2025-2026学年浙江省杭州市萧山区朝晖中学等校七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市萧山区朝晖中学等校七年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共38页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十两，牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( )
A. 同位角
B. 内错角
C. 同旁内角
D. 对顶角
2.将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列说法错误的是( )
A. 对顶角相等
B. 同旁内角互补
C. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.化简(−x2)3，结果正确的是( )
A. −x5B. −x6C. x5D. x6
5.用加减消元法解方程组{5x−2y=3①x+2y=−1②，下列做法正确的是( )
A. ①+②×5B. ①×5−②C. ①+②D. ①-②
6.如图，能判定AC//BE的条件是( )
A. ∠A+∠CBE=180∘
B. ∠A+∠ABD=180∘
C. ∠C+∠CBE=180∘
D. ∠C+∠ABD=180∘
7.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为( )
A. 5x+2y=102y+5x=8B. 5x+2y=102x+5y=8C. 2x+5y=102y+5x=8D. 2x+5y=102x+5y=8
8.甲、乙两长方形的边长如图所示(m为正整数)，其周长分别为L甲、L乙，其面积分别为S甲、S乙，则周长与面积的大小关系正确的是( )
A. L甲S乙
9.若(x+52)(2x−21)化简后为2x2−qx+p，则p−10q的值为( )
A. 10090B. 1922C. −262D. −1922
10.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.下列两个结论：①若n=5，则y=1；②若x4m−n=1(其中4m≠n)，则y=1或y=3.则对这两个结论判断正确的是( )
A. ①对、②错
B. ①错、②对
C. 都错
D. 都对
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.请写出二元一次方程2x−y=5的一个解 .
12.如图，AO⊥BO，∠BOC比∠AOC大4∘，则∠AOC= 度.
13.悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座AO⊥OM于点O，将∠A，∠B调整至∠A=153∘，∠B=32∘，要使CD//OM，需将∠C的大小调整为 度.
14.已知a2=3−a，那么(a2+2)(a+6)= .
15.已知(3m)2=36，43+43+43+43=2n，则m+n= .
16.如图，把一张长方形纸片ABCD进行两次折叠，第一次沿EF折叠，第二次沿GF折叠，则∠1−∠2∠3= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2(3a−2b)−6a；
(2)(2a−3)(3a+1).
18.(本小题8分)
解方程组：
(1)x+y=3x−2y=−3；
(2)2x−5y=84x−3y=2.
19.(本小题8分)
补全下列证明过程及括号内的推理依据：
如图，已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠3=∠E，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知).
∴AD//______(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1=∠E(______)，
∠2=∠3(______)
又∵∠3=∠E(已知)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∴AD平分∠BAC(______)
20.(本小题8分)
如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，且△ABC的顶点与点E都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
(1)将△ABC平移到△DEF，使点A与点D重合，点B与点E重合，请画出△DEF.
(2)若连结AD，CF，则AD与CF之间的位置关系为______.
(3)请描述△ABC平移到△DEF的平移方法.
21.(本小题8分)
定义：关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a≠c≠0)的常数项c未知数x的系数a互换所得到的方程叫“关于x系数的交换方程”，例如：x+3y=7的关于x系数的交换方程为7x+3y=1.
(1)求方程5x−2y=3与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解.
(2)请说明方程ax+by=c(a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解中的x值与a、b、c无关.
22.(本小题10分)
如图，AD//EF，∠1+∠2=180∘.
(1)证明AB//DG.
(2)若DG是∠ADC的角平分线，∠B=32∘，求∠2的度数.
23.(本小题10分)
2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数.某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元.
(1)若丙型玩偶的单价为50元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)在(1)的条件下，某班级计划用540元全部购买甲、乙两种型号玩偶(两种玩偶都要有)作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？
(3)某班级计划购买12只甲型玩偶、19只乙型玩偶和13只丙型玩偶给班级的44位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？
24.(本小题12分)
如图，直线MN//PQ，点A是MN上一定点，点B是PQ上一动点，在AB的右侧作∠BAC=70∘与PQ交于点C，过C作∠ACQ的平分线CD与MN交于点D，在点B的运动过程中.
(1)如图1，当∠BAM=56∘时，求∠ADC的度数.
(2)作∠ABC的平分线BE，交CD所在直线于点E.
①如图2，当CD//AB时，求∠BEC的度数.
②如图3，当点D与点E重合，求∠BEC的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是一对内错角，
故选：B.
根据“内错角”的定义进行判断即可．
本题考查内错角，理解“两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线的内部，且在截线的异侧的角是内错角”是正确判断的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【解答】
解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．
故选：A.
