十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题10平面向量(理科)(学生版+解析)

这是一份十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(全国通用)专题10平面向量(理科)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc139908173" 题型一：平面向量的概念及线性运算 PAGEREF _Tc139908173 \h 1
\l "_Tc139908174" 题型二：平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc139908174 \h 3
\l "_Tc139908175" 题型三：平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc139908175 \h 9
\l "_Tc139908176" 题型四：平面向量中的平行与垂直 PAGEREF _Tc139908176 \h 13
\l "_Tc139908177" 题型五：平面向量的数量积与夹角问题 PAGEREF _Tc139908177 \h 14
\l "_Tc139908178" 题型六：平面向量的模长问题 PAGEREF _Tc139908178 \h 33
\l "_Tc139908179" 题型七：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc139908179 \h 38
题型一：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
解析:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在中，D是AB边上的中点，则=( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：
3．(2022新高考全国I卷·第3题)在中，点D在边AB上，．记，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因点D在边AB上，，所以，即，
所以． 故选：B．
4．(2019·上海·第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是( )
B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意：为直线的一个法向量，∴ 方向向量为，选D.
【点评】本题主要考查直线的方向量．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )
【答案】
答案：B
解析：如图，，
，则，，，
所以身高，
又，所以，身高，
故，故选B．
二、填空题
1．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，．故答案为：；．
2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量 、满足||=1 , = (2 , 1), 且 (), 则 = ．
【答案】
解析：∵，∴，
3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
解析：因为向量与平行，所以，则所以．
题型二：平面向量的基本定理
一、选择题
1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．
2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量表示出来的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：根据，
选项A：，则，，无解，故选项A不能；
选项B：，则，，解得，，，故选项B能．
选项C：，则，，无解，故选项C不能．
选项D：，则，，无解，故选项D不能．故选：B．
3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：由题知=，故选A．
4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图
则，，，，连结，过点作于点
在中，有
即
所以圆的方程为
可设
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值为，故选A．
法二：通过点作于点，由，，可求得
又由，可求得
由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值
又点到的距离与点到直线的距离相等，均为
而此时点到直线的距离为
所以，所以的最大值为，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．
法四：由题意，画出右图．
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为．∵，．∴．切于点．
∴⊥．∴是中斜边上的高．
即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
二、填空题
1．(2023年天津卷·第14题)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】①． ②．
解析：空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即．
于是．
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值．
故答案：；．

2．(2015高考数学北京理科·第13题)在中，点，满足，．若，则 ； ．
【答案】
解析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，．
3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°．若, 则______．

A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
解析:由可得,,根据向量的分解,易得,即,即,即得,所以．
题型三：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023年北京卷·第3题)已知向量满足，则( )
A．B．C．0D．1
【答案】B
解析：向量满足，
所以．
故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量，若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量，且,则实数( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：
4．(2014高考数学安徽理科·第10题)在平面直角坐标系中，已知向量，，，，点满足．曲线，区域，若为两段分离的曲线，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：因为 ，且 ，设 ， ，
则由得
曲线C:设，则，，则，表示以为圆心，为半径的圆；
区域 ：设，则由，则有：，
表示以 为圆心，分别以和为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，
若使得是两段分离的曲线，则由图像可知：，故选A．
5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量,,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,得,所以,故选A.
6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得：，所以，又
所以，所以，故选D．
二、填空题
1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量，若，则__________．
【答案】
解析：因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．(2020江苏高考·第13题)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．
【答案】
【解析】三点共线，可设，，
，即，
若且，则三点共线，，即，
，，,,，，
设，，则，．
根据余弦定理可得，，
，，解得，的长度为．
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或．
3．设向量与的夹角为，，，则 ．
【答案】
解：设向量与的夹角为且∴ ，
则。
4．(2015高考数学江苏文理·第6题)已知向量，, 若(), 则的值为_______．
【答案】
解析：由题意得：
5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)设向量，，且，则 ．
【答案】【解析】由已知得：
∴，解得．
题型四：平面向量中的平行与垂直
一、选择题
1．(2018年高考数学北京（理）·第6题) 设，均为单位向量，则“”是“的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：等号两边分别平方得：，因为，
所以，与等价，故选C．
2．(2016高考数学山东理科·第8题) 已知非零向量满足，．若，则实数的值为( )
A．4B．C．D．–
【答案】B
【解析】由，可设，又，所以
所以，故选B．
二、填空题
1．(2014高考数学湖北理科·第11题)设向量，，若，则实数 ．
【答案】
解析：由题意得(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝0，则a2＝λ2b2．
∴．∴λ＝±3．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量，，，若，则 ．
【答案】
解析：依题意可得，又，
所以，解得．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第14题) 已知向量．若，则________．
【答案】．
解析：,
，解得,
故答案为：．
题型五：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第6题) 已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，．
，
因此，．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．
2．(2022年高考全国乙卷数学（理）·第3题) 已知向量满足，则( )
A．B．C．1D．2
【答案】C
解析：∵，
又∵
∴9，
∴ 故选：C．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第3题) 已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，则．
4．(2018年高考数学天津（理）·第8题) 如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．3
【答案】A
【基本解法1】连接，则易证明，所以
所以，设，
则
，当时，取得最小值，最小值为．
【基本解法1】连接，则易证明，所以，
所以，以为坐标原点，所在方向为轴正方向
建立如图所示平面直角坐标系，过作轴于点
则，所以，
设，则，
，
当时，取得最小值，最小值为．
5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第4题) 已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
解析：，故选B．
6．(2014高考数学天津理科·第8题) 已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,．若,,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:记,,则
,所以．故选C．
7．(2014高考数学上海理科·第16题) 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为( )．
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
解析:在上的投影为，所以,值只有一个．
8．(2014高考数学课标2理科·第3题) 设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
解析：因为
两式相加得：所以，故选A．
9．(2015高考数学四川理科·第7题) 设四边形为平行四边形，，．若点满足，，则( )
A．20B．15C．9D．6
【答案】C
解析：
，所以
，选C．
10．(2015高考数学陕西理科·第7题) 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．
11．(2015高考数学山东理科·第4题) 已知菱形的边长为，,则( )
A．B．C． QUOTE D． QUOTE
【答案】D
解析：因为
故选D．
12．(2015高考数学福建理科·第9题) 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于( )
A．13B．15C．19D．21
【答案】A
解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
13．(2015高考数学安徽理科·第8题) 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：如图，
由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D．
14．(2017年高考数学浙江文理科·第10题) 如图,已知平面四边形,,,,与交于点．记,,,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一:

