2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于秒，用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，下列条件能使的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树和梭梭树苗已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列等式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知实数，，满足，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  式子化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知，，则与之间满足的数量关系是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知二元一次方程有一组解为，则______．

12.  已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______．

13.  如果，，则的值为______ ．

14.  如图，一块含角的三角板在直线、之间，已知直线，直线分别与直线，相交，，则的度数为______

15.  如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为______．

16.  有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列方程组：
；
．

18.  本小题分
计算：；
化简：；
分解因式：．

19.  本小题分
化简，求值：，其中．

20.  本小题分

某中学组织一批学生春游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满已知座客车租金为每辆元，座客车租金为每辆元，问：

这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆座客车？

若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？

21.  本小题分
如图，已知，．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，求的度数．

22.  本小题分

如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．

观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；

若，利用中的结论，求的值；

若，求的值．

23.  本小题分
如图，已知，点是射线上一动点与点不重合，，分别平分和，分别交射线于点，．
当时，的度数是______ ，的度数是______ ；
当时，求的度数用含的式子表示；
当点运动到使，时，求的度数用含的代子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
B.方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫二元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】

解：．
故选：．
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．  

4.【答案】 

【解析】解：、，不能得出，不符合题意；
B、，不能得出，不符合题意；
C、，，符合题意；
D、，，不能得出，不符合题意；
故选：．
利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，
；
购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不合题意；
B.从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
即，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等和三角形的外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程组，
得：，
整理得：，
把代入代数式得：
，
即代数式的值是，
故选：．
将方程组得：，整理得：，把代入代数式，即可得到答案．
本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
根据平方差公式求解即可．
本题考查了平方差公式，规律型，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长、分别交及延长线于、．
，，
，．
，
，．
．
，



，
．
．
即．
故选：．
延长、分别交及延长线于、，由平行线的性质得与、与间关系，再利用外角与内角的关系得结论．
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的解以及一元一次方程的解法，属于基础题型．
把解先代入方程，得，解出即可．
【解答】
解：二元一次方程有一组解为
，
解得：
故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：由图可知与是内错角关系的是，
故答案为：．
根据内错角的概念：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角求解可得．
本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把所求的代数式整理为和所给代数式相关的式子，代入求值即可．
本题考查因式分解的应用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等得出，进而解答即可．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设的边长为，的边长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
正方形的面积为．
故答案为：．
设的边长为，的边长为，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列方程组可得结论．
此题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的计算法则，正确理解图形中各部分之间的关系，利用完全平方公式进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
将代入得，
解得，
将代入得，
方程组的解为；
，
得，
解得，
将代入得，
解得，
方程组的解为． 

【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可；
用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：


；



；
． 

【解析】先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可；
利用提公因式法进行分解即可．
本题主要考查整式的混合运算，分解因式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式

，
因为，
所以，，
所以，，
原式． 

【解析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式等，将所求式子化简．
 

20.【答案】解：设原计划租用辆座客车，则这批学生的人数是人，
依题意得：，
解得：，
．
答：这批学生的人数是人，原计划租用辆座客车．
租用座客车所需费用为元，
租用座客车所需费用为元．
，
租用辆座客车合算． 

【解析】设原计划租用辆座客车，则这批学生的人数是人，根据“若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出原计划租用座客车的数量，再将其代入中可求出这批学生的人数；
利用总租金每辆车的租金租用数量，可分别求出租用座及座客车所需总租金，比较后即可得出租用辆座客车合算．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

21.【答案】解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
． 

【解析】先根据对顶角相等得出，由得出，再由同位角相等，两直线平行可得出，由平行线的性质可得，由可得，根据内错角相等，两直线平行可得；
根据得出，由得出．
本题主要考查了平行线的判定与性质，先根据题意得出是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：．
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，则图中个小长方形面积的和为：；图中个小长方形面积的和为：；由此得出：．
由中的结论可知，，
因为，
所以等号两边平方得，，
所以，
所以．


，
把代入，
原式


． 

【解析】通过观察图形找到、、表示的图形面积，从图形面积之间的关系找到．
、分别是中的、，通过观察先求出的平方的值，再开方求得结果．
根据已知条件把变形为，把看作，看作，再运用完全平方公式，求得结果．
本题是通过观察图形面积间的关系找到代数式之间的等量关系，进而运用找到的等量关系解决计算问题．其中渗透了数形结合思想，将代数式之间的等量关系用图形面积直观地表示出来．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，
，分别平分和，
，，




，
，
故答案为：；；
当的度数为时，
，
，
由得：
，
的度数为；
，，，
，
，
，
，
，分别平分和，
，，
，
的度数为，
，

根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，即可解答；
根据平行线的性质可得，然后利用的结论进行计算即可解答；
根据三角形内角和定理和已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用的结论进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．