2026年重庆中考数学二轮复习 热点08尺规作图 补全证明过程(5大题型练习)

这是一份2026年重庆中考数学二轮复习 热点08尺规作图 补全证明过程(5大题型练习)，共9页。
第一部分 热点聚焦·析考情
第二部分 题型引领·讲方法
题型01 作垂直平分线
题型02 作角平分线
题型03 过一点作已知直线的垂线
题型04作已知角相等的角
题型05作已知线段相等的线段
第三部分 能力突破·限时练

题型01 作垂直平分线
例1（2025·重庆珊瑚中学·中考模拟）在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究，他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边的中点所围成的封闭图形是菱形，他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论，请你根据该小组的思路完成以下作图与填空：
(1)如图，在中，是边上的中线，用尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，连接、．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作图形中，求证：四边形是菱形．
证明：垂直平分
为的中线
①．
在和中
．
∴四边形为菱形．
学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是___________________．
【答案】(1)见解析
(2)，，，正方形
【来源】重庆市珊瑚中学2025年中考数学模拟试卷
【分析】本题考查垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握垂直平分线的性质是解答的关键．
（1）根据尺规作图—作线段垂直平分线的作法解答即可；
（2）利用垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，然后根据证明，即可得到四条边都相等，证明结论即可．
【详解】（1）解：尺规作图如图所示：
（2）证明：∵垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，为的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴,
∴四边形为菱形．
∵四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是：正方形．
故答案为：，，，正方形．
【变式1】．（23-24九下·重庆七中·二模）如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论．
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
是的垂直平分线，
，，①______，
又四边形是平行四边形，
②______，
．
在和中，
，
③______，
，
四边形是菱形．
结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______．
【答案】(1)见解析
(2)；；；对边交点形成的四边形是菱形
【详解】（1）如图, 为所求；
（2）解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
是的垂直平分线，
，，，
又四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
，
，
四边形是菱形．
结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与对边交点形成的四边形是菱形．
故答案为：；；；对边交点形成的四边形是菱形．
【变式2】．（2024·重庆綦江·赶水中学·二模）小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，
在和中
，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
【答案】(1)见详解
(2)①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【来源】2024年下学期重庆市綦江区赶水中学九年级第二次模拟（K12）数学试题
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：

（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
【点睛】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式3】．（23-24九下·重庆开州东华初中·二模）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，．连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
① ，，
，
② ，
在和中，，
∴③__________．
又∵，
∴④__________．
∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
又∵，∴平行四边形为菱形．
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤ ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形
【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线；
（2）证明：垂直平分，
①，，
，
②，
在和中，，
∴③．
又∵，
∴④．
∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
又∵，∴平行四边形为菱形．
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．
【变式4】．（2024·重庆·三模）在学习了平行四边形后，小王进行了拓展研究，他发现如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形被所作垂直平分线分成面积相等的两部分，他的解决思路是证明所作线构成的三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空：
(1)用直尺和圆规完成作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）．
(2)在（）中所作的图形中，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点，形状，求证：四边形与四边形面积相等．
证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，
_______________，
垂直平分，
________________，
________________，
，
四边形面积面积，
四边形面积面积，
四边形面积四边形面积．
小王进一步探究发现，过平行四边形对角线中点的任意直线与平行四边形所构成的图形均此特征，请依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线____________．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，，，把平行四边形分成面积相等的两部分．
【来源】2024年重庆市九年级第三阶段质量检测数学试题
【分析】（）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（）利用证明，再利用证明，即可得到四边形面积面积，四边形面积面积，进而可得四边形面积四边形面积，由此可得过平行四边形对角线中点的直线把平行四边形分成面积相等的两部分；
本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
四边形面积面积，四边形面积面积，
四边形面积四边形面积．
小王进一步探究发现，过平行四边形对角线中点的任意直线与平行四边形所构成的图形均此特征，请依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线把平行四边形分成面积相等的两部分．
故答案为：，，，把平行四边形分成面积相等的两部分．
题型02 作角平分线
例1（2025·重庆八中·二模）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）．
已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分．
求证：．
