广东省中山市2025-2026学年高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省中山市2025-2026学年高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了某市政府决定派遣名干部种，已知函数，已知，，若，则实数的值是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，为中点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）
A．B．2C．D．
3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
4．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强
6．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．B．C．D．
7．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
10．（ ）
A．B．C．D．
11．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．集合，，则=( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．
14．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
16．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若，求证：对于任意，.
18．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
19．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
20．（12分）已知首项为2的数列满足.
（1）证明：数列是等差数列．
（2）令，求数列的前项和.
21．（12分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围．
22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
2．D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
【详解】
解：在复平面内所对应的点在虚轴上，
，即．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
4．B
【解析】
求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.
【详解】
函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，上单调递增，
所以0或是函数y的极值点，
函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.
故选B.
该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.
5．D
【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.
【详解】
对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，
故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，
故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；
对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为
，
乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；
对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；
故选：D
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
6．C
【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.
故选：C.
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
7．A
【解析】
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.
【详解】
解：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，
∴且，即，且
∴，
故实数m的最大值为，
故选：A
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
8．A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
9．C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
10．D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
11．C
【解析】
作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥，底面，
可知四边形为矩形，且，.
矩形的外接圆直径，且.
所以，三棱锥外接球的直径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．C
【解析】
先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．
【详解】
解得集合，
所以，故选C．
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．.
【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.
【详解】
，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
14．1
【解析】
根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据7，9，，8，10的平均数为9，
则，解得：，
则其方差.
故答案为：1．
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题．
15．
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
16．32
【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，
则分层抽样的样本容量是人.
故答案为：32
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ），（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得
，
构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.
【详解】
解：（1）
由于直线的斜率为，且过点，
故即解得，.
（2）由（1）知，
所以.
考虑函数，，
则.
而，故当时，，
所以，即.
本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.
18． (1)证明见解析；(2)60°.
【解析】
试题分析：
（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE，；
（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；
法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.
试题解析：
（1）连结PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．
又，AB平面PDE，PE平面PDE，
∴ABPE．
（2）法一：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,
过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，
则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为
法二：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，
=(1，0，)，=(0，，）．
设平面PBE的法向量，
令，得．
DE平面PAB，平面PAB的法向量为．
设二面角的大小为，由图知，，
所以即二面角的大小为.
19． (I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;
（2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.
【详解】
（1）证明:因为,所以,
所以,从而,因为,所以,
故数列是首项为1,公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知,则,因为,所以,
则
.
本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
21． (1) (2)
【解析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】
（1）不等式
或或，
解得或，即x>0,
所以原不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为R，
只要的最小值大于0即可，
又，
当且仅当时取等，只需最小值，即．
所以实数a的取值范围是．
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）由题意得，求出，进而可得到椭圆的方程；
（2）由（1）知点，坐标，设直线的方程为，易知，可得点的坐标为，联立方程，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，可用表示的坐标，进而由三点共线，即，可用表示的坐标，再结合，可建立方程，从而求出的值，即可求得点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知点，，
由题意可设直线的斜率为，则，所以直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去得：.
设，则，所以，
所以，所以.
设点的坐标为，因为点三点共线，所以，即
，所以，所以.
因为，所以，即，
所以，解得，
又，所以符合题意，
计算可得，，
故点的坐标为.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
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