3.【答案】B
【解析】解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故B符合题意．
故选：B.
由对顶角的性质，垂线的性质，同旁内角的概念，平行公理，即可判断．
本题考查平行线的判定，对顶角、邻补角，垂线，同位角、内错角、同旁内角，平行公理及推论，关键是掌握对顶角的性质，垂线的性质，同旁内角的概念，平行公理．
4.【答案】B
【解析】解：原式=−x2×3
=−x6.
故选：B.
根据幂的乘方进行计算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握此知识点是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：对于方程组{5x−2y=3①x+2y=−1②，
对于选项A，
①+②×5得：10x+8y=−2，没有达到消元的目的，
∴选项A做法不正确，不符合题意；
对于选项B，
①×5−②得：24x−12y=16，没有达到消元的目的，
∴选项B做法不正确，不符合题意；
对于选项C，
①+②，得：6x=2，
由此可解出x，进而再解出y即可得出该方程组的解，
∴选项C做法正确，符合题意；
对于选项D，
①-②得：4x−4y=4，没有达到消元的目的，
∴选项D做法不正确，不符合题意，
故选：C.
根据加减消元法解方程组的步骤逐项分析判断即可得到答案．
此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】A.∠A+∠CBE=180∘，∠A和∠CBE不是同旁内角，不能判断AC//BE；
B.∠A+∠ABD=180∘，不是同旁内角，不能判断AC//BE；
C.∠CBE+∠C=180∘，由同旁内角互补，两直线平行，可判断EB//AC；
D.∠C+∠ABD=180∘，∠C+∠ABD是同位角，不是同旁内角，不能判断EB//AC.
故选：C.
根据平行线的判定定理结合四个选项，即可得出结论．
此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7.【答案】B
【解析】解：依题意得：5x+2y=102x+5y=8.
故选：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
8.【答案】D
【解析】解：L甲−L乙
=2(m+1+m+7)−2(m+2+m+4)
=2(2m+8)−2(2m+6)
=42m+16−4m−12
=4>0，
S甲−S乙
=(m+1)(m+7)−(m+2)(m+4)
=m2+8m+7−m2−6m−8
=2m−1，
∵m为正整数，
∴2m−1>0，
∴L甲>L乙，S甲>S乙，
故选：D.
分别列式计算L甲−L乙，S甲−S乙，然后把结果与0比较大小即可．
本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：(x+52)(2x−21)
=2x2−21x+104x−1092
=2x2+83x−1092
=2x2−qx+p，
则p=−1092，q=−83，
那么p−10q=−1092+830=−262，
故选：C.
利用多项式乘多项式法则将(x+52)(2x−21)展开后求得p，q的值，然后将其代入p−10q中计算即可．
本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x+2y=m，2y+3x=n，m+n=8，
∴x+2y+2y+3x=m+n=8，4x+4y=m+n=8，
∴x+y=2，
若n=5，则m=3，
∴x+2y=3，2y+3x=5，
解得y=1，x=1，故正确；
若x4m−n=1(其中4m≠n)，只能是x=1或x=−1进行分析指数的取值，
∵x=1，
∵4x+4y=8，
∴y=1，
∴m=3，n=3，
满足4m≠n，
当x=−1时，
∵x+y=2，
∴y=3，
∴m=−1+2×3=−1+6=5，n=2×3+3×(−1)=6−3=3，
∴4m−n=20−3=−17
(−1)−17=−1≠1，
∴x=−1不成立，
故②错误，
综上可知：①对，②错，
故选：A.
先根据题意得到：x+2y=m，2y+3x=n，m+n=8，从而求出x+y的值，判断Ⅱ的正误，再根据n=5，求出m，从而列出关于x，y的方程组，解方程组，求出x，y，判断Ⅱ的正误，最后根据y的值，求出x，m，n，再代入所求的幂进行计算，然后判断是Ⅲ即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的约定，求出x+y，m和n的值．
11.【答案】x=3y=1(答案不唯一)
【解析】解：已知二元一次方程2x−y=5，
令y=1，
则2x−1=5，
解得：x=3，
则它的一个解为x=3y=1，
故答案为：x=3y=1(答案不唯一).
令y=1，解得对应的x的值即可．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．
12.【答案】43
【解析】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90∘，
∴∠BOC+∠AOC=90∘，
∵∠BOC比∠AOC大4∘，
∴∠AOC+4∘+∠AOC=90∘，
∴∠AOC=43∘，
故答案为：43.
