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山东省聊城市高唐县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份山东省聊城市高唐县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省聊城市高唐县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．24
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．﹣3≤x＜1 B．x≥﹣3且x≠1 C．x＜1且x≠﹣3 D．x≠1且x≠﹣3
4．如图，把△ABC平移得到△A'B'C'，若顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1），则顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3）
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形ADFE为菱形的是（ ）
A．AB＝AC B．AF⊥BC C．∠BAF＝∠CAF D．BC＝2AF
7．已知A（x1，y1）B（x2，y2） 为直线y＝2x﹣3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，则CF的长是（ ）
A．4cm B． C．2cm D．
9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．5＜a≤6 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6
10．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1 B．k≥﹣4 C．k≤﹣4或k≥﹣1 D．﹣4≤k≤﹣1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，以点C为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEC，点B的对应点E落在AC上，连接AD，则∠ADE的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
12．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线l1：y＝kx+b的k＝2；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．不等式组的解集是 ．
14．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a﹣4，则a＝ ．
15．如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．在边AD上取一点E，使 BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
17．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4）…，若这些点构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…Sn，则S2023＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
18．计算：
（1）；
（2）．
19．解不等式（组）：
（1）解不等式 ；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）△A2B1C1的面积为 ．
21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
22．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 ，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．
23．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．
（1）求线段AC对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6h，求a的值．
24．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如表：
原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
8
4
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
25．问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C、O、A都不重合）过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F、G，连接OF，OG．
（1）初步探究：已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF＝BG；
（2）探究图中OF与OG的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：＝﹣6，
所以在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数有﹣π，，0.212112111211112…，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．24
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
∴PQ＝3，
∴CD＝2PQ＝6，
∴菱形ABCD的周长是6×4＝24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是关键．
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．﹣3≤x＜1 B．x≥﹣3且x≠1 C．x＜1且x≠﹣3 D．x≠1且x≠﹣3
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
解：由题意可得，
解得x≥﹣3且x≠1．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
4．如图，把△ABC平移得到△A'B'C'，若顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1），则顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平移坐标的变化规律进行计算即可．
解：由于把△ABC平移得到△A'B'C'，顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1）可知，平移的方向是沿着x正方向，平移2个单位，
所以顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标（﹣2，2），
故选：A．
【点评】本题考查平移坐标变化，掌握平移坐标的变化规律是正确解答的关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
解：，
解不等式①，得：x≥3，
解不等式②，得：x＞5，
∴该不等式组的解集是x＞5，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形ADFE为菱形的是（ ）
A．AB＝AC B．AF⊥BC C．∠BAF＝∠CAF D．BC＝2AF
【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，由此即可判断．
解：∵DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D、F、E分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，FE∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
A、AB＝AC，由D、E分别是AB、AC的中点，得到AD＝AE，因此四边形ADFE是菱形，故A不符合题意；
B、AF⊥BC，由DE是△ABC的中位线，得到DE∥BC，推出AF⊥DE，因此四边形ADFE是菱形，故B不符合题意；
C、∠BAF＝∠CAF，由AD∥EF，得到∠BAF＝∠AFE，推出∠CAF＝∠AFE，得到AE＝FE，因此四边形ADFE是菱形，故C不符合题意；
D、BC＝2AF，得不到四边形ADFE是菱形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定，三角形中位线定理，关键是掌握菱形的判定方法．
7．已知A（x1，y1）B（x2，y2） 为直线y＝2x﹣3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得y1＝2x1+3，y2＝﹣2x2+3，则y1﹣y2＝﹣2（x1﹣x2）．
（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2）2≥0．
∵A、B两点不相同，
∴x1﹣x2≠0，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，则CF的长是（ ）
A．4cm B． C．2cm D．
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，求出∠ABF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝67.5°，得出∠ABF＝∠AFB，根据等腰三角形的判定求出AF，再根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，
∵∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝67.5°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4cm．
∵AC＝cm，
∴CF＝AC﹣AF＝cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出∠ABF＝∠AFB．
9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．5＜a≤6 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解得出答案即可．
解：，
解不等式①，得x＜a，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集是2＜x＜a，
