4的正方形ABCD中，F是CD的中点.M是BF上的动点，过点M作EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E.直接写出(EF+BG)2的最小值为______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、了解某班男生的身高情况，适合全面调查，A符合题意；
B、了解高邮市全市空气质量情况，适合用抽样调查，B不符合题意；
C、了解黄河流域现有鱼的种类，适合用抽样调查，C不符合题意；
D、了解某品牌洗衣机的使用寿命，适合用抽样调查，D不符合题意；
故选：A.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可．
本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
2.【答案】C
【解析】解：∵有《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没⋅年年有熊》共4种情况，《飞驰人生3》有一种情况，
∴恰好选到《飞驰人生3》的概率是14.
故选：C.
根据题意，可以直接写出从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
3.【答案】B
【解析】解：分式x−yx2−y2中的x、y都扩大3倍，那么分式的值缩小为原来的13，
故选：B.
根据分式的分子都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式)，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质，分式的分子都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式)，分式的值不变．
4.【答案】B
【解析】解：对所求式子因式分解得：a2b+ab2=ab(a+b)，
∴原式=2×3=6.
故选：B.
先对所求多项式提取公因式因式分解．再整体代入已知条件计算即可．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、由∠BAC=∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：C.
根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
1.4+2x2.4+2x=813，
故选：D.
根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7.【答案】C
【解析】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴AF=2GH，
∴当AF⊥BC时，GH有最小值，
∴此时AF=2GH=3，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=150∘，
∴∠B=30∘，
∴AB=2AF=6，
故选：C.
由三角形中位线定理可得AF=2GH，则当AF⊥BC时，GH有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=OA=1，
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4.
∵2024÷6=337……4，
∴点B2向右平移1348(即337×4)到点B2024.
∵B2的坐标为(2,0)，
∴B2024的坐标为(2+1348,0)，即(1350,0).
故选：C.
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4.由于2024=337×6+2，因此点B2向右平移1348(即337×4)即可到达点B2024，根据点B2的坐标就可求出点B2024的坐标．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
9.【答案】随机
【解析】解：任意选择电视的某一频道，正在播放新闻，这个事件是随机事件，
故答案为：随机事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式xx−2有意义，
∴x−2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2.
根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
11.【答案】6a2b2
【解析】解：分式12a2b与23ab2的分母分别是2a2b、3ab2，
故最简公分母是6a2b2.
故答案为：6a2b2.
确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12.【答案】15
【解析】解：第五组的频数为：100×0.25=25，
所以第四组的频数为：100−60−25=15，
故答案为：15.
先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
本题考查了频数与频率，总体、个体、样本、样本容量，掌握频率=频数÷总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．
13.【答案】2y
【解析】解：公因式：多项式的每一项都含有的因式．则：
4x2y−2y的公因式是2y.
公因式：多项式的每一项都含有的因式．
本题考查因式分解，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】120
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC=5，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90∘，
∵AB=13，
∴OB= AB2−OA2= 132−52=12，
∴BD=2OB=24，
∴菱形ABCD的面积=12×AC⋅BD=12×10×24=120，
故答案为：120.
由菱形的性质得出OA=OC=12AC=5，OB=OD，AC⊥BD，由勾股定理求出OB=12，得出BD=2OB=24，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．
15.【答案】m≤3且m≠2
【解析】解：原方程整理得：2x+m=3x+3，
解得：x=m−3.
∵x+1≠0，
∴x≠−1，
∴m−3≠−1，
得m≠2，
由条件可知x≤0，
∴m−3≤0，
得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
故答案为：m≤3且m≠2.
本题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先解方程得方程的解，再根据分式方程的解是非正数，以及分母不为0，即可求解．
本题考查了分式方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
16.【答案】45
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90∘，
∴OA=OC=OB=OD，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45∘=∠AEB，
∴AB=BE，
∵BE=12AC，
即BE=OA=OC，
∴BO=BE，
∴AB=BO=OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=60∘，
∴∠OBE=90∘−60∘=30∘，
∵OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=180∘−30∘2=75∘，
∴∠AOE=60∘+75∘=135∘，
∴∠COE=180∘−∠AOE=180∘−135∘=45∘，
故答案为：45.
