湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测 数学试题

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测 数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线 y2=12x 的准线方程为 ( )
A. x=−6 B. x=−3 C. x=6 D. x=3
2. 圆 C1:x2+y2=2 与圆 C2:x2+y2−4x−4y+6=0 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
3. 已知函数 fx 的导函数 y=f′x 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )

A. fx 在区间 x1,x3 上单调递减 B. fx 在 x=x5 处取得极大值
C. f′x 在区间 x3,x4 上单调递减 D. f′x 在 x=x6 处取得极小值
4. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走 252 里路, 第一天健步行走, 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地. 则最后一天走了( )
A. 4 里 B. 16 里 C. 64 里 D. 128 里
5. 在空间直角坐标系中,直线 l 经过点 P1,2,−1 ,且其方向向量 n=1,2,1 ,则点 Q1,0,−2 到直线 l 的距离为( )
A. 306 B. 56 C. 23 D. 12
6. 用一个与圆柱底面成 30∘ 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的离心率为( )
A. 33 B. 32 C. 13 D. 12
7. 若函数 fx=2x−2x−alnx 在区间 [2,+∞) 单调递增，则实数 a 的取值范围为( )
A. (−∞,0] B. (−∞,4] C. 4,5 D. (−∞,5]
8. 已知在数列 an 中, a1=2,a2=2025,an+1=2025an22025an−1+2ann≥2 ,则 an 中的最大项是( )
A. a1012 B. a1013 C. a2024 D. a2025
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 非零常数列既是等差数列, 又是等比数列
B. 4 与 9 的等比中项为 ±6
C. 在公比不为 1 的等比数列 an 中,若 a1a5=aman ,则 mn 的值可能为 8
D. 等比数列 an 是递增数列,则 an 的公比 q>1
10. 如图,在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 2,且 ∠DAB=∠DAA1=∠BAA1=60∘ ，则下列说法中正确的有( )

A. BD1=BA+BB1+BC B. BD1=8
C. 异面直线 BA 与 CC1 所成的角为 120∘ D. BD⊥CC1
11. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点. 若直线 AF1 的斜率是 34 ， △ABF1 的周长是 16，则()
A. C 的渐近线方程为 y=±2x B. C 的实轴长是 2
C. △ABF1 的面积是 12
D. △ABF1 的外接圆半径是 258
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 fx=ex⋅x−32 的单调减区间是_____.
13. 数列 an 满足, a1=2,an+1+an=2n−3n∈N∗ ,则数列 an 的前 9 项和为_____.
14. 已知直线 l:3x+4y−10=0 与 ⊙C:x−a2+y−22=4 交于 A,B 两点，
(1) a=−1 时， AB= _____；
(2)若在圆上或其内部存在一点 P ,使得 ∠APB=π3 ，则 a 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 设函数 fx=lnx−ax+1−ax−1 .
(1)当 a=1 时，求函数 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程.
(2)当 a=13 ，求函数 fx 的极值.
16. 已知 an 是等差数列， bn 是公比大于 0 的等比数列，且 a1=1,b1=2,a3+b2=7 ， a8=b3 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)设数列 an⋅bn 的前 n 项和为 Sn ，求 Sn .
17. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥AB ， BC⊥AB ， AD//BC ， PA=AD=2 ， AB=3 ， BC=1 ， E 为 PD 的中点，平面 BCE 与棱 PA 交于点 F .

(1)求证: F 为 PA 的中点；
(2)若 G 为 CD 的中点,平面 PAB⊥ 平面 ABCD ,求二面角 A−FG−E 的余弦值.
18. 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1−1,0 ， F21,0 ，且椭圆 E 过点 P 处，过 F1 处于两条互相垂直的直线 l1 与 l2 分别与椭圆交于 A,B,C,D 四点. 记弦 AB,CD 的中点分别是 M,N .

(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若直线 l1 与 x 轴不重合,求 △OAB 面积的最大值；
(3)求证:直线 MN 过定点，并求出该定点坐标.
19. 已知 Sn 为正项数列 an 的前 n 项和,且 1−qSn=q1−an .
(1)求 an 的通项公式.
(2)已知数列 bn 满足:① bn>0,b1q≥1,b2q=1 ，② bm+n∈bmbnq,2bmbnq ，③ b4m−10 ,此时 fx 单调递增,
当 x∈x2,x3 时, f′x0 ,
因为函数 fx=2x−2x−alnx 在区间 [2,+∞) 单调递增,
所以 f′x≥0 在区间 [2,+∞) 恒成立,即 2x2−ax+2≥0 在区间 [2,+∞) 恒成立,
即 a≤2x+2x 在区间 [2,+∞) 恒成立,
由对勾函数的单调性可得 2x+2x≥5 ,故 a≤5 .
故选: D.
8. B
记 k=2025 ,由题意得 an+1=kan2kan−1+2an ,
整理可得 kan2−kan+1an−1=2an+1an ,
得 an2−an+1an−1=2kan+1an ,即 anan+1−an−1an=2k ,
又 a1=2,a2=k ,所以 a1a2=2k ,则 anan+1 是以 2k 为首项， 2k 为公差的等差数列，
所以 anan+1=2nk=2n2025 ,
当 1≤n≤1012 时, anan+1an+1 ,
所以 a1