湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （ ）
A. B. C. D.
3. 一组正数的平均数为，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
4. 若满足，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
5. 若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知正四棱柱中， (点E在棱BB1上)，，则该四棱柱被过点 ，，平面截得的截面面积为
A. B. 36C. D.
8. 若，向量满足，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则与相互独立
B. 若与互斥，则
C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度
D. 数据的第百分位数为
10. 设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 离心率
B. 的最小值为
C. 的大小可以是
D. 满足为等腰三角形的点有个
11. 如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ）
A. 的最小值是
B.
C. 三棱锥的体积是定值
D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是__________.
13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______．
14. 已知椭圆：两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上高所在直线方程为．
（1）求边所在直线方程；
（2）求点和点的坐标．
16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.
17. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
（1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.
18. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点．
（1）证明椭圆的光学性质；
（2）如图，过直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值；
19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作.
（1）已知点和点，直线：，求和.
（2）已知圆C：和圆E：.
（i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系；
（ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：.