先证AB=BE，再证∴△BAO是等边三角形，即可得出∠ABO=∠AOB=60∘，从而求出∠BOE的度数，即可得出∠COE的度数．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
17.【答案】(3,10)
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD=AB=CD=CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，
由折叠得FB=CB，FE=CE，
设CD交y轴于点G，AD=AB=CB=CD=m，则BF=OG=m，
∵A(−2,0)，F(0,6)，
∴OA=GD=2，OF=6，
∴OB=m−2，
∵∠BOF=∠EGF=90∘，
∴OB2+OF2=BF2，
∴(m−2)2+62=m2
m2−4m+4+36=m2
40=4m，
解得m=10，
∴AD=OG=CD=10，
∴FG=10−6=4，FE=CE=10−2−GE=8−GE，
∵GE2+FG2=FE2，
∴GE2+42=(8−GE)2
GE2+16=64−16GE+GE2
16GE=48，
解得GE=3，
∴E(3,10)，
故答案为：(3,10).
由正方形的性质得AD=AB=CD=CB，由折叠得FB=CB，FE=CE，设CD交y轴于点G，AD=AB=CB=CD=m，则BF=OG=m，由A(−2,0)，F(0,6)，OA=GD=2，OF=6，由勾股定理得(m−2)2+62=m2，求得m=10，则AD=OG=CD=10，由GE2+FG2=FE2，得GE2+42=(8−GE)2，求得GE=3，则E(3,10)，于是得到问题的答案．
本题考查图形与坐标、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出正方形ABCD的边长是解题的关键．
18.【答案】 10
【解析】解：AB和FE交于H，连接AC，FC，AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，AB=CD=10，AD=BC=16，
∴AB⊥BC，
由题意知CE=CD，BF=AB，EF=AD，
∴CE=BF，FE=BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴FE//BC，
∴BH⊥FE，
∵▱BCEF的面积=BC⋅BH=16×BH=16×10−32，
∴BH=8，
∴AH=AB−BH=2，
∵∠AHF=90∘，
∴FH= BF2−BH2=6，
∴AF= AH2+FH2=2 10，
∵点P和Q分别为矩形ABCD和▱BCEF对角线的交点，
∴P、Q分别是AC和FC的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=12AF= 10.
故答案为： 10.
AB和FE交于H，连接AC，FC，AF，判定四边形BCEF是平行四边形，推出FE//BC，得到BH⊥FE，由平行四边形的面积公式求出BH=8，由勾股定理求出FH=6，AF=2 10，由矩形和平行四边形的性质判定P、Q分别是AC和FC的中点，得到PQ是△CAF的中位线，推出PQ=12AF= 10.
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造△CAF的中位线．
19.【答案】a(x−y)2 (x−y)(2m+n)(2m−n)
【解析】解：(1)原式=a(x2−2xy+y2)
=a(x−y)2；
(2)原式=(x−y)(4m2−n2)
=(x−y)(2m+n)(2m−n).
(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)方程两边同时乘以(x+1)(x−1)，得
x+1=1，
解得x=0.
检验：把x=0代入(x+1)(x−1)=−1≠0.
∴原方程的解为：x=0.
(2)方程两边同时乘以(x−2)，得
1+3(x−2)=x−1，
解得x=2.
检验：把x=2代入(x−2)=0.
∴原方程无解．
【解析】(1)观察可得最简公分母是(x+1)(x−1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
(2)观察可得最简公分母是(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
考查了解分式方程，注意：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅xx+1⋅x2−1x，
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x，
=x+1.
∵在−1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x=2时，原式=2+1=3.
【解析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原分式化简成x+1.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式化简，再代入数据求值．
22.【答案】这次调查共抽取的学生人数为50人； 115.2∘ 估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数为720人
【解析】解：(1)由题意得，30元捐款的人数为8人，占总人数的16%，
∴总人数=8÷16%=50(人).
