十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题21数列解答题(文科)(学生版+解析)

这是一份十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题21数列解答题(文科)(学生版+解析)，共5页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc143241764" 题型一： 数列的概念和通项公式 PAGEREF _Tc143241764 \h 1
\l "_Tc143241765" 题型二：等差数列的定义与性质 PAGEREF _Tc143241765 \h 3
\l "_Tc143241766" 题型三：等比数列的定义与性质 PAGEREF _Tc143241766 \h 12
\l "_Tc143241767" 题型四：数列的求和 PAGEREF _Tc143241767 \h 17
\l "_Tc143241768" 题型五：数列中的新定义问题 PAGEREF _Tc143241768 \h 24
\l "_Tc143241770" 题型六：数列中的证明问题 PAGEREF _Tc143241770 \h 34
\l "_Tc143241771" 题型七：数列与其他知识交汇 PAGEREF _Tc143241771 \h 43
\l "_Tc143241772" 题型八：数列的综合应用 PAGEREF _Tc143241772 \h 53
题型一： 数列的概念和通项公式
一、解答题
1．(2014高考数学大纲文科·第17题) 数列满足，，．
(1)设，证明是等差数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(Ⅰ)由，，即，又．
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，即，
于是．
所以，即，又所以的通项公式．
2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（文）·第17题) (12分)已知数列满足，． 设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．
【答案】解：(1)由条件可得．将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．从而，，．
(2)是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列．
(3)由(2)可得，所以．
3．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题) 记为等比数列的前项和,已知．
(1)求的通项公式;
(2)求,并判断是否成等差数列．
【答案】(1);(2),成等差数列,证明见解析．
【解析】(1)设首项,公比,依题意,,由,
,解得:,
(2),


所以成等差数列．
方法二:分析法:要证成等差数列,只需证:,
只需证:,只需证:,
只需证:(*),由(1)知(*)式显然成立,成等差数列．
4．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第17题) (本小题满分12分)已知各项都为正数的数列满足，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求的通项公式．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(Ⅰ)由题设易得．
(Ⅱ)由得．
因为数列的各项都为正数，所以．
故数列是以首项为1，公比为的等比数列，因此．
5．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第17题) 设数列满足．
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为
当时，；
当时，有……①
………………②
两式相减可得，所以，当时，
所以数列的通项公式为，．
(2)由(1)可得．
记数列 的前项和为
所以．
题型二：等差数列的定义与性质
一、解答题
1．(2022年全国高考甲卷数学（文）·第18题) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)．
【解析】(1)因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
2．(2019·全国Ⅰ·文·第18题) 记为等差数列的前项和，已知．
(1)若，求的通项公式；
(2)若，求使得的的取值范围．
【答案】(1)设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．
(2)由(1)得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（文）·第17题) (12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：(1)设的公差为，由题意得．
由，得．
所以的通项公式为．
(2)由(1)得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
4．(2014高考数学浙江文科·第19题) (本题满分14分)
已知等差数列的公差，设的前n项和为，，．
(Ⅰ) 求及；
(Ⅱ) 求()的值，使得．
【答案】解：(Ⅰ)由题意知，将代入上式解得或．因为，所以．从而，．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以．
由知，故所以
5．(2014高考数学湖北文科·第19题) 已知等差数列满足：，且,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2．；
(2)当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41．
解析：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2．
(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝eq \f(n[2＋（4n－2）],2)＝2n2．
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n60n＋800成立，n的最小值为41．
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41．
6．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题) (本题满分12分)已知是公差为3的等差数列，数列满足，．
( = 1 \* ROMAN I)求的通项公式；
( = 2 \* ROMAN II)求的前n项和．
【答案】 ( = 1 \* ROMAN I)( = 2 \* ROMAN II)
【官方解答】(I)由已知，得得，
所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为．
(II)由(I)和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列．
记的前项和为，则
7．(2014高考数学福建文科·第17题) (本小题满分12分)
在等比数列中，．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】解析：(Ⅰ)设的公比为,依题意得解得,因此
(Ⅱ)因为,所以数列的前项和
8．(2015高考数学重庆文科·第16题) 已知等差数列满足，前3项和．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前项和．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．
分析：(Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前n项和公式可得关于数列的首项a1和公式d的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出b1和b4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
解析： (1)设的公差为，则由已知条件得
化简得解得
故通项公式，即．
(2)由(1)得．
设的公比为q,则,从而．故的前n项和
．
9．(2015高考数学北京文科·第16题) (本小题满分13分)已知等差数列满足，．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)与数列的第项相等．
分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．(Ⅰ)利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；(Ⅱ)先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数．
解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为．
因为，所以．
又因为，所以，故．
所以 ．
(Ⅱ)设等比数列的公比为．
因为，，
所以，．
所以．
由，得．
所以与数列的第项相等．
10．(2023年全国乙卷文科·第18题) 记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
解析：【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
【小问2详解】
因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
11．(2015高考数学福建文科·第17题) (本小题满分12分)等差数列中，，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得．
所以
．
12．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题)设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)，，解得，
，
又，
，
即，解得或(舍去)，
．
(2)为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或(舍去)
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得．
综上，．
13．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为．
14．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
【答案】；．
解析:(1)由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故．
(2)设的前项和为，则，
因为，
所以
．
15．(2021年高考全国甲卷文科·第18题)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【答案】证明见解析．
解析：∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列．
16．(2021年全国高考乙卷文科·第19题)设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】(1)，；(2)证明见解析．
解析：因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以．
(2)证明：由(1)可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以．
17．(2019·北京·文·第16题)设是等差数列，，且，，成等比数列．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为，且，，成等比数列
所以即，解得
所以的通项公式为．
(Ⅱ)法一：由，，得：
所以当或时，取最小值．
法二：由，时，
所以当或时，取得最小值，此时
．
题型三：等比数列的定义与性质
一、解答题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为．
(2)由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个．
所以．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
解析：(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：．
(2)由于：，故：
．
3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（文）·第17题) (12分)等比数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和．若，求．
【答案】【官方解析】(1)设的公比为，由题设得．
由已知得，解得(舍去)，或．
故或．
(2)若，则．由，得，此方程没有正整数解．
，则．由，得，解得．
综上，．
4．(2019·全国Ⅱ·文·第18题) 已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】解：(1)设的公比为，由题设得，即.
解得(舍去)或.
因此的通项公式为.
(2)由(1)得，因此数列的前项和为.
5．(2016高考数学天津文科·第18题) (本小题满分13分)已知是等比数列，前项和为，且．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)设数列公比为．由已知，有，解得，或。
又由，知，所以，得．所以
(Ⅱ)由题意，得，
即是首项为，公差为1的等差数列．设数列的前项和为，
则