∵关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数（是3，4，5），
∴5＜a≤6，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
10．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1 B．k≥﹣4 C．k≤﹣4或k≥﹣1 D．﹣4≤k≤﹣1
【分析】分别求得直线y＝kx﹣2的图象点A、B时相应的k的值，再根据与线段AB有交点，确定k的取值范围．
解：将A（﹣2，6）代入y＝kx﹣2中得：6＝﹣2k﹣2，
解得k＝﹣4，
将B（﹣4，2）代入y＝kx﹣2中得：2＝﹣4k﹣2，
解得k＝﹣1，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点时，k的取值范围为：﹣4≤k≤﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，以点C为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEC，点B的对应点E落在AC上，连接AD，则∠ADE的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【分析】先根据旋转的性质得到∴∠ACD＝90°，CA＝CD，∠DEC＝∠B＝65°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，所以∠DAC＝45°，然后根据三角形外角性质计算出∠ADE的度数．
解：∵△ABC顺时针旋转90°得到△DEC，
∴∠ACD＝90°，CA＝CD，∠DEC＝∠B＝65°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝65°﹣45°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线l1：y＝kx+b的k＝2；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；
②利用待定系数法求得k的值；
③求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；
④根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，
解得，
∴故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共5个小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．不等式组的解集是 x≥4 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥4，
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
14．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a﹣4，则a＝ 1 ．
【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出x的值．
解：根据题意得：a+2+a﹣4＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
15．如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．
解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．在边AD上取一点E，使 BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝6，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝10，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
17．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4）…，若这些点构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…Sn，则S2023＝ 4048 ．
【分析】根据图形分别求出S1，S2，S3的值，得出规律，根据规律即可求解．
解：由题意得，
S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+1），
S2＝4×3﹣3×2＝6＝2×（2+1），
S3＝5×4﹣4×3＝8＝2×（3+1），
...，
∴Sn＝2（n+1），
∴S2023＝2×（2023+1）＝4048，
故答案为：4048．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，以及规律型，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算括号里的运算，再算乘法，最后算减法即可；
（2）先化简，再算加减即可．
解：（1）
＝（2）×
＝3
＝9
＝4；
（2）
＝（6）+3
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．解不等式（组）：
（1）解不等式 ；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
2（x﹣3）＜3（2x+1）﹣6，
2x﹣6＜6x+3﹣6，
2x﹣6x＜3﹣6+6，
﹣4x＜3，
x＞﹣；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）△A2B1C1的面积为 5 ．
【分析】（1）根据平移的性质找到A，B，C向右平移3个单位的对应点A1，B1，C1，顺次连接，得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的性质，找到A，B，C关于原点对称的点A2，B2，C2，顺次连接，得到△A2B2C2；
（3）连接A2B1，A2C1，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，连接A2B1，A2C1，
则A2C1＝5，B1到A2C1的距离为2，
∴△A2B1C1的面积为，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键．
21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 甲方案或乙方案 ，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48．
解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE＝AO，CF＝CO，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE，
∵EF＝2AE，
∴2OE＝2AE，
∴OE＝AE＝CF＝OF，
∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24，
∴S▱ABCD＝2×24＝48，
∴▱ABCD的面积是48．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
23．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．
（1）求线段AC对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6h，求a的值．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为E＝kt+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．
解：（1）设线段AC的函数表达式为E＝kt+b（0＜t≤6），
将（0，20），（6，100）代入E＝kt+b，
即，
解得，
∴线段AC的函数表达式为（0＜t≤6）；
（2）根据题意，得，
∴．
【点评】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如表：
原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
8
4
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
【分析】（1）设需要甲种原料xkg，则需要乙种原料（10﹣x）kg，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可；
（2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可．
解：（1）设需要甲种原料xkg，则需要乙种原料（10﹣x）kg，
由题意得600x+100（10﹣x）≥4200，
∴600x+1000﹣100x≥4200，
解得x≥6.4；
∴所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围为x≥6.4．
（2）由题意得，
解得6.4≤x≤8．
∴所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围为6.4≤x≤8．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
25．问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C、O、A都不重合）过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F、G，连接OF，OG．
（1）初步探究：已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF＝BG；
（2）探究图中OF与OG的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG（AAS）即可得出结论；
（2）延长GO交AF于H，证明△AOH≌△COG（ASA），得OH＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB＝∠BGC＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝∠CBG，
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴AF＝BG；
（2）解：OF＝OG，理由如下：
如图，延长GO交AF于H，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴AF∥CG，
∴∠FAO＝∠OCG，
∵AO＝OC，∠AOH＝∠COG，
在△AOH和△COG中，
∴△AOH≌△COG（ASA），
∴OH＝OG，