动态研究问题:,．
此时有,,,且,．
故．故选C．
【解析】法二:
如图,取边中点,则,在线段上,再取,中点,则．所以,
,所以．
作交于,所以,而,所以,
,所以,又,．
所以,所以．故选C．

法三:余弦定理得,,所以,
所以,所以．
又由余弦定理得,所以 ,
所以．故．
而,,
,所以．故选C．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题) 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生
转化与化归思想和运算求解能力
【解析】解法一：建系法
解法二：均值法
∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴
∴ ，∴最小值为
解法三：配凑法
∵
∴
16．(2016高考数学天津理科·第7题) 已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：
∴
，选B．
17．(2019·全国Ⅰ·理·第7题) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
【答案】B
解析：，所以，
所以．
18．(2023年全国甲卷理科·第4题) 已知向量满足，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为,所以,
即,即,所以．
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
．
故选:D．
19．(2014高考数学四川理科·第7题) 平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则( )
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
解析：
因为，，所以，又
所以即
解析2：由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故
20．(2023年全国乙卷理科·第12题) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值．

当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值．
综上可得，的最大值为．
故选：A．
二、填空题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第13题) 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
【答案】
解析：由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第17题) 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
解析：，
，
，
．
3．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第13题) 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
30．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
【答案】①． 0 ②． 3
解析：以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
．
故答案为：0；3．
5．(2019·天津·理·第14题) 在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则 ．
【答案】答案：
解析：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，
则，因为，所以，
又，可得，又，所以，所以，
．
6．(2018年高考数学上海·第8题) 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：设，则，
，最小值为．
解法2：．
取中点，则．显然(当关于原点对称)．
所以．则．
7．(2014高考数学课标1理科·第15题) 已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．
【答案】
解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,
∴,∴与的夹角为．
8．(2014高考数学江苏·第12题) 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
A
B
D
C
P
【答案】22
解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算．
，．
则．
因为，则，故．
解法二：(坐标法)不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则，．
由，得，由，得，则，
所求．
9．(2015高考数学天津理科·第14题) 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 ．
【答案】
解析：因为，，
，，

当且仅当即时的最小值为．
10．(2015高考数学上海理科·第14题) 在锐角中，，为边上的一点，与面积分别为2和4，过作于，于，则 ．
【答案】
解析：由题可知，，
，，
，所以，，
，化简可得
．
11．(2015高考数学湖北理科·第11题) 已知向量，，则 ．
【答案】9
解析：因为，，
所以．
12．(2017年高考数学天津理科·第13题) 在中,,,．若,,且,则的值为___________．
【答案】
【解析】以点为坐标原点,以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示)．依题意易得
,则可得,,于是有,解得．
13．(2017年高考数学江苏文理科·第13题) 在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是______．
【答案】
解析:设,由得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上上,由限制条件,可得点P横坐标的取值范围为．
14．(2016高考数学浙江理科·第15题) 已知向量，．若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．
【答案】
解析：由于对任意单位向量恒成立，所以，
，所以，即，故的最大值是．
15．(2016高考数学上海理科·第12题) 在平面直角坐标系中，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：由题意设，，则，又
所以．
所以的范围为．
16．(2016高考数学江苏文理科·第13题) 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是 ．
【答案】．
解析：令，，则，，
则，，，，，
则，，，
由，可得，，
因此，因此．
17．(2019·上海·第3题) 已知向量，，则与的夹角为________.
【答案】
【解析】.故
18．(2019·全国Ⅲ·理·第13题) 已知，为单位向量，且，若，则___________．
【答案】．
【解析】因为，，所以，
，所以，所以．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
19．(2014高考数学江西理科·第15题) 已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则=_______
【答案】
分析:因为所以

