2024-2025学年内蒙古包头市八年级（下）期末数学试卷

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1．（3分）下列各数中是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．5
2．（3分）分式x+2x−3的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣2B．2C．x≠3D．3
3．（3分）下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝∠CD．∠B＝60°，AB＝AC
4．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数是（ ）
A．180°B．360°C．450°D．540°
5．（3分）如图，点P在∠AOB内部的一条射线上，PQ⊥OA，垂足为Q，且PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4，且∠OPQ＝68°则∠AOB的度数为（ ）
A．22°B．44°C．45°D．68°
6．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣10，则ab的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣50D．50
7．（3分）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（ ）
A．7cm2B．6cm2C．5cm2D．4cm2
8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D′处，若AD′交BC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠BAD＝135°B．△CED′是直角三角形
C．AD′平分∠BACD．EB＝ED′
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）若x＝5是关于x的方程1x=2a的解，则a的值为 ．
10．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，则∠ABC＝ °．
11．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为 ．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 cm．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．（9分）（1）因式分解：a3﹣a；
（2）计算：2a+4a2−2a+1⋅a2−aa+2；
（3）解不等式组：2(x+32)＞−1x+1＜5．
14．（11分）如图，在8×8的网格中，点O及△ABC的顶点A、B、C均在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称，请画出△A2B2C2．
15．（11分）已知关于x的方程x+2a＝2x﹣1．
（1）若该方程的解也是不等式3x﹣1＜5的解，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a﹣2b＝1，求b的取值范围．
16．（11分）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的2倍多100元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元．
（1）求甲、乙两种无人机的单价；
（2）该公司拟计划再订购这两种无人机共200台，且总费用不超过64000元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？
17．（11分）四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．
18．（11分）如图，在△ABC中，∠ABC＞90°．把△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△ADE，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E．
（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；
（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；
（3）如图3，连接CD，EC，若DE＝DC，求证：S△ABC=14AD⋅EC．
2024-2025学年内蒙古包头市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列各数中是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．5
【答案】D
【分析】根据不等式的解，可得答案．
【解答】解：∵5＞3，
∴5是不等式x＞3的解，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集是解题关键．
2．（3分）分式x+2x−3的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣2B．2C．x≠3D．3
【答案】A
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式x+2x−3的值为零，
∴x+2=0x−3≠0，解得x＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
3．（3分）下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝∠CD．∠B＝60°，AB＝AC
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为60°，或一个角为60°的等腰三角形．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A选项不符合题意；
B、∠B+∠C＝120°，则∠B不一定等于∠C，故B选项不符合题意；
C、三个角都相等的三角形是等边三角形，C选项不能判定△ABC为等边三角形，故不符合题意；
D、能判定△ABC为等边三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．
4．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数是（ ）
A．180°B．360°C．450°D．540°
【答案】B
【分析】多边形的外角和等于360°，依此即可求解．
【解答】解：由多边形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°．
故选：B．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．（3分）如图，点P在∠AOB内部的一条射线上，PQ⊥OA，垂足为Q，且PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4，且∠OPQ＝68°则∠AOB的度数为（ ）
