2023~2024学年广东省中山市高二上期末统一考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省中山市高二上期末统一考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知：，且焦点在y轴上，
可得，所以椭圆的焦点坐标为.
故选：B.
2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．
故选：A．
3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】因为，且直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，所以，所以，解得.
故选：A.
4. 经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当经过、的直线不与轴平行时，
所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C
5. 在正项等比数列中，，则的最小值是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】C
【解析】在正项等比数列中，，所以，
当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.
故选：C.
6. 若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，
经轴反射后反射光线所在直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率，且反射光线过点，
故反射光线所在的直线方程为．
故选：A
7. 某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为（ ）
A. 31米B. 31.5米C. 47米D. 63米
【答案】C
【解析】记第n次落地到第次落地之间球运动的路程为米，
则，，是从第二项起公比为的等比数列，
所以第6次着地时球所运动的路程之和.
故选：C.
8. .如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球,球的半径分别为4和1,球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，
所以椭圆的离心率．
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 点关于坐标平面的对称点的坐标为
B. 点在平面面上
C. 表示一个与坐标平面平行的平面
D. 表示一条直线
【答案】BC
【解析】A项：点关于坐标平面的对称点的坐标为，故A错；
B项：因为点纵坐标为，所以点在平面面上，故B正确；
C项：，则横坐标和纵坐标为任意数，故与坐标平面平行，故C正确；
D项：，说明竖坐标为任意数，表示一个平面，故D错，
故选：BC.
10. 已知是等比数列的前n项和，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】设等比数列的公比为.
A选项，，，A选项正确，
B选项，，，符号无法判断，B选项错误.
C选项，，当时，，
由于，所以，
当时，，C选项正确.
D选项，，所以与同号，
当时，，由于，
的符号无法判断，所以的符号无法判断，D选项错误.
故选：AC
11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（ ）
A.
B. 为钝角
C.
D. 若点，在上，且为的重心，则
【答案】AC
【解析】抛物线的焦点，
依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，设，
则，
，
，当时等号成立，
所以，A选项正确，抛物线的方程为，
准线方程，焦点，
则，则，
所以，所以B选项错误.
由上述分析可知，
，
所以，所以C选项正确.
设，由于是的重心，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
12. 形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 渐近线方程为和
B. 的对称轴方程为和
C. 是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值
D. 是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值
【答案】ABD
【解析】因为是双曲线，
由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交，
故渐近线为和，故A正确；
因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为，
由二倍角公式可得，
整理得，解得或（舍去），
故，
另一条直线的斜率为，故B正确；
设，所以，
故，故C错误；
因为，
设，则处切线的斜率，
所以切线方程为，
令，可得，即，则；
令，可得，即，则；
故面积为（定值），故D正确．
故选：ABD.

三、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 抛物线的焦点到准线的距离为____________
【答案】4
【解析】抛物线的焦点，准线方程，∴其的焦点到准线的距离为4．
故答案为：4．
14. 已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
【答案】
【解析】，
即，
，
即，
两式相减得：.
故答案为：.
15. 如图,在正四棱锥中,分别为侧棱上的点,四点共面，若，则_________.
【答案】
【解析】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，
则四面体体积之比.
事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而
.
设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得
，则，
，则，
所以；
同理可得.
所以，解得，即，从而.
故答案为：.
16. 已知数列的前n项和为，，.令，则数列的前n项和______.
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为，则，
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，可得，
则，
所以
，
即.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知圆C过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
解：（1）设圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为．
（2）设圆心到直线l的距离为d，
则，则．
当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
所以，解得，
此时，直线l的方程为，即．
综上所述，直线l的方程为或．
18. 在数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
解：（1）由已知又，，所以，
因为，
所以，又
所以，，因为，所以，
所以，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．
（2）由（1），可知，
所以数列的通项公式为．
设数列的前项和为，则
，
所以，
，
，
，
所以，
所以数列的前项和为.
19. 在平行六面体中，,，．
（1）求；
（2）求和所成角的余弦值．
解：（1）由题可得，，
又，，，
所以，
所以
；
（2）由题可得，
所以，
又
，
所以，
所以，
故和所成角的余弦值为.
20. 如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）由椭圆的定义可知△的周长为，即，
∵，∴，
又∵，∴，
故椭圆C的方程为：，
（2）将联立，消元可得，
∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，
∴，
∴，
此时，，
∴
由得，
假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，
设，则，
，，
整理得，
对任意实数m，k恒成立，则，
故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
21. 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程．
（1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点，法向量为的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由）
（2）设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．
解：（1）①，理由如下：
设平面上除任意一点坐标为，
则，即，
又，
故过点，法向量为的平面的方程为；
②平面的一般方程为，理由如下：
由①可得，
变形为，令，
故平面一般方程为；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为，理由如下：
由②可得平面的一般方程为，
由于方程在x，y，z轴上存在截距，且截距不为0，故，
变形为，故，
令，
故在x，y，z轴上截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为；
（2）以两个定点的中点为坐标原点，以所在直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，以与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，可得，，
所以，
移项得，
两边平方得，
即，
故，两边平方得，
，两边同除以得，
，
令，故曲面的方程为
22. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
解：（1）连接交于，
因为，，，
所以，故
又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以
又四边形为菱形，故
而，所以平面
方法二：因为，
所以点在平面内的射影在为的平分线，
又四边形为菱形，故为的平分线，则直线
故平面平面，而平面平面，
又四边形为菱形，故
所以平面
（2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面
由（1）得平面平面，平面平面，
所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）
因为四棱台中，
所以，
由菱形有，且∠ABC=，
所以，
作，
因为，
则，，
所以，
则，，，
故.
法二：延长交于点，
平面即为平面，平面即平面，
设直线与平面所成角为
过作，垂足为，
因为，所以
建系，以为轴，作轴，
设平面的法向量为，则
，
所以，
所以