6．(2014高考数学北京文科·第15题) (本小题满分13分)已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)．；(2) ．
解析：(I)设等差数列的公差为，由题意得：，
所以，
设等比数列的公比为，由题意得：，解得．
所以，从而．
(II)由(1)知，，
数列的前项和为，数列的前项和为，
所以数列的前项和为．
7．(2015高考数学广东文科·第19题) (本小题满分14分)设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】分析：(1)令可得的值；(2)先将()转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；(3)先由(2)可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．
解析：(1)当时，，即，解得：
(2)因为()，所以()，即()，因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列
(3)由(2)知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以
即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是
8．(2015高考数学安徽文科·第18题) 已知数列是递增的等比数列，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为数列的前项和，，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
解析：
(Ⅰ)由题设可知，
又， 可解的或(舍去)
由得公比，故．
(Ⅱ)
又
所以
．
9．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第17题)设等比数列{an}满足，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记为数列{lg3an}前n项和．若，求m．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
(2)令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
题型四：数列的求和
一、解答题
1．(2015高考数学四川文科·第16题) 设数列的前项和满足，且，，成等差数列．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)记数列的前项和，求．
【答案】解析： (1) 由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)
即an＝2an－1(n≥2)从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列即a1＋a3＝2(a2＋1)所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n．
(2)由(Ⅰ)得所以
2．(2015高考数学湖南文科·第19题) (本小题满分13分)设数列的前项和为，已知，且
，
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求。
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
分析：(Ⅰ)当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可； (Ⅱ)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式．
解析：(Ⅰ)由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，
于是

从而，
综上所述，。
3．(2014高考数学重庆文科·第16题) 已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和．
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)求及；
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和．
【答案】
解析:(1)因为是首项公差的等差数列，所以。
所以
(2)由(1)知，，故，又因为所以在等比数列中
4．(2018年高考数学浙江卷·第20题) 已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题知，
，，解得或，
， ．
(2)方法一：错位相减法
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以， 故，