根据垂线的定义得出∠AOB=90∘，再结合已知即可求出∠AOC的度数．
本题考查了垂线，根据图形得出角之间的关系是解题的关键．
13.【答案】149
【解析】解：如图2，延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F，
∵AO⊥OM，
∴∠EOM=90∘，
∵CD//OM，
∴∠EFC=∠EOM=90∘(两直线平行，同位角相等)，
∵∠BAO=∠B+∠BEA，∠BAO=153∘，∠B=32∘，
∴∠BEA=∠BAO−∠B=121∘，
∴∠FEC=180∘−∠BEA=59∘，
∴∠BCD=∠FEC+∠EFC=149∘，
故答案为：149.
延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F，根据平行线的性质可得∠EFC=∠EOM=90∘，再根据三角形的外角性质可得∠BAO=∠B+∠BEA，∠BCD=∠FEC+∠EFC，由此等量代换即可求得答案．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握相关图形的性质并作出正确的辅助线是解决本题的关键．
14.【答案】27
【解析】解：∵a2=3−a，
∴(a2+2)(a+6)
=(3−a+2)(a+6)
=(5−a)(a+6)
=5a+30−a2−6a
=30−a2−a
=30−(3−a)−a
=30−3+a−a
=27，
故答案为：27.
将a2=3−a代入原式并利用多项式乘多项式法则计算，然后再将a2=3−a代入并计算即可．
本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】11
【解析】解：(3m)2=32m，
2m=6，
m=3；
43+43+43+43=4×43=44=(22)4=28，
n=8，
∴m+n=3+8=11.
故答案为：11.
根据幂的乘方和积的乘方的乘法法则分别求出m、n的值，再计算出m+n的结果．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是根据运算法则来计算．
16.【答案】12
【解析】解：设∠1=α，
∴∠DEG=180∘−∠1=180∘−α，
∵第一次沿EF折叠，第二次沿GF折叠，
∴∠HGF=∠FGD′，∠GFC′′=∠GFC′，∠DEH=∠GEH=12∠DEG=12(180∘−α)=90∘−12α.
∵AD//BC，
∴∠BGE=∠DEG=180∘−α，∠EGF=∠AEG=α，∠EFG=∠DEH=90∘−12α，
∵∠FGD′=∠EGB=180∘−α，GD′//FC′，
∴∠GFC′=180∘−∠FGD′=180∘−(180∘−α)=α，
∴∠GFC′′=∠GFC′=α，
∴∠HFC′′=∠GFC′′−∠EFG=α−(90∘−12α)=32α−90∘，
∵C′′F//D′′G，
∴∠3=∠HGF=180∘−α，∠2=∠HFC′′=32α−90∘，
∴∠1−∠2∠3=α−(32α−90∘)180∘−α=12.
设∠1=α，根据折叠的性质以及平行线的性质分别表示出∠2，∠3，即可求解．
本题主要考查了折叠、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】−4b 6a2−7a−3
【解析】解：(1)2(3a−2b)−6a
=6a−4b−6a
=−4b；
(2)(2a−3)(3a+1)
=6a2+2a−9a−3
=6a2−7a−3.
(1)将原式去括号后合并同类项即可；
(2)利用多项式乘多项式法则计算即可．
本题考查多项式乘多项式，整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】x=1y=2 x=−1y=−2
【解析】解：(1){x+y=3①x−2y=−3②，
①-②得，3y=6，
解得：y=2，
将y=2代入①得，x+2=3，
解得：x=1，
∴方程组的解为x=1y=2；
(2){2x−5y=8①4x−3y=2②，
①×2−②得，−7y=14，
解得：y=−2，
将y=−2代入①得，2x+10=8，
解得：x=−1，
∴方程组的解为x=−1y=−2.
(1)运用加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)运用加减消元法解二元一次方程组即可；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
19.【答案】EF 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 角平分线的定义
【解析】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知).
∴AD//EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1=∠E(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
又∵∠3=∠E(已知)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
根据两直线平行的性质和角平分线的定义进行填空即可．
本题主要考查证明过程中理论依据的填写，训练学生证明步骤的书写，比较简单．
20.【答案】如图，△DEF即为所求 若连结AD，CF，则AD与CF之间的位置关系为AD=CF，AD//CF.
故答案为：AD=CF，AD//CF； △ABC向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到△DEF
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求；
(2)若连结AD，CF，则AD与CF之间的位置关系为AD=CF，AD//CF.
故答案为：AD=CF，AD//CF；
(3)△ABC向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到△DEF.