证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图）
平分，，
①________
平分，，
②________
在与中
③________
请你依照题意完成下面命题：
小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________．
【答案】图见解析；；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心
【详解】解：如图，即为所求；
证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图）
平分，，
，
平分，，
，
在与中
，
，
三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做三角形的内心；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做三角形的外心；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做三角形的重心．
故答案为：；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心．
【变式1】．（2024·重庆巴蜀中学·二诊）学习了平行四边形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，连接平行四边形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．他的解决思路是通过证明三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空．
(1)如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：平行四边形中，分别平分和，连接．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
_____①_____，，．
．
又分别平分和，
，
_____②_____．
在和中
．
，_____③_____．
_____④_____．
四边形是平行四边形．
小渝进一步探究发现，如果将上述条件中的平行四边形变为矩形也有类似的结论，请完成下面的命题：连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么_____⑤_____．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形
【详解】（1）解：如图，为的平分线；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
又分别平分和，
，
，
在和中
，
，．
．
四边形是平行四边形．
当为矩形时，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
又分别平分和，
，
，
在和中
，
，．
．
四边形是平行四边形．
即连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，作角平分线，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
【变式2】．（2024·重庆一中·二模）如图，在中，为的角平分线．
(1)（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为．连接、．（保留作图痕迹）
(2)小明利用（1）所作的图形，证明四边形是菱形．请根据他的思路完成下面的填空．
证明：∵平分，
∴①___________，
∵垂直平分，
∴②___________，
∴，
∴③___________，
∴，
∵同理，，
∴④___________，
∵
∴平行四边形是菱形
小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤___________．
【答案】(1)见解析
(2)；；；四边形为平行四边形；这个四边形是菱形
【详解】（1）解：所作图形如图所示．
；
（2）证明：平分，
，
垂直平分，
，
，
，
∴，
同理，，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么这个四边形是菱形．
故答案为：；；；四边形为平行四边形；这个四边形是菱形．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】．（24-25九下·重庆育才中学·一测）小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)在中，用尺规作的角平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：中，，的角平分线交于，在上截取，连接．证明：四边形是菱形．
证明：平分
①______．
四边形为平行四边形，
，
②______，
，
③______．
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．（④______）
【答案】(1)见详解
(2)，，，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图—角平分线，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线的做法进行作图，得出点E，再以点为圆心，以的长为半径，画弧交于一点，即为，进行作答即可；
（2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，再通过等角对等边得，结合，则，再证明四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：平分
．
四边形为平行四边形，
，

，
．
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
故答案为：，，，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【变式4】．（2025·重庆·一模）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
_____________，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
_____________，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（④_____________）．
【答案】作图见解析；①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【来源】重庆市2025-2026学年九年级下学期第一次数学定时训练
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④．
【详解】解：如图所示，就是所求作的图形；
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
题型03 过一点作已知直线的垂线
例1（2025·重庆一中·二模）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴①______
∵为的中点
∴②______
∴在和中，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵④______
∴四边形是菱形．
小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______．
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2）
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和尺规作图是解题关键．
（1）先根据尺规作图作的垂直平分线，分别交、于点、，再连接、即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得．
【详解】（1）解：过点作的垂线，分别交、于点、，连接、，如图所示：
．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形．证明如下：
如图，在四边形中，，点是对角线的中点，于点，
∵，
∴，
∵点是对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤菱形．
【变式1】．（2025·重庆市九龙坡区·四川外国语大学附属外国语学校·二模）在学习了平行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴.