20．(2021年高考浙江卷·第17题) 已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________．
【答案】
解析:由题意，设，则，即，
又向量在方向上投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为．故答案为．
21．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题) 已知向量，，，_______．
【答案】
解析:由已知可得，
因此，．故答案为：．
题型六：平面向量的模长问题
一、选择题
23．(2014高考数学大纲理科·第4题) 若向量满足：则( )
A．2B．C．1D．
【答案】B
解析：因为，所以，即，所以，
又因为，
所以，故选B．
2．(2015高考数学湖南理科·第8题) 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】B．
分析：由题意得，为圆的直径，故可设，，，
∴，∴的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，从而易得当时的最大值为，故选B．
3．(2018年高考数学浙江卷·第9题) 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A．B．C．2D．
【答案】A
解析：解法1：(配方法)由得，即，因此．如图，，，，则向量的终点在以为圆心，1为半径的圆上，而的终点在射线上，，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为．
解法2：(向量的直径圆式)由，得，所以，
如图，，则，即终点在以为直径的圆上，以下同解法1．
解法3：(绝对值性质的应用)由，得，即，
因此，而由图形得，
所以，所以的最小值为．
解法4：(坐标法)设起点均为原点，设，，则的终点在射线上，由，得，即，所以向量的终点在圆
上，的最小值即为求圆上一点到射线上一点的最小距离，
即为．
二、填空题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题) 已知向量，满足，，则______．
【答案】
解析：法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即．
故答案为：．
2．(2019·浙江·第17题) 已知正方形的边长为当每个取遍时，，的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】0，
【解析】正方形的边长为1，可得，，．
所以
，
由于，2，3，4，5，取遍，取，，，时
得，，此时所求最小值为0；
由中，中的一个最大值为4，另一个为2，
可取，，，，，此时所求最大值为．
3．(2014高考数学湖南理科·第16题) 在平面直角坐标系中, 为原点,,动点满足,则的最大值是________．
【答案】
解析:动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则设为,则
4．(2017年高考数学浙江文理科·第15题) 已知向量,满足,则的最小值是_____,最大值是____．
【答案】,
【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:是以为邻边的平行四边形的两条对角线,故．如图,是以为邻边的平行四边形的两条对角线,是以为圆心的单位圆上一动点,构造2个全等的平行四边形．所以．易知当三点共线时,最小,此时;当时,最大,此时
．

(坐标法)
设,,则,,
所以,
则,所以．
(不等式法)
最小值:．(当且仅当方向相反,即时,取“=”)．最大值:．
(当且仅当,即时,取“=”)．
(转化为二元最值问题)
令原题转化为,且,
求的最值．
方法1(数形结合):直线与圆弧有交点,如图可得．
方法2(判别式法):化简得得,所以．当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值．

5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13题) 已知向量,的夹角为,,,则__________．
【答案】
【解析】法一:
所以．
法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．

法三:坐标法
依题意,可设,,所以
所以．
6．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第14题)设为单位向量，且，则______________．
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
题型七：平面向量的综合应用
一、多选题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第10题)已知为坐标原点，点，，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
解析:A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，错误；
故选AC．
二、选择题
1．(2014高考数学浙江理科·第8题) 记，，设为平面向量，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边，显然，不等式不成立；
对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边=4，而不等式右边2，显然不成立．
由排除法可知，D选项正确．故选：D．
三、填空题
1．(2019·江苏·第12题)如图，在中，是的中点，在边上，，与交于，若，则的值是______.
【答案】
【解析】法1：，
设，则，
因为三点共线，，所以，所以，
所以，
故，所以.
法2：不妨设，以为原点，，为轴正方向建系，
设，， ，则，
则，所以点，
，所以，所以.
法3：极化恒等式+中线定理：
同解法一知：，同理可得：，取中点，
所以，，，
因为，所以.
由中线定理得，，所以，所以.
2．(2014高考数学安徽理科·第15题)已知两个不相等的非零向量，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号)．
①有5个不同的值
②若，则与无关
③若，则与无关
④若，则
⑤若，，则与的夹角为
【答案】②④
解析：记,，
若与中有两个向量对应，则；
若与中有且只有一个向量对应，则，
若与中没有向量对应，则．
；；
又因为，所以． 所以①说法有三个不同的值，说法错误；
对于②，，当时，，故②正确；
又当，与有关，故③说法错误；
当时，，故④正确；当时，，所以，所以，所以，故⑤说法错误，综上易知正确的是②④．
3．(2015高考数学浙江理科·第15题)已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．
【答案】，，．
解析：问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即
在，时，取到最小值1，
，∴．
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
连接，，，．
，∴
∴
∴，∴
∴最小值为
A．
B．
C．
D．