在Rt△HFG中，FO＝HG＝OG．
∴OF＝OG．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△AOH≌△COG．
2022-2023学年山东省聊城市高唐县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．24
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．﹣3≤x＜1 B．x≥﹣3且x≠1 C．x＜1且x≠﹣3 D．x≠1且x≠﹣3
4．如图，把△ABC平移得到△A'B'C'，若顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1），则顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3）
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形ADFE为菱形的是（ ）
A．AB＝AC B．AF⊥BC C．∠BAF＝∠CAF D．BC＝2AF
7．已知A（x1，y1）B（x2，y2） 为直线y＝2x﹣3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，则CF的长是（ ）
A．4cm B． C．2cm D．
9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．5＜a≤6 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6
10．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1 B．k≥﹣4 C．k≤﹣4或k≥﹣1 D．﹣4≤k≤﹣1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，以点C为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEC，点B的对应点E落在AC上，连接AD，则∠ADE的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
12．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线l1：y＝kx+b的k＝2；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．不等式组的解集是 ．
14．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a﹣4，则a＝ ．
15．如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．在边AD上取一点E，使 BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
17．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4）…，若这些点构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…Sn，则S2023＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
18．计算：
（1）；
（2）．
19．解不等式（组）：
（1）解不等式 ；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）△A2B1C1的面积为 ．
21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
22．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 ，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．
23．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．
（1）求线段AC对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6h，求a的值．
24．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如表：
原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
8
4
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
25．问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C、O、A都不重合）过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F、G，连接OF，OG．
（1）初步探究：已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF＝BG；
（2）探究图中OF与OG的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：＝﹣6，
所以在实数，﹣π，0.314，，，5，0.212112111211112…中，无理数有﹣π，，0.212112111211112…，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．24
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
∴PQ＝3，
∴CD＝2PQ＝6，
∴菱形ABCD的周长是6×4＝24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是关键．
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．﹣3≤x＜1 B．x≥﹣3且x≠1 C．x＜1且x≠﹣3 D．x≠1且x≠﹣3
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
解：由题意可得，
解得x≥﹣3且x≠1．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
4．如图，把△ABC平移得到△A'B'C'，若顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1），则顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平移坐标的变化规律进行计算即可．
解：由于把△ABC平移得到△A'B'C'，顶点A（﹣1，1）的对应点 A'的坐标为（1，1）可知，平移的方向是沿着x正方向，平移2个单位，
所以顶点C（﹣4，2）的对应点C'的坐标（﹣2，2），
故选：A．
【点评】本题考查平移坐标变化，掌握平移坐标的变化规律是正确解答的关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
解：，
解不等式①，得：x≥3，
解不等式②，得：x＞5，
∴该不等式组的解集是x＞5，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．在下列条件中，不能够判定四边形ADFE为菱形的是（ ）
A．AB＝AC B．AF⊥BC C．∠BAF＝∠CAF D．BC＝2AF
【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，由此即可判断．
解：∵DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D、F、E分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，FE∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
A、AB＝AC，由D、E分别是AB、AC的中点，得到AD＝AE，因此四边形ADFE是菱形，故A不符合题意；
B、AF⊥BC，由DE是△ABC的中位线，得到DE∥BC，推出AF⊥DE，因此四边形ADFE是菱形，故B不符合题意；
C、∠BAF＝∠CAF，由AD∥EF，得到∠BAF＝∠AFE，推出∠CAF＝∠AFE，得到AE＝FE，因此四边形ADFE是菱形，故C不符合题意；
D、BC＝2AF，得不到四边形ADFE是菱形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定，三角形中位线定理，关键是掌握菱形的判定方法．
7．已知A（x1，y1）B（x2，y2） 为直线y＝2x﹣3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得y1＝2x1+3，y2＝﹣2x2+3，则y1﹣y2＝﹣2（x1﹣x2）．
（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2）2≥0．
∵A、B两点不相同，
∴x1﹣x2≠0，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，则CF的长是（ ）
A．4cm B． C．2cm D．
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，求出∠ABF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝67.5°，得出∠ABF＝∠AFB，根据等腰三角形的判定求出AF，再根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，
∵∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝67.5°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4cm．
∵AC＝cm，
∴CF＝AC﹣AF＝cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出∠ABF＝∠AFB．
9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．5＜a≤6 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解得出答案即可．
解：，
解不等式①，得x＜a，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集是2＜x＜a，
∵关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数（是3，4，5），
∴5＜a≤6，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
