精品解析：广东中山市2026届高考模拟测试（二）数学试卷（解析版）

这是一份精品解析：广东中山市2026届高考模拟测试（二）数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据对数函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义求出结果.
【详解】要使有意义，则，，
即，则.
故选：D
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为,
所以，
故选：B.
3. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则列式求值.
【详解】因为，所以，
即.
故选：D
4. 已知函数且 ，若，则（ ）
A. 3B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质计算即得.
【详解】由题意知
，
所以，即得
解得.
故选：C.
5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A. 48个B. 52个C. 60个D. 120个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果.
【详解】由题意可知，分为两种情况：
情况一：个位是0，则有不同的结果个；
情况二：个位不是0，则有不同结果个；
所以共有个；
故选：B.
6. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题中条件，结合椭圆的特征，得到，根据，即可求出结果.
【详解】由椭圆的特征可知，椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为，即． ， ．.
故选D．
【点睛】本题主要考查椭圆的长轴，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型.
7. 抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ）
A. 100B. 106C. 110D. 116
【答案】B
【解析】
【分析】线性回归直线方程过样本中心点，求出，即可得回归直线方程，当时，求出即可.
【详解】由题可知，，，
代入回归直线方程，则，
当时，.
8. 设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆
C. 双曲线D. 抛物线
【答案】C
【解析】
【详解】如图：
不妨设在平面内投影为，则，
设直线与平面的距离为，
则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设
则到的距离为，到的距离为，
所以到直线的距离为，
所以，即，故轨迹为双曲线．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l与平面相交于点P，则（ ）
A. 内不存在直线与l平行
B. 内有无数条直线与l垂直
C. 内所有直线与l是异面直线
D. 至少存在一个过l且与垂直的平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得.
【详解】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面，
由，，且，，则与重合，
有，与矛盾，故选项A正确.
设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直.
又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确.
在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.
如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线.
因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C.
【详解】由题设，且，
，
，
所以A、C对，B、D错.
故选：AC
11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可.
【详解】由关于对称，得，
已知​，将第二个式子换元，代入化简得，
因为，则，将用替换，可得，
将用替换，得，
即，故周期为.
又因为，则，即是偶函数.
由和，得，
且，故是偶函数.
选项A，，，由，
得，A正确；
选项B，对任意，，故，B正确；
选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误；
选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数是奇函数，则实数_______________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，即对于定义域内的任意数，都有，根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数的值.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
即，由于分母，化简得，
解得，
故答案为：.
13. 已知角终边经过点，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和正切的二倍角公式求解即可.
【详解】因为的终边经过点，所以，
所以，解得或，
又，所以，，
所以，，
故答案为：2
14. 已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设：，通过对称性确定，由在直线上，和，在抛物线上，确定数列是等差数列，再结合裂项相消法即可求解.
【详解】
设直线：，
因为与关于轴对称，所以
由在直线上得:，
又点，在抛物线上，
所以
得（常数），所以数列是等差数列.
又，
所以，
所以，
所以，
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间.
【小问1详解】
当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
【小问2详解】
的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系，三角形面积公式等建立方程，求出.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
【小问2详解】
因为，，
所以，，，，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，.
17. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角；（3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积.
【小问1详解】
由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
【小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
【小问3详解】
由（2）可知，，
设平面的法向量为，则，​ 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，​
又，，​，
.
故，
三棱锥体积.
18. 已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）​或.
（3）
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的离心率和求解方程；
（2）根据向量关系得到点的坐标即可求解直线方程；
（3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理整理出，再换元利用二次函数性质得到的范围即可求解.
【小问1详解】
由双曲线，得，即.
已知离心率​​，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
【小问2详解】
由得，设，.
向量，，
由​​得，解得​​，
代入双曲线方程得​​，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为​或.
【小问3详解】
设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则​​，即的取值范围.
19. 袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望.
（1）当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；
（2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当时，求的最大值以及此时的值.
【答案】（1）；
（2）①；②的最大值为，此时.
【解析】
【分析】（1）根据正难则反的原则和古典概型计算公式即可得到答案；
（2）①方法一：求出，再求和即可；方法二：利用组合公式计算即可；
②求出，最后利用基本不等式即可得到答案.
【小问1详解】
设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
【小问2详解】
①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为，
则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，，
所以，
所以，
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
所以所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则，
所有可能的取值为：，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，此时.
2
4
5
6
8
20
45
60
75
80