设，

，，
方法二：构造常数列
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以，
而，
所以，
所以数列是一个常数列。即，
所以．
说明：其中是采用待定系数法求出的
可设待定求出．
5．(2014高考数学山东文科·第19题) (本小题满分12分)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．
(Ｉ)求数列的通项公式；
(II)设，记，求．
【答案】解析：(I)由题意知，即，解得
所以，数列的通项公式为
(Ⅱ)由题意知所以，
因为，，可得，当为偶数时，

当为奇数时，
所以，
6．(2014高考数学课标1文科·第17题) 已知是递增的等差数列，，是方程的根。
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)求的通项公式；
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)求数列的前项和．
【答案】解析：(1)因为是方程的两个根，
且使递增的等差数列，
所以
设首项为，公差为，依题意可得
解得
所以
(2)由(1)知
所以 ①
②
①-②得
所以，
7．(2014高考数学湖南文科·第16题) 已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
解析：(1)当时，
当时，
故数列的通项公式为
(2)由(1)知，,记得前2n项和为，则
8．(2015高考数学山东文科·第19题) (本小题满分12分)已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
解析：
(Ⅰ)设数列的公差为，
令得，所以．
令得，所以．
解得，所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以
所以
两式相减，得
所以
9．(2017年高考数学山东文科·第19题) 已知是各项均为正数的等比数列,且．
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)设的公比为,由题意知:．
又,
解得:, 所以．
(Ⅱ)由题意知:,
又所以
则
所以

①-②得
所以
10．(2016高考数学浙江文科·第17题) (本题满分15分)设数列的前项和为．已知．
(I)求通项公式；
(II)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得：，则
又当时，由，得，
所以，数列的通项公式为．
(2)设，当时，由于
故，设数列的前项和为
则，
当时，，
所以，
11．(2019·天津·文·第18题)设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足求．
【答案】【思路分析】(1)由等差等比数列通项公式和前项和的求解和的通项公式即可．
(2)利用分组求和和错位相减法得答案．
【解析】(1)是等差数列，是等比数列，公比大于0．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．
由题意可得：①；②，解得：，，
故，
(2)数列满足，
令①，
则②，
②①得：；
故
题型五：数列中的新定义问题
解答题
1.(2017年高考数学江苏文理科·第19题) 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”．
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列．
【答案】(1)见解析(2)见解析
解析:证明:(1)因为是等差数列,设公差为d,则,
从而,当时,

所以,
因此等差数列是“数列”;
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,．②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,
所以是等差数列,设其公差为
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以是等差数列．
2．(2022高考北京卷·第21题)已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】解析:(1)，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
(2)若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
(仅一种方式)，
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则(有2种结果相同，方式矛盾)，
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 (有2种结果相同，矛盾)，同理不行，
，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
3．(2019·上海·文理·第21题)数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若具有性质，则
②若具有性质而不具有性质，则即；
③若不具有性质，则必有即；
此时若具有性质，则；若不具有性质，则
综上所述，可能的值为3、5、7
假设中不存在满足性质的项，即对任意均有；
下面数学归纳法证明，是等差数列；
①当时，成立；
②设当且时，；
则当时，因为不具有性质，故
而又存在故，，即；
综上所述，当中不存在满足性质的项时，时等差数列成立；
故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.
由题意，不妨设这三项为，其中;且
故数列为等差数列；为等差数列；
为等差数列，为等差数列；
若存在或或的情况
则去掉相应的、、每组等差数列的公差均为；
且、、
故当数列去掉这三项后，构成首项为，公差为，项数97项的等差数列；
故这97项的和；
故这100个数的和
4．(2019·江苏·文理·第20题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”.
(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“－数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
(2)①因为，所以
由得，则
由，得
当时，由，得
整理得．
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列的通项公式为.
②由①知，，.
因为数列为“–数列”，设公比为，所以，.
因为，所以，其中.
当时，有；
当时，有．
设f(x)=，则．
令，得.列表如下：
因为，所以．
取，当时，，即，
经检验知也成立．
因此所求的最大值不小于5．
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在.因此所求的最大值小于6.
5．(2018年高考数学江苏卷·第26题)(本小题满分10分)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s