10．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1 B．k≥﹣4 C．k≤﹣4或k≥﹣1 D．﹣4≤k≤﹣1
【分析】分别求得直线y＝kx﹣2的图象点A、B时相应的k的值，再根据与线段AB有交点，确定k的取值范围．
解：将A（﹣2，6）代入y＝kx﹣2中得：6＝﹣2k﹣2，
解得k＝﹣4，
将B（﹣4，2）代入y＝kx﹣2中得：2＝﹣4k﹣2，
解得k＝﹣1，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点时，k的取值范围为：﹣4≤k≤﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，以点C为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEC，点B的对应点E落在AC上，连接AD，则∠ADE的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【分析】先根据旋转的性质得到∴∠ACD＝90°，CA＝CD，∠DEC＝∠B＝65°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，所以∠DAC＝45°，然后根据三角形外角性质计算出∠ADE的度数．
解：∵△ABC顺时针旋转90°得到△DEC，
∴∠ACD＝90°，CA＝CD，∠DEC＝∠B＝65°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝65°﹣45°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线l1：y＝kx+b的k＝2；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；
②利用待定系数法求得k的值；
③求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；
④根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，
解得，
∴故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共5个小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．不等式组的解集是 x≥4 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥4，
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
14．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a﹣4，则a＝ 1 ．
【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出x的值．
解：根据题意得：a+2+a﹣4＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
15．如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．
解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．在边AD上取一点E，使 BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝6，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝10，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
17．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4）…，若这些点构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…Sn，则S2023＝ 4048 ．
【分析】根据图形分别求出S1，S2，S3的值，得出规律，根据规律即可求解．
解：由题意得，
S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+1），
S2＝4×3﹣3×2＝6＝2×（2+1），
S3＝5×4﹣4×3＝8＝2×（3+1），
...，
∴Sn＝2（n+1），
∴S2023＝2×（2023+1）＝4048，
故答案为：4048．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，以及规律型，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算括号里的运算，再算乘法，最后算减法即可；
（2）先化简，再算加减即可．
解：（1）
＝（2）×
＝3
＝9
＝4；
（2）
＝（6）+3
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．解不等式（组）：
（1）解不等式 ；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
2（x﹣3）＜3（2x+1）﹣6，
2x﹣6＜6x+3﹣6，
2x﹣6x＜3﹣6+6，
﹣4x＜3，
x＞﹣；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）△A2B1C1的面积为 5 ．
【分析】（1）根据平移的性质找到A，B，C向右平移3个单位的对应点A1，B1，C1，顺次连接，得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的性质，找到A，B，C关于原点对称的点A2，B2，C2，顺次连接，得到△A2B2C2；
（3）连接A2B1，A2C1，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，连接A2B1，A2C1，
则A2C1＝5，B1到A2C1的距离为2，
∴△A2B1C1的面积为，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键．
21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 甲方案或乙方案 ，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48．
解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE＝AO，CF＝CO，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE，
∵EF＝2AE，
∴2OE＝2AE，
∴OE＝AE＝CF＝OF，
∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24，
∴S▱ABCD＝2×24＝48，
∴▱ABCD的面积是48．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
23．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．
（1）求线段AC对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6h，求a的值．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为E＝kt+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．
解：（1）设线段AC的函数表达式为E＝kt+b（0＜t≤6），
将（0，20），（6，100）代入E＝kt+b，
即，
解得，
∴线段AC的函数表达式为（0＜t≤6）；
（2）根据题意，得，
∴．
【点评】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如表：
原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
8
4
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
【分析】（1）设需要甲种原料xkg，则需要乙种原料（10﹣x）kg，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可；
（2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可．
解：（1）设需要甲种原料xkg，则需要乙种原料（10﹣x）kg，
由题意得600x+100（10﹣x）≥4200，
∴600x+1000﹣100x≥4200，
解得x≥6.4；
∴所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围为x≥6.4．
（2）由题意得，
解得6.4≤x≤8．
∴所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围为6.4≤x≤8．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
25．问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C、O、A都不重合）过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F、G，连接OF，OG．
（1）初步探究：已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF＝BG；
（2）探究图中OF与OG的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG（AAS）即可得出结论；
（2）延长GO交AF于H，证明△AOH≌△COG（ASA），得OH＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB＝∠BGC＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝∠CBG，
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴AF＝BG；
（2）解：OF＝OG，理由如下：
如图，延长GO交AF于H，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴AF∥CG，
∴∠FAO＝∠OCG，
∵AO＝OC，∠AOH＝∠COG，
在△AOH和△COG中，
∴△AOH≌△COG（ASA），
∴OH＝OG，
在Rt△HFG中，FO＝HG＝OG．
∴OF＝OG．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△AOH≌△COG．
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