十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题22导数解答题(文科)(学生版+解析)

这是一份十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题22导数解答题(文科)(学生版+解析)，共5页。试卷主要包含了已知函数，已知函数在处取得极值，已知函数，x∈R，已知函数,其中等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc143243964" 题型一： 导数的概念及几何意义 PAGEREF _Tc143243964 \h 1
\l "_Tc143243965" 题型二： 导数与函数的单调性 PAGEREF _Tc143243965 \h 5
\l "_Tc143243966" 题型三： 导数与函数的极值、最值 PAGEREF _Tc143243966 \h 16
\l "_Tc143243967" 题型四： 导数与函数零点问题 PAGEREF _Tc143243967 \h 37
\l "_Tc143243968" 题型五： 导数与不等式的证明 PAGEREF _Tc143243968 \h 51
\l "_Tc143243969" 题型六： 导数与其他知识交汇题型 PAGEREF _Tc143243969 \h 67
\l "_Tc143243970" 题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题 PAGEREF _Tc143243970 \h 75
\l "_Tc143243971" 题型八：导数的综合应用 PAGEREF _Tc143243971 \h 91
题型一： 导数的概念及几何意义
1．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第20题)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3 (2)
【解析】
(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为．
2．(2020北京高考·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即．
(Ⅱ)显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，所以，
不妨设时，结果一样，则，
所以，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，
也是最小值为．
3．(2015高考数学天津文科·第20题)(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
(Ⅲ)若方程有两个正实数根且,求证:．
【答案】(Ⅰ) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(Ⅱ)见试题解析;(Ⅲ)见试题解析．
解析：
(Ⅰ)由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(Ⅱ), ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有;(Ⅲ)设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以．设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以．
试题解析:(Ⅰ)由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减．所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是．
(Ⅱ)设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则．
由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由(Ⅱ)知 ,所以．类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即．设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以．
4．(2021年全国高考乙卷文科·第21题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2)．
解析：(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为．
题型二： 导数与函数的单调性
一、解答题
1．(2023年全国乙卷文科·第20题)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
解析：【小问1详解】
当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立．
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意．
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意．
综上可知：实数得取值范围是．
2．(2014高考数学山东文科·第20题)(本小题满分13分)
设函数 ，其中为常数．
(Ｉ)若，求曲线在点处的切线方程；
(II)讨论函数的单调性．
【答案】解析：(1)由题意知 时，．此时
可得，所以 在 处的切线方程为

(2)函数 的定义域为．

当 ，函数在上单调递增；
当时，令，
由于，
①当时，， ，函数在上单调递减；
②时，，，，函数在上单调递减；
③当时，
设 是函数的两个零点
则，
由
所以 时，，，函数单调递减
时， ，函数单调递增
时，，函数单调递减
综合可得：
当时，函数在上单调递增加；
当时，函数在上单调递减；
当时，
在(0, ),(,+)上单调递减，
在(，)上单调递增．
3．(2014高考数学湖北文科·第21题)为圆周率，为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求，，，，,这6个数中的最大数与最小数．
【答案】(1)函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)6个数中的最大数是3π，最小数是3e．
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝eq \f(lnx,x)，所以f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2)．
当f′(x)>0，即0