内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题 含解析

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题 含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教 A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有 6 个粽子，其中 4 个不同的蛋黄粽，2 个不同的豆沙
粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取 1 个，则不同的取法种数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计算原理即可得解.
【详解】由题意，不同的取法种数为 种.
故选：C.
2. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用函数导数的四则运算和复合函数求导即可.
【详解】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
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对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误．
故选：C.
3. 若曲线 在 处的切线的斜率为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义和性质即可求解.
【详解】 ,
故选：D
4. 已知变量 和 的统计数据如下表：
1 2 3 4 5
0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若 ， 线性相关，经验回归方程为 ，据此可以预测当 时， （ ）
A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出 ，再将 代入即可.
【详解】 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，解得 .
故选：A.
5. 某班举办知识竞赛，已知题库中有 两种类型的试题， 类试题的数量是 类试题数量的两倍，且甲
答对 类试题的概率为 ，答对 类试题的概率为 ，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（
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）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用全概率公式计算概率即可.
【详解】设“选出 类试题”为事件 ，“选出 类试题”为事件 ，“甲答对题目”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选：C.
6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积 V 与水的高度 h 的
函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解.
【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先
缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.
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故选：A.
7. 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排 2 名志愿者，乙、丙
场馆都至少安排 1 名志愿者，则不同 安排方法共有（ ）
A. 300 种 B. 210 种 C. 120 种 D. 60 种
【答案】B
【解析】
【分析】甲场馆安排 2 名志愿者可以知有 种，乙、丙场馆都至少安排 1 名志愿者可以有三种分法第一种
是乙馆安排 1 名志愿者丙安排 3 名有 种情况，第二种是乙、丙各安排 2 名有 ，第三种是乙安排 3 名
丙安排 1 名 ，根据分步计算可得答案.
【详解】根据题意可知，甲场馆安排 2 名志愿者可以知有 种，
乙、丙场馆都至少安排 1 名志愿者可以有三种分法
第一种是乙馆安排 1 名志愿者丙安排 3 名有 种情况，
第二种是乙、丙各安排 2 名有 ，
第三种是乙安排 3 名丙安排 1 名 ，
所以根据分步算法可得 种.
故选：B
8. 若直线 是曲线 与 的公切线，则直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐
标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解.
【详解】由 ，得 ，由 ，得 ．
设直线 与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，
则 ，又 ，
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由方程①②解得 ，所以直线 过点 ，斜率为 1，
即 的方程为 ．
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 随机变量 ，随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断 AB；根据期望和方差的公式及性质即可判断
CD.
【详解】因为 ，所以 ，且 ，
又 ，所以 A 正确，B 错误；
，故 ，故 C 正确；
，
，故 D 错误.
故选：AC.
10. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 恰有一个极值点
B 有最小值但没有最大值
C. 直线 与曲线 的公共点个数最多为 4
D. 经过点 只可作 一条切线
【答案】ACD
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【解析】
【分析】由导数得出单调性进而判断 AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断 C；由导数的几何意义
判断 D.
【详解】对于 A， 的定义域为 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 是 唯一的极值点，故 A 正确；
对于 B，函数 在 上的最小值为 ，
又因为当 时， 且 ，当 且 时， ，
当 且 时， ，
所以 既无最小值也无最大值，故 B 错误；
对于 C，由 B 选项作出函数 的大致图象如图所示，
直线 恒过点 ，
当 足够大时，
直线 与曲线 有 2 个交点，
直线 与曲线 有 2 个交点，
则直线 与曲线 的公共点个数最多为 4，故 C 正确；
对于 D，易知点 不在 的图象上，设切点为 ，
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则 ，解得 ，
则经过点 只可作曲线 的一条切线，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 袋中共有 5 个除颜色外完全相同的球，其中有 3 个红球和 2 个白球，每次随机取 1 个，有放回地取球，
则下列说法正确的是（ ）
A. 若规定摸到 3 次红球即停止取球，则恰好取 4 次停止取球的概率为
B. 若进行了 10 次取球，记 为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到 3 次红球即停止取球，则在恰好取 4 次停止取球的条件下，第 1 次摸到红球的概率为
D. 若进行了 10 次取球，恰好取到 次红球的概率为 ，则当 时， 最大
【答案】BCD
【解析】
分析】应用独立事件概率乘积公式判断 A 选项，根据 n 次独立重复实验计算判断 B，D，计算条件概率判
断 C 选项即可.
【详解】每次取到红球的概率为 ，若规定摸到 3 次红球即停止，则恰好取 4 次停止取球的概率为
，故 A 错误；
，则 ，故 B 正确；
记恰好取 4 次停止取球为事件 ，第 1 次摸到红球为事件 ，则 ，
，所以 ，故 C 正确；
，当 最大时，
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即
所以 即 解得 ，
又 ，所以 ，当 为 6 时， 最大，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知二项式 展开式中各项二项式系数的和为 16，则 ______， 展开式中的常数
项为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用二项式的各项系数和求出 的值，写出二项展开式通项，令 的指数为零，即可得解.
【详解】因为二项式 展开式中各项二项式系数的和为 16，
所以 ，解得 ，
展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以 展开式中的常数项为 .
故答案为： ； .
