2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中，是随机事件的为(    )

A. 一个三角形的内角和是 B. 负数大于正数
C. 掷一枚骰子朝上一面的点数为 D. 明天太阳从西方升起

3.  下列各式中，属于分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  分式，的最简公分母是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在一个不透明的口袋中有红球、白球共个，它们除颜色外，其余完全相同通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近，估算口袋中红球的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

8.  关于矩形的性质，下面说法错误的是(    )

A. 矩形的四个角都是直角 B. 矩形的两条对角线相等
C. 矩形的两条对角线互相垂直平分 D. 矩形的两组对边分别平行

9.  如图，在中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：；；；的最小值为其中正确结论的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  为调查神舟十四号飞船各设备的运行情况，应采用______ 的方式填“普查”或“抽样调查”．

12.  若代数式的值为，则实数的值为          ．

13.  计算： ______ ．

14.  如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为______ ．

15.  若，，则 ______ ．

16.  如图，在中，，将绕点旋转得到，且点落在边上，则 ______

17.  在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中，，分别是，的中点，当四边形为矩形时，的值为______ ．

18.  如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
约分：
；
．

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
某中学对全校七年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，设测试成绩为分，将成绩分为，，，四个等级，级：；级：；级：；级：，根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：

求在这次调查中共抽查的学生人数；
请补全条形统计图；
求表示“级”部分的扇形圆心角度数；
若该校七年级学生有人，请你估计此次测试中，达到“级”的学生约有多少人？

22.  本小题分
在坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
按要求作图：画出关于原点的中心对称图形；画出将绕点逆时针旋转得到；
如图，已知，，点在边上，四边形是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线请保留画图痕迹．
 

23.  本小题分
如图，在▱中，点、分别是、边的中点，求证：．

24.  本小题分
已知，．
化简；
求出当时的值．

25.  本小题分
如图，已知中，，分别延长、到点、使得，，连接、、．
求证：四边形是矩形；
以、为一组邻边作▱，连接，若，求的度数．

26.  本小题分
在长方形中，，，．
如图，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为______ ．
如图，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．
 

27.  本小题分
知识再现：已知，如图，四边形是正方形，点、分别在边、上，连接、、，，延长至使，连接，根据三角形全等的知识，我们可以证明．
知识探究：在图中，作，垂足为点，猜想与有什么数量关系？并证明；
知识应用：如图，已知，于点，且，，则的长为______；
知识拓展：如图，四边形是正方形，是边的中点，为边上一点，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：一个三角形的内角和是，是必然事件，故A不符合题意；
B.负数大于正数，是不可能事件，故B不符合题意；
C.掷一枚骰子朝上一面的点数为，是随机事件，故C符合题意；
D.明天太阳从西方升起，是不可能事件，故D不符合题意．
故选：．
根据事件的分类进行判断即可．
本题主要考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D.分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分母中含有字母的代数式，叫分式．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
 

5.【答案】 

【解析】此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键．
利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
解：分式，的最简公分母是．
故选：．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，个．
故选：．
根据频率、频数、总数的关系求解即可．
本题考查了用频率估计概率，熟练掌握频率频数总数是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把分式中的和都扩大倍，得，
分式的值不变，
故选：．
根据分式的基本性质：分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、矩形的四个角都是直角，说法正确，
故不符合题意；
B、矩形的两条对角线相等，说法正确，
故不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，
故符合题意；
D、矩形的两组对边分别平行，说法正确，
故不符合题意；
故选：．
根据矩形的性质对选项逐一进行判断即可．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
又是的边的中点，
是的中位线，
，
，即．
．
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可求出的长．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，

，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
≌，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上，正确的结论为：．
故选：．
连接，易知四边形为矩形，可得；由≌可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
 

11.【答案】普查 

【解析】解：为调查神舟十四号飞船各设备的运行情况，应采用普查的方式，
故答案为：普查．
根据全面调查收集的到数据全面、准确解答即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零的条件列方程和不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件分子为零，且分母不等于零是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
分式分母相同，直接加减，最后约分．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
菱形的面积，
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．
此题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
先通分，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了分式的化简求值：利用整体代入的方法计算．
 

16.【答案】 

【解析】解：将绕点旋转得到，
，，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得出，，再根据平角的定义即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
、是对角线上的两个动点，速度均为每秒个单位长度，
，
，分别是，中点，
，，
，
≌，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
如图，连接，

，，，
四边形是矩形，
，
如图，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
如图，当四边形是矩形时，

，，
，
；
综上，四边形为矩形时或．
故答案为：或．
证出四边形是平行四边形，得出，由矩形的判定与性质可得出答案．
本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，且，
，
，
在与中，

≌，
，，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当最小，
在中，，，
，
故答案为．
连接，过点作交延长线于点，通过证明≌，确定点在的射线上运动，作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上，当，，三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】分子、分母约去公因式；
分子、分母约去公因式．
本题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
 

20.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】、先通分，再把分子相加减即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式的加减法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可得，七年级各班共随机调查了：人，
组人数．
补全条形统计图如图所示．

级所在的扇形圆心角的度数是：；
因为人．
所以估计全校七年级体育测试中级学生人数约为人． 

【解析】利用组人数除以所占百分比进而得出答案；
根据中所求得出测试全体人数，以及级所在的扇形的圆心角度数得出答案；
先求出样本中等级的学生人数占全班学生人数的百分比是，进而得出组所占圆心角度数；
根据级的学生人数所占比例求出该县九年级有名学生所占人数．
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：如图中，即为所求作．
如图中，即为所求作．

如图中，射线即为所求作． 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
连接，交于点，作射线即可．
本题考查作图旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是▱边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

24.【答案】解：


；
当时，即，
，
． 

【解析】先通分，然后进行同分母的减法运算；
利用得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了分式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算．
 

25.【答案】解：证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
连接，设与交于，

，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即是直角三角形，
是中边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
． 

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件推出四边形是平行四边形，求得，，等量代换得到，于是得到四边形是矩形；
连接，设与交于，根据垂直的定义得到，根据平行四边形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图中，四边形是矩形，
，
由翻折变换的性质可知，
，
，
故答案为：；

如图，当点在线段上时，

四边形是矩形，
，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
，
，
．
如图，当点在的延长线上时，同法可证，

，，
，
．
综上所述，的长为或．
利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可；
分两种情形：当点在线段上时，证明，求出即可；当点在的延长线上时，同法可证，再求出即可．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
；
如图所示，将和翻折，延长、交于点，

≌，
，，，
≌，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
设，
，，，
，
解得，
，
故答案为：．
如图所示，

连接，过点作，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，点为边上的中点，
，
设，
则，，
，
解得，
． 

【解析】根据已知条件可证出≌，再证明≌，可得为的角平分线，则．
还原图形，同理设未知数，根据勾股定理列方程即可．
连接，过点作，根据，可得，可推出≌，设，则，，可列式为，解得，即．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键．