∵，
∴，
在和中
，
∴(ASA)，
∴③ ，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ．
【答案】(1)作图见解析
(2)菱形
【来源】2025年重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校中考二模数学试题
【分析】（1）延长，以点B为圆心，以为半径画弧，再以点G，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，作直线，交于点F，连接；
（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据“角边角”证明，可得，则答案可得；结合菱形的判定定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：证明：四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
在和中
，
∴(ASA)，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
菱形．
由（2）可知，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】
本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，作出图形构造全等三角形是解题的关键．
【变式2】．（2025·重庆八中·模拟）在学习了矩形与菱形的相关知识后，思博小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是矩形，可利用平行四边形的性质和判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，菱形的对角线交于点O，射线，用尺规过点C作的垂线，交 于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：菱形的对角线交于点O，射线，交于点E，连接．求证：四边形是矩形．
证明：四边形是菱形，
∴，，．
又∵，
∴ ① ．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ② ．
又：，
∴ ③ ．
又∵，
∴四边形是 ④ ·
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是 ⑤ ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【来源】2025年重庆市第八中学校中考数学模拟卷七
【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直可知，利用作一角等于已知角的方法即可作出；
（2）由菱形的性质和平行线的性质先证出四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，进而即可证出四边形是矩形，当四边形是正方形时，同理即可证得点E，C，O，D所构成的四边形是正方形．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴四边形是矩形．
进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是正方形．
故答案为：；；；平行四边形；正方形；
如图，
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，尺规作图等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【变式3】．（2025·重庆清华中学教育集团·一模）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形为平行四边形，
且．
①______．
，
，同理可得，．
②______
．
③______．
又，
，同理可得，．
．
④______．
四边形是平行四边形．
进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤平行四边形
【详解】（1）如图，点E即为所作；
（2）证明：四边形为平行四边形，
且
，
，同理可得，
，
，
，
又，
，同理可得，，
，
，
四边形是平行四边形．
已知：如图，在矩形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形为矩形，
且
，
，同理可得，
，
，
，
又，
，同理可得，，
，
，
四边形是平行四边形．
∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．
【变式4】．（2024·重庆实验外国语·三诊）学习了正方形的知识后，智慧小组进行了拓展性研究：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，此时分布在对角线两侧的互相垂直的线段也具有特殊的数量关系他们的解决思路是通过三角形全等和等腰三角形的判定得出结论，请根据他们的思路完成以下作图和填空．
(1)如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连接，，用直尺和圆规完成以下作图：过点E作的垂线，与交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：（补全证明过程）．
证明：∵四边形是正方形
∴，①________
在和中
∴
∴，
∵，
∴在四边形中，
∴
∵②________
∴
∴③________
∴
④________
请你依照题意完成下列命题：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，那么这两条线段的数量关系为⑤________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤相等
【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，①，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴在四边形中，，
∴，
∵②，
∴，
∴③，
∴，
∴④；
将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，那么这两条线段的数量关系为⑤相等．
题型04 作已知角相等的角
例1（2025·重庆巴蜀中学·三模）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④
【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题
【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）证明，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所求作角，
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，．
∴，
∴，
∴．
在和中：，
∴，
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①，②，③，④．
【变式1】．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·中考冲刺）在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：．
证明：∵四边形是矩形，
∴，

∵，
，，
∴
∴．
∴
又，，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，
【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校2025年中考数学冲刺试题
【分析】本题考查作图-基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可；
（2）证明可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
．
∵，
，，
∴，
∴．
∴，
又，，
∴．
故答案为：，，．
【变式2】．（2025·重庆垫江中学·中考模拟）如图，在中，，D为边上的中点，连接．
(1)尺规作图：在右侧上方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵D为边上的中点，∴．
在和中，
∴，
∴②______．
∵，
∴③______．
∴四边形是平行四边形．
又∵④______，
∴四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【来源】2025年重庆市垫江中学校中考模拟押题卷数学试题（五）
【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键：
（1）分别以为圆心，相同的长为半径画弧，再以以为圆心的弧与的交点为圆心，以以为圆心的弧与的交点形成的线段为半径画弧，连接和两弧的交点即可得到射线，再延长交于点即可；
