湖南省长沙市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟培优卷

这是一份湖南省长沙市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟培优卷，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（ ）
A．1，，2B．2，3，4C．3，4，5D．5，12，13
3．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直
6．在平行四边形中，，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）
A．13B．15C．13或15D．13或
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2、4、1、2，则正方形E的面积是（ ）
A．36B．25C．18D．9
10．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ）
A．15B．20C．25D．30
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知，则______．
12．已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________．

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．

14．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______．
15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD =12，则S阴影____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．已知x＝+1，y＝﹣1，求：
（1）代数式xy的值；
（2）代数式x3+x2y+xy2+y3的值．
21．一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m．
（1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？
22．如图1，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2，点F是AD的中点，求CF的长．
23．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
24．根据题目要求，解答下列各题
(1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______；
(2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长．
(3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值．
25．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形．
(1)①求证：矩形为正方形；
②连接，若，求的长；
取中点，连接，则最小值为________．
参考答案
一、选择题
二、填空题
11．
12．
13．3
14．
15．
16．3
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】证明：∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形．
19．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【详解】（1）xy
=（+1）（-1）
=（）2-1
=2；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，xy=2,
∴x+y
=+1+-1
=2，
∴x2+y2
=（x+y）2-2xy
=8，
则x3+x2y+xy2+y3
= x2（x+y）+y2（x+y）
=（x2+y2）（x+y）
=8×2
=16.
21．【详解】解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，
∵BC＝5m AC＝13m．
∴由勾股定理得：AB＝＝12（m），
∴梯子的高为12 m；
（2）由题意可知DE＝AC＝13m，
∵AD＝3m，
∴BD＝12﹣3＝9（m），
在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2（m），
∴﹣5）（m）．
22．【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB2＝2AC2，
∴∠ECA＝∠DCB，
连接BD，如图1所示：
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）解：过点C作CH⊥DE于H，如图2所示：
∵AE2+AD2＝2AC2，AE＝2，AC＝2，
∴AD＝6，
∴DE＝AE+AD＝8，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝3，
∵△ECD是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝8，
∴CH＝DH＝EH＝4，
∴HF＝DH﹣DF＝1，
∴CF＝＝＝．
23．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴□ABCD是矩形．
（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，
∴∠DAB=90°，BC=AD=3，
∴．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．
24．【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，此时，
设，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴，，
在直角中，；
（3）解：如图，过点作的垂线，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在直角中，，
∵，
∴，即．
25．【详解】（1）解：①证明：设，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴矩形为正方形；
②∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴当点与点重合时，取得最小值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
D
B
B
D
D
B
A