∴15元捐款的人数=50−4−16−10−8=12(人)，
补全条形统计图如下示：
(2)∵10元捐款的人数为16人，总人数为50人，
∴10元捐款的圆心角=1650×360∘=115.2∘；
(3)估计该校3600名学生中捐款20元的人数为3600×1050=720人，
答：估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数为720人．
(1)结合扇形统计图中30元的百分比与条形统计图中30元的人数求出总人数，再计算15元的人数以补全统计图；
(2)利用扇形圆心角公式，即该组人数占总人数的比例乘以360∘计算；
(3)通过样本中20元捐款的比例乘以全校总人数来估计总体数量．
本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=CB.
∵AE=CF，
∴AD−AE=CB−CF，
∴ED=FB.
∵ED//FB，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：∵AD//CB，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE=3.
∴AB=DC=3，
∴AE=CF=2，
∴AD=AE+DE=2+3=5.
∴AB+DC+CB+AD=3+3+5+5=16，
∴平行四边形ABCD的周长是16.
【解析】(1)通过“ED=FB，ED//FB”证得四边形BEDF是平行四边形；
(2)证∠DEC=∠DCE，则CD=DE=3，再由平行四边形的性质得BF=DE=3，AB=DC=3，则AE+DE=2+3=5.接下来由平行四边形的周长公式作答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
24.【答案】(1)如图，点E，F为所求; (2)20
【解析】解：(1)连接BD，利用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线交AD，BC于点E，F，如图，点E，F为所求．

证明如下：设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90∘，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OD=OB，EB=ED，FB=FD，
在△OED和△OFB中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△OED≌△OFB(ASA)，
∴ED=FB，
∴EB=ED=FB=FD，
∴四边形BEDF为菱形，
∴点E，F为所求作的点．
(2)设菱形BEDF的边长为x，
在Rt△ABE中，AE=AD−ED=8−x，AB=4，BE=x，
由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，
即：x2=42+(8−x)2，
解得：x=5，
∴菱形的BEDF的边长为5，
∴S菱形BEDF=AB×BF=4×5=20.
(1)连接BD，作BD的垂直平分线交AD，BC于点E，F，则四边形BEDF为菱形；由EF是BD的垂直平分线得EB=ED，FB=FD，OD=OB，再证△OED和△OFB全等得ED=FB，进而得EB=ED=FB=FD，据此可判定四边形BEDF为菱形；
(2)设菱形BEDF的边长为x，在Rt△ABE中由勾股定理求出x即可．再根据S菱形BEDF=AB×BF=4×5=20.
此题主要考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线的方法与步骤，理解四条边都相等的四边形是菱形．
25.【答案】解：(1)设A品牌套装每套进价为x元，则B品牌套装进价为(x−2.5)元，
由题意得：200x=150x−2.5，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x−2.5=7.5，
答：A品牌套装每套进价为10元，B品牌套装进价为7.5元；
(2)设购进A品牌套装m套，则购进B品牌套装(2m+4)套，
由题意得：(12−10)m+(10.5−7.5)(2m+4)>120，
解得：m>13.5，
∵m为正整数，
∴m的最小值为14，
答：最少购进A品牌工具套装14套．
【解析】(1)设A品牌套装每套进价为x元，则B品牌套装进价为(x−2.5)元，根据用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进A品牌套装m套，则购进B品牌套装(2m+4)套，根据使总的获利超过120元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：P−Q=x+12−2xx+1
=(x+1)2−4x2(x+1)
=(x−1)22(x+1)
∵x>0，
∴2(x+1)>0，
又∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)22(x+1)≥0.
∴P−Q≥0.
(2)解：不能．
3P+Q=6x+1+2xx+1
=6+2xx+1，
当6+2xx+1=10时，解得x=−12，
经检验，x=−12是原分式方程的解．
∵−120，∴x=1或3，
∴3P+Q=4或3.

