2026巴彦淖尔一中高二下学期开学考试数学含解析

这是一份2026巴彦淖尔一中高二下学期开学考试数学含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则m，n，p（ ）
A．成等差，但不成等比B．成等比，但不成等差
C．既成等差，又成等比D．既不成等差，又不成等比
3．如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知数列的首项为，且，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ）
A．6B．C．4D．
6．已知函数，则其导数（ ）
A．0B．C．D．
7．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．数列有最小项
C．数列为递减数列D．
10．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．是平面的一个法向量D．
11．已知点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．点到直线的距离为
三、填空题
12．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______.
13．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______.
14．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯___________盏．
四、解答题
15．已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形.
16．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积.
17．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
(1)证明：；
(2)若，点在棱上，，求二面角的大小.
19．根据下列条件写出直线方程：
(1)斜率是3，且经过点的直线方程；
(2)原点与点关于直线对称，求直线的方程；
(3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
参考答案
1．A
【详解】
.
故选：A
2．A
【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差；
由，但，可知m，n，p不成等比．
故选：A．
3．A
【详解】由图可得：
.
故选：A.
4．D
【详解】因为，且，
所以，，
，所以该数列的周期为，
因此.
故选：D
5．B
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
因为，即，
且，所以.
故选：B.
6．D
【详解】根据导数的四则运算法则可知，.
故选：D.
7．B
【详解】因为，为中点，
所以，，
故.
故选：B
8．C
【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线方程，
由抛物线定义可知，点到直线的距离和点到的距离相等，
所以点到直线、直线的距离之和的最小值即点到直线的距离，
由知，距离之和的最小值为，
故选：C.
9．ACD
【详解】设正项等比数列公比为，
对于A，由题意得，
结合，解得或（舍去），故A正确；
对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；
对于D，，则，故D正确，
故选：ACD．
10．BCD
【详解】对于A，因为，所以，选项A错误；
对于B，因为，所以，
则，选项B正确；
对于D，因为，所以，选项D正确．
对于C，因为，，，且平面，
所以是平面的一个法向量，选项C正确.
故选：BCD.
11．ABD
【详解】由点，得，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，因此在上的投影向量为，C错误；
对于D，点到直线的距离为，D正确.
故选：ABD
12．0.047
【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为，
则收益，
，
∴当时，，当时，，
所以函数在内单调递增，在单调递减，
即收益在时取得极大值，亦即最大值.
所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047，
故答案为：0.047.
13．
【详解】如下图，连接，因为为BC中点，
所以，又平面底面，
平面底面平面，
所以平面，
又因为平面，所以，故两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：
设，可得
由，可得，
所以，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，
设直线与平面夹角为，则，
所以直线与平面夹角的余弦值为.
故答案为：
14．26
【详解】依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，
所以，解得，
所以，即塔的底层共有灯26盏．
故答案为：26.
15．(1)
(2)证明见解析
第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明，
【详解】（1）由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点，
以为准线的抛物线.
设的方程为：，则=1.
所以动点P的轨迹E的方程为.
（2）证明：设，
分两类情况：
第一种：直线垂直于轴，其方程为，
联立，解得，
此时，
所以，是直角三角形，
第二种：直线：，与联立得：
，
，
，，所以，
又因为与异号，或不符合题意，
因为，
所以，
所以△为直角三角形，
16．(1)
(2)
【详解】（1）椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即，
所以，所以椭圆的标准方程.
（2）
如图所示，左顶点，
则点到直线的距离为.
联立方程组得，消去得，
根据弦长公式得，
所以.
17．(1)
(2)，-25
【详解】（1）设数列的公差为，
由题意可知，解得．
所以．
（2）因为，
所以当时，取得最小值，最小值为．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为为BD的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，所以两两垂直，
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
因为点在棱上，，所以，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，
所以，得，
令，则，故，
设二面角的大小为，
所以，
根据图像可知二面角为锐角，故，
所以二面角-的大小为.
19．(1)；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为，
化为一般式方程为；
（2）已知关于直线l的对称点为，
故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为，
且OA的斜率为，故直线l的斜率为2，
故直线l的方程为，化简可得：．
（3）设该直线在两轴上截距为a，那么，
①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点，
可得，则方程为，即；
②当时直线方程为，把代入求得．
则直线方程为，