A．22°B．44°C．45°D．68°
【答案】B
【分析】根据题意，可证Rt△POQ≌Rt△POE（HL），得到∠POQ＝∠POE，由直角三角形两锐角互余得到∠POQ＝22°，由此即可求解．
【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4，
∴PQ＝PE，∠PQO＝∠PEO＝90°，
∵OP＝OP，
∴Rt△POQ≌Rt△POE（HL），
∴∠POQ＝∠POE，
在Rt△POQ中，∠OPQ＝68°，
∴∠POQ＝90°﹣68°＝22°＝∠POE，
∴∠AOB＝∠POQ+∠POE＝44°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
6．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣10，则ab的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣50D．50
【答案】A
【分析】先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
【解答】解：a+b＝5时，
原式＝ab（a+b）＝5ab＝﹣10，
解得：ab＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
7．（3分）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（ ）
A．7cm2B．6cm2C．5cm2D．4cm2
【答案】B
【分析】由平移的性质可得A'E＝2cm，AE＝1cm，可求B'E＝2cm，DE＝3cm，即可求解．
【解答】解：如图，设AD与A'B'交于点E，
∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，
∴A'E＝2cm，AE＝1cm，
∴B'E＝2cm，DE＝3cm，
∴阴影部分的面积＝2×3＝6cm2，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D′处，若AD′交BC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠BAD＝135°B．△CED′是直角三角形
C．AD′平分∠BACD．EB＝ED′
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可．
【解答】解：将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D′处，
由题意可得：AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，
由折叠的性质可得：
∴AD＝AD′，CD＝CD′，∠D＝∠D′，∠DAC＝∠D′AC，AC⊥DD′，
∴AB∥DD′，BC＝AD′，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∠BAE＝∠D′，则∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∴AD′﹣EA＝BC﹣EB，即EC＝ED′，
∴点E是BC，AD′的中点，
∴EB＝ED′，故D选项正确，符合题意；
∴△CED′是等腰三角形，
∵∠ACD′＝90°＞∠ECD′，
∴△CED′是直角三角形，错误，故B选项不符合题意；
连接BD′，
∴四边形ABD′C是矩形，
∵AB，AC的数量关系不确定，
∴AD′平分∠BAC错误，故C选项不符合题意；
∵∠BAC＝90°，但AE，BC的位置关系不确定，
∴∠B≠45°，
∴∠BAD≠135°，故A选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）若x＝5是关于x的方程1x=2a的解，则a的值为 10 ．
【答案】10．
【分析】将x＝5代入方程可得一个关于a的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：由题意可得：2a=15，
解得a＝10，
经检验，a＝10是所列分式方程的解．
故答案为：10．
【点评】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解是解题关键．
10．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，则∠ABC＝ 64 °．
【答案】64．
【分析】先根据三角形中位线的性质得DE∥BC，进而得出∠DFB＝∠CBF，再根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，即可得∠DFB＝∠DBF＝∠CBF，则此题可解．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF＝32°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF=32°=12∠ABC，
∴∠ABC＝64°．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，综合性较强．
11．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为x＞﹣2 ．
【答案】x＞﹣2
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故答案为x＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 5 cm．
【答案】5
【分析】由等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，由含30度角的直角三角形的性质得BE=12BD＝2cm，由等角对等边得AD＝AF＝3cm，所以BC＝AB＝AD+BD＝7cm，据此即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠CEF＝90°，
∴∠BDE＝∠F＝30°，
∵BD＝4cm，
∴BE=12BD＝2cm，
∵∠ADF＝∠BDE＝30°，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF＝3cm，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．（9分）（1）因式分解：a3﹣a；
（2）计算：2a+4a2−2a+1⋅a2−aa+2；
（3）解不等式组：2(x+32)＞−1x+1＜5．
【答案】（1）a（a+1）（a﹣1）；
（2）2aa−1；
（3）﹣2＜x＜4．
【分析】（1）利用提取公因式和平方差公式将多项式进行因式分解即可；
（2）先对分子和分母进行因式分解，再约分简化进行计算即可；
（3）由题意分别解两个一元一次不等式，再求它们的公共解集．
【解答】解：（1）a3﹣a
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（2）2a+4a2−2a+1⋅a2−aa+2
=2(a+2)(a−1)2⋅a(a−1)a+2
=2aa−1；
（3）解第一个不等式2(x+32)＞−1，解得x＞﹣2，
解第二个不等式x+1＜5，解得x＜4，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜4．