【解析】(1)将P、Q分别代入P−Q通分并化简，分子为完全平方，大于或等于0，分母为2(x+1)，大于0，从而得证；
(2)将P、Q分别代入3P+Q并计算，令其值为10，解分式方程并检验即可；
(3)将3P+Q整理，当x和3P+Q均为整数时求出x的值及对应3P+Q的值即可．
分式的加减法及分式的值，掌握分式加减的运算法则是解题的关键．
27.【答案】解：【任务一】D；
【任务二】(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BCD=90∘，E为BD的中点，
∴EC=EB，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠ECB，
即∠ABD=∠ACE；
(2)∵点E，F分别是BD，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12AB，EF//AB，
∵∠BCD=90∘，E为中点，
∴EC=12BD，
由“垂等四边形”得AC=BD，AC⊥BD，
又AB=AC，
∴AB=BD，
∴EF=EC，
则四边形CEFG为菱形，
∵EF//AB，
∴∠FED=∠ABD，
由(1)得∠ABD=∠ACE，
∴∠FED=∠ACE，
由“垂等四边形”得AC⊥BD，
则∠ACE+∠CED=90∘，
∴∠FEC=∠FED+∠CED=90∘，
则四边形CEFG为正方形；
【任务三】如图，连接AC、AE，分别交BD与点M，N，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM=CM，∠BAD=90∘，
∵将△ABD沿对角线BD翻折至△EBD，
∴AN=EN，∠BED=∠BAD=90∘，AB=BE，DE=AD，
∴MN是△AEC的中位线，
∴EC//BF，
∵BF=CE，
∴四边形ECFB为平行四边形，
∴FC=BE，FC//BE，
又BE⊥DE，
则FC⊥DG，
∴FC=BE=AB=12AD=12ED=DG，
则四边形CDFG是“垂等四边形”．

【解析】解：【任务一】∵平行四边形的对角线互相平分，
∴A选项不符合题意；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴B选项不符合题意；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴C选项不符合题意；
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴D选项符合题意，
故选：D；
【任务二】(1)见答案；
(2)见答案．
【任务一】由正方形的性质可得出答案；
【任务二】(1)证明EC=EB，得出∠EBC=∠ECB，则可得出结论；
(2)由正方形的判定可得出结论；
【任务三】证出FC=BE=AB=12AD=12ED=DG，则可得出结论．
此题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握以上知识．
28.【答案】=；
GE=BF，理由见解析；
见解析；
40.
【解析】(1)解：AE=BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90∘，AB=BC，
∴∠ABM+∠CBF=90∘，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=90∘，
∴∠BAE+∠ABM=90∘，
∴∠CBF=∠BAE，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF，
故答案为：=；
(2)解：GE=BF，
理由：如图2，
作AH//EG，交BC于H，
∵EG⊥BF，
∴AH⊥BF，
由(1)知：AH=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∴GE=AH，
∴GE=BF；
(3)证明：如图3，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA=FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA=FP，
∴FP=FC，
∴∠FPC=∠FCP，
∵∠FAB=∠FCP，
∴∠FAB=∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB=180∘，
∴∠ABC+∠AFP=180∘，
∴∠AFP=90∘，
∴FE=12AP，
由(1)知，AP=MN，
∴MN=ME+EF+FN=AP=2EF，
∴EF=ME+FN；
(4)解：过点F作FK//EG，过点G作GK//EF，
∴四边形EFKG是平行四边形，
∴GK=EF，FK=EG，
∴EF+BG=GK+BG，
∵BG+GK≥KK，
∴当B，G，K三点共线时，BG+KG的值最小，
由(2)可知EG=BF，
∴FK=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CF=12DC=2，
∴BF= BC2+CF2= 42+22=2 5，
∵BF⊥EG，FK//EG，
∴FK⊥BF，
∴BK= BF2+FK2=2 10，
∴EF+BG的最小值为2 10，
∴(EF+BG)2的最小值为40，
故答案为：40.
(1)可证明△ABE≌△BCF，从而得出AE=BF；(2)作AH//EG，交BC于H，由(1)知：AH=BF，可证得四边形AHEG是平行四边形，从而GE=AH，进而得出结论；
(3)先判断出FE=12AP，代换即可得到结论；
(4)过点F作FK//EG，过点G作GK//EF，根据平行四边形的性质得到GK=EF，FK=EG，求得EF+BG=GK+BG，当B，G，K三点共线时，BG+KG的值最小，由(2)可知EG=BF，求得FK=BE，根据正方形的性质得到CF=12DC=2，根据勾股定理得到BF= BC2+CF2= 42+22=2 5，根据勾股定理得到BK= BF2+FK2=2 10，于是得到EF+BG的最小值为2 10.
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质及勾股定理是解题的关键．