(1)利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点D，F即可；
(2)根据平移变换的性质判断即可；
(3)根据平移变换的定义解决问题．
本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．
21.【答案】x=−1y=−4 方程ax+by=c(a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组为{ax+by=c①cx+by=a②，
①-②得，(a−c)x=c−a，
解得x=−1，
即x的值与a、b、c无关
【解析】解：(1)方程5x−2y=3与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程为3x−2y=5，由题意得，
{5x−2y=3①3x−2y=5②，
①-②得，2x=−2，
解得x=−1，
把x=−1代入①得，−5−2y=3，
解得y=−4，
所以方程组的解为x=−1y=−4；
(2)方程ax+by=c(a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组为{ax+by=c①cx+by=a②，
①-②得，(a−c)x=c−a，
解得x=−1，
即x的值与a、b、c无关．
(1)根据“关于x系数的交换方程”的定义以及二元一次方程组的解法进行解答即可；
(2)根据“关于x系数的交换方程”的定义以及加减消元法解二元一次方程组进行计算即可．
本题考查二元一次方程组，理解新定义“关于x系数的交换方程”的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
22.【答案】∵AD//EF，
∴∠DAB+∠2=180∘，
又∵∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠DAB，
∴AB//DG 150∘
【解析】(1)证明：∵AD//EF，
∴∠DAB+∠2=180∘，
又∵∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠DAB，
∴AB//DG；
(2)解：∵AB//DG，∠B=30∘，
∴∠B=∠CDG=30∘，
∵DG平分∠ADC，
∴∠CDG=∠1=30∘，
∵∠1+∠2=180∘，
∴∠2=180∘−∠1=150∘.
(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】甲型号玩偶的单价是40元，乙型号玩偶的单价是60元 该班级有4种购买方案 该班级共需花费2270元
【解析】解：(1)设甲型号玩偶的单价是m元，乙型号玩偶的单价是n元，
根据题意得：m+2n+4×50=3602m+3n+1×50=310，
解得m=40n=60，
∴甲型号玩偶的单价是40元，乙型号玩偶的单价是60元；
(2)设购买甲型号玩偶a个，购买乙型号玩偶b个，
根据题意得：40a+60b=540，
∴b=27−2a3，
∵a，b都是正整数，
∴a=3b=7或a=6b=5或a=9b=3或a=12b=1，
∴该班级有4种购买方案；
(3)设甲型号玩偶的单价是x元，乙型号玩偶的单价是y元，丙型号玩偶的单价是z元，
∵购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元，
∴x+2y+4z=3602x+3y+z=310，
可得x=10z−460y=410−7z，
∴12x+19y+13z=12(10z−460)+19(410−7z)+13z=120z−5520+7790−133z+13z=2270，
∴该班级共需花费2270元．
(1)设甲型号玩偶的单价是m元，乙型号玩偶的单价是n元，根据题意列方程组可解得答案；
(2)设购买甲型号玩偶a个，购买乙型号玩偶b个，可得：40a+60b=540，求出其正整数解即可；
(3)设甲型号玩偶的单价是x元，乙型号玩偶的单价是y元，丙型号玩偶的单价是z元，列方程组可得x=10z−460y=410−7z，再求出12x+19y+13z的值即可．
本题考查三元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意找到等量关系列出方程．
24.【答案】63∘ ①35∘；②35∘
【解析】解：(1)∵∠BAC=70∘，∠BAM=56∘，
∴∠MAC=∠BAC+∠BAM=70∘+56∘=126∘.
∵MN//PQ，
∴∠ACQ=∠MAC=126∘.
又∵CD平分∠ACQ，
∴∠DCQ=12∠ACQ=63∘.
∵MN//PQ，
∴∠ADC=∠DCQ=63∘.
(2)①∵CD//AB，∠BAC=70∘，
∴∠ACD=∠BAD=70∘.
∵CD平分∠ACQ，
∴∠DCQ=∠ACD=70∘.
∵CD//AB，
∴∠ABC=∠DCQ=70∘.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=35∘.
∵CD//AB，
∴∠BEC=∠ABE=35∘.
②∵∠BAC=70∘，
∴∠ACQ−∠ABC=70∘.
∵BE和CD分别平分∠ABC和∠ACQ，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECQ=12∠ACQ.
∴∠BEC=∠ECQ−∠EBC=12(∠ACQ−∠ABC)=12×70∘=35∘.
(1)根据平行线的性质进行计算即可；
(2)①根据平行线的性质结合角平分线的定义进行计算即可；
②根据角平分线的定义及三角形外角的性质进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．