【点评】本题综合考查因式分解、分式运算和不等式组的解法．因式分解需注意完全分解；分式乘法需先约分再化简；不等式组的解集为各不等式解集的公共部分．
14．（11分）如图，在8×8的网格中，点O及△ABC的顶点A、B、C均在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称，请画出△A2B2C2．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【分析】（1）根据旋转的性质找到点B、C的对应点B1、C1，连接A、B1、C1，则△AB1C1即为所求；
（2）根据中心对称图形的性质，分别找到点A、B、C的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2，则△A2B2C2即为所求．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转的性质和中心对称图形的性质是解题的关键．
15．（11分）已知关于x的方程x+2a＝2x﹣1．
（1）若该方程的解也是不等式3x﹣1＜5的解，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a﹣2b＝1，求b的取值范围．
【答案】（1）a＜12；
（2）b＜−14．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式的解集，根据题意得出不等式，求出解集；
（2）先用含有b的代数式表示a，可得不等式，求出解集．
【解答】解：（1）x+2a＝2x﹣1，
解得x＝2a+1．
3x﹣1＜5，
解得x＜2．
由条件可知2a+1＜2，
解得a＜12；
（2）∵a﹣2b＝1，
∴a＝2b+1，
即2b+1＜12，
解得b＜−14．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（11分）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的2倍多100元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元．
（1）求甲、乙两种无人机的单价；
（2）该公司拟计划再订购这两种无人机共200台，且总费用不超过64000元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？
【答案】（1）甲种无人机的单价是200元，乙种无人机的单价是500元；
（2）该公司最多可以购买80台乙种型号的无人机．
【分析】（1）设甲种无人机的单价是 x 元，则乙种无人机的单价为 （2x+100）元．根据题意列出
方程 4000x=100002x+100，然后解方程并检验即可；
（2）设购买乙种无人机 m 台，则购买甲种无人机（200﹣m）台，根据题意得500m+200（200﹣m）≤64000，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）设甲种无人机的单价是x元，则乙种无人机的单价为（2x+100）元，
根据”采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了4000元和10000元“可得，
4000x=100002x+100，
解得x＝200，
经检验x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x+100＝500，
答：甲种无人机的单价是200元，乙种无人机的单价是500元．
（2）设购买乙种无人机m台，则购买甲种无人机（200﹣m）台，
500m+200（200﹣m）≤64000，
解得m≤80，
答：该公司最多可以购买80台乙种型号的无人机．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
17．（11分）四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AB＝BE即可解决问题．
（2）只要证明△DAF≌△CEF推出AD＝CE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD．
（2）∵BA＝BE，BF⊥AE，
∴AF＝EF，
∵AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF，
在△ADF和△ECF中，
∠DAF=∠CEFAF=FE∠AFD=∠CFE，
∴△DAF≌△CEF
∴AD＝CE，∵AD∥CE，
∴四边形ADEC是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（11分）如图，在△ABC中，∠ABC＞90°．把△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△ADE，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E．
（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；
（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；
（3）如图3，连接CD，EC，若DE＝DC，求证：S△ABC=14AD⋅EC．
【答案】（1）120°；
（2）∵AC＝AE，∠EAC＝α，
∴∠E＝∠ACE．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴CA平分∠BCE；
（3）延长AD交CE于点F，如图3，
在△ADE和△ADC中，
AE=ACAD=ADDE=DC，
∴△ADE≌△ADC（SSS），
∴∠DAE＝∠CAD，△ADE≌△ADC≌△ABC，
∴AF⊥CE，且CF=12CE，
∴S△ACD=12AD⋅CF=12AD⋅12CE=14AD⋅CE，
即S△ABC=14AD⋅CE．
【分析】（1）先根据旋转的性质说明△ABD是等边三角形，可得∠ADB＝60°，则此题可解；
（2）根据等腰三角形的性质得∠E＝∠ACE，再根据全等三角形的性质得∠ACB＝∠E，即可得∠ACB＝∠ACE，此题可解；
（3）延长AD交CE于点F，根据“边边边”证明△ADE≌△ADC，可得∠DAE＝∠CAD，△ADE≌△ADC≌△ABC，再根据等腰三角形的性质得AD⊥CE，且CF=12CE，然后根据面积公式可得答案．
【解答】（1）解：由旋转得△ABC≌△ADE，且∠α＝∠BAD＝60°，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝∠ADE＝180°﹣∠ADB＝120°；
（2）证明：∵AC＝AE，∠EAC＝α，
∴∠E＝∠ACE．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴CA平分∠BCE；
（3）证明：延长AD交CE于点F，如图3，
在△ADE和△ADC中，
AE=ACAD=ADDE=DC，
∴△ADE≌△ADC（SSS），
∴∠DAE＝∠CAD，△ADE≌△ADC≌△ABC，
∴AF⊥CE，且CF=12CE，
∴S△ACD=12AD⋅CF=12AD⋅12CE=14AD⋅CE，
即S△ABC=14AD⋅CE．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
B
A
B
D