湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题 Word版含答案

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题 Word版含答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率为2，则limΔx→0f(x0)−f(x0−2Δx)Δx等于( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
2.若一质点的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系为s(t)=cs2t，则该质点在t=π6时的瞬时速度为( )
A. − 3B. 3C. − 32D. 32
3.如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设∠PAB=θ(00)，O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，F为焦点，且MN=12MF，则直线ON的斜率的最大值为( )
A. 12B. 1C. −1D. 2
8.若实数x，y满足e−x2+x+2y=2+lny，且对任意的正整数n，不等式ex+e2x+⋯+enx0时，f(a)0)的虚轴长为2 2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
13.若函数f(x)=x 2x+1，则f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为 ．
14.若函数f(x)=x2ex−12ax−alnx有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}，满足a1=2，an+1=2anan+2．
(1)求证：数列{1an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)求证：4≤a12+a22+⋯+an2ln(n+1)，(n∈N∗);
(3)在空间直角坐标系Oxyz中，任取异于原点O的点P，记直线OP与坐标平面xOy、yOz、zOx的夹角分别为α、β、γ.求G(α,β,γ)=g(1+3sin2α)+g(1+3sin2β)+g(1+3sin2γ)的最值．
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】y=± 2x
13.【答案】2 3x−9y+ 3=0
14.解：f(x)=x2ex−a2(x+2lnx)
=ex+2lnx−a2(x+2lnx)，
令t=x+2lnx，t∈R，
显然函数t=x+2lnx单调递增，
所以函数f(x)有2个零点，
等价于et−at2=0有两个根，
即et=at2有两个根，
设过原点且与曲线g(x)=ex相切的直线方程为y=kx，切点为(x0,y0)，
因为g′(x)=ex，所以ex0=kx0k=ex0，
解得x0=1，k=e，得切线方程为y=ex，
如下图，作出函数g(x)=ex的图象及其过原点的切线y=ex，
可知当a2>e，即a>2e时有两个交点，
即et=at2有两个根，
所以实数a的取值范围为(2e,+∞)，
故答案为：(2e,+∞).
(1)由递推公式和a1=2≠0，可得an≠0，
故两边取倒数，得：1an+1=an+22an=12+1an，即1an+1−1an=12．
所以数列1an是以1a1=12为首项，公差d=12的等差数列．
由等差数列通项公式可得：1an=12+(n−1)×12=n2，故an=2n．
(2)由(1)知an=2n，则an2=4n2。
设数列{an2}的前n项和为Sn，则Sn=a12+a22+⋯+an2=41+122+132+⋯+1n2。
先证Sn≥4：当n=1时，S1=4×1=4，
当n≥2时，122+132+⋯+1n2>0，所以Sn=41+正数>4。
综上，对任意n∈N∗，Sn≥4;
再证Sn