13. 已知一系列样本点 满足 ， ，由最小二乘法得到 与
的回归方程，现用决定系数 来判断拟合效果（ 越接近 1，拟合效果越好），若
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，则 ______________．（参考公式：决定系数 ）
【答案】0.96
【解析】
【分析】依据决定系数的公式计算即可.
【详解】因为 ．
故答案为： .
14. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，若 的最小值为 ，则 __________.
【答案】-1
【解析】
【分析】考虑到两曲线关于直线 对称， 的最小值可转化为点 到直线 的最小距离的两倍，
再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为 1 的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得
，再分类讨论出符合题意的 即可.
【详解】因为 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
又点 在曲线 上，点 在曲线 上， 的最小值为 ，
所以曲线 上的点 到直线 的最小距离为 ，
设与直线 平行且与曲线 相切的切线的切点 ，
，解得 ，所以 ，
得到切点 ，点 到直线 即 的距离 ，
解得 或 3.
当 时， 过点 和 ， 过点 和 ，
又 ， ，所以 与 相交，不符合题意；
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当 时，令 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 恒成立，
所以 与 不相交，符合题意.
综上， .
故答案为：-1.
【点睛】关键点点睛： 与 关于直线 对称，当 P、Q 在 和 上的
对应点关于直线 对称且切线与 平行时， 最小.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直.
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为 2
【解析】
【分析】（1）求导，根据 的图象在点 处的切线与直线 垂直，得到方程组，求出
；
（2）求导，得到函数单调性，从而得到最值.
【小问 1 详解】
由 ，得 .
因为 的图象在点 处的切线与直线 垂直，
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所以 ，即 ，解得 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
因为 ，
所以 ，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 2.
16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了 100 名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜
欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 45 5 50
女 35 15 50
合计 80 20 100
（1）根据上表，依据小概率值 的 独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关
系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取
8 人，收集对该产品的改进建议.若从这 8 人中随机抽取 3 人，求所抽取的 3 人中女性人数大于男性人数的
概率.
附： .
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
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【答案】（1）有关 （2）
【解析】
【分析】（1）利用 独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可.
【小问 1 详解】
零假设为 ：客户对该产品的评价结果与性别无关.
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
【小问 2 详解】
由题意得抽取的 8 人中，男性人数为 ，
女性人数为 .
当 3 人中有 2 名女性和 1 名男性时， ，
当 3 人全部为女性时， ，
则所抽取的 3 人中女性人数大于男性人数的概率 .
17. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多
有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某
次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通
过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参
加笔试通过的概率均为 ，每次参加面试通过的概率均为 ，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数 的分布列及期望．
【答案】（1）
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（2）分布列见解析， ．
【解析】
【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
（2）由 可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
【小问 1 详解】
甲每次参加笔试未通过 概率均为 ，每次参加面试未通过的概率均为 ．
甲两次笔试均未通过的概率为 ，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为 ，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为 ．
【小问 2 详解】
由题意得 的可能取值为 ，
所以 的分布列为
2 3 4
故 ．
18. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若关于 的方程 恰有两个不同的实数解，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数，分类讨论 、 、 时，函数 的单调性即可；
（2）结合（1）中的单调性，首先可以判断 时不符合题意，然后结合 的大致趋势，可以画出
和 时 的大致图象，结合图象分析出 时仅有一个实数解， 时，仅当 最小值
小于 时，满足题意，最后构造关于 的函数 ，利用函数 的单调性和 得解.
【小问 1 详解】
由题意，函数 定义域为 ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，
令 ，则 ，
解得 ，
令 ，则 ，
解得 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
当 时，
令 ，则 ，
解得 ，
令 ，则 ，
解得 ，
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所以 在 上单调递减，在 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 单调递增；
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，所以方程 不可能有两个不同的实数解，不符合
题意；
当 时， 在 上单调递增，在 单调递减；
令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 时， ， 时， ，
且当 时， ，当 时， ，
所以函数 的大致图象如图所示，
由图可知，方程 仅有一个实数解，不符合题意；
当 时， 在 上单调递减，在 单调递增；
令 ，得 ，
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所以 ，解得 ，
所以 时， ， 时， ，
且当 时， ，当 时， ，
所以函数 的大致图象如图所示，
由图可知，若方程 有两个不同的实数解，
则 ，
所以 ，即 ，
令 ，
所以 ，
所以函数 在 时单调递减，
又因为 ，
所以由 ，得 ，
即 的取值范围为： .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题，以及函数零点个数问题，解题的
关键在于利用导数，分类讨论 、 、 时，函数 的单调性，并结合函数 的大致趋
势画出函数 的大致图象，然后将零点个数问题转化为函数图象的交点问题来求解.
19. 定义在区间 上的函数 满足：若对任意 ，且 ，都有 ，
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则称 是 上的“好函数”．
（1）若 是 上的“好函数”，求 的取值范围．
（2）（ⅰ）证明： 是 上的“好函数”．
（ⅱ）设 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可.
（2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可.（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可.
【小问 1 详解】
由题可知任意 ，且 ，
即 ，解得 ．
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）证明：设 ，
则 ．
令 ，且 ，
则 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
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所以 是 上的“好函数”．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当 时， ，
令 ，则 ，
即 ．
故 ，
化简可得 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合裂项相消法得到所
要求的不等关系即可．
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