（2）根据对顶角相等，全等三角形的性质，平行线的判定和矩形的判定方法，作答即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）证明：∵D为边上的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
【变式3】．（2025·重庆八中·三模）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
(2)求证：四边形是菱形．
证明：由知，
．
，
四边形是平行四边形（ ② ）
是斜边上的中线，
③ ．
平行四边形是菱形．
请进一步思考：若，则四边形是 ④ ．
【答案】(1)见解析；
(2)(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形．
【来源】2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题
【分析】本题主要考查了尺规作图作、菱形的判定、正方形的判定．
利用尺规作图过点作即可；
根据同位角相等两直线平行可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形；
若，可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据有一个角是直角的菱形是正方形，可证四边形是正方形．
【详解】（1）解：如下图所示，
以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，
以点为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点，
以点为圆心，为半径，交前弧于点，
连接交于点，
即为所求；
（2）证明：由知，
(同位角相等，两直线平行)，
，
四边形是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
是斜边上的中线，
，
平行四边形是菱形；
若，
则,
，
点是的中点，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形．
【变式4】．（2025·重庆八中·中考一模）如图，在中，点是上的一点，连接．
(1)用尺规作图，完成以下基本作图：做，交于点，连接交于点，连接交于点．
(2)在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形．
证明：在中，，
___________①___________，
，
，
___________②___________，
四边形是平行四边形，
，
，
___________③___________，
，
四边形是平行四边形，
___________④___________，
，
四边形是平行四边形．
在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤一组对边平行，一组对角相等
【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
（1）根据作一个角等于已知角的方法，进行作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，证明，得出四边形是平行四边形，根据四边形是平行四边形，得出，根据，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的角．
（2）证明：在中，，
①，
，
，
②，
四边形是平行四边形，
，
，
③，
，
四边形是平行四边形，
④，
，
四边形是平行四边形．
在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：⑤一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
题型05 作已知线段相等的线段
例1（2025·重庆南开中学·二模）在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．
(1)尺规作图：在四边形中，作的角平分线，交于点，在上取一点、使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）：
(2)在（1）所作的图中，其中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：，_____①_____，
四边形是平行四边形，
平分，
_____②_____，
，
，
_____③_____，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：对角线平分其中一个内角的平行四边形是菱形．
故答案为：，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形．
【变式1】（2024·重庆渝北六校联盟·三模）学习了全等三角形知识后，小明进行了如下思考，在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么这两条线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空．
在中，，平分，点M为上一点，连接．
(1)用直尺和圆规：过点M作，交于点D，在上截取点E，使．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，连接，探究与的数量关系．
证明： 平分，
．
在和中，
，
（）．
，①______．
又，，
在四边形中，．
．
又，
②______．
．
③______．
通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④______．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意所作图形如下：
（2）解：连接，
证明：平分，
．
在和中，
，
（）．
，①．
又，，
在四边形中，．
．
又，
②．
．
③．
通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④这两条线段相等．
【变式2】（2023·重庆开州东华初级中学·模拟）已知四边形是平行四边形，．
(1)利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程）
证明：四边形为平行四边形，
，
___________．
平分，
，
___________．
，
又，
___________．
又，
四边形为平行四边形，
又___________．
四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)；； ；
【来源】2023年重庆市开州区东华初级中学中考模拟预测数学模拟预测题
【分析】（1）利用基本作图作平分线和作一条线段等于已知线段即可；
（2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形，
本题考查了作图，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：四边形为平行四边形，
，
．
平分，
，
．
，
又，
．
又，
四边形为平行四边形，
又．
四边形是菱形．
【变式3】（2024·重庆八中·一模）如图，在中，射线，
(1)尺规作图：在射线上取点D，使得，连接，过点C作的垂线，交于点O、交延长线于点E，连接．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论）
(2)小明在（1）中所作图形发现四边形是菱形，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整：
证明： ① ，
又， ② ，
，
在和中
， ③ ，
又， ④ ，
四边形是平行四边形．（ ⑤ ）
又 平行四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，，对角线互相平分的四边形是平行四边形
【来源】2024学年重庆市第八中学校九年级下学期第一次强化训练数学模拟预测题
【分析】此题考查了基本作图、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，准确作图和正确推理是解题的关键．
（1）按照步骤作图即可；
（2）证明，则，再证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形．又由即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：
，
又，，
，
在和中
，
∴，
，
又，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又
平行四边形是菱形．
故答案为：，，，，对角线互相平分的四边形是平行四边形
【变式4】（2023·重庆六校联盟·适应性）在学习旋形的判定时，小明思考怎么在平行四边形里面剪出一个菱形，小明的思路是：先作的角平分线交于E，在上截取，然后连接．通过邻边相等的平行四边形得菱形，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，在上截取．（保留作图痕迹，不写作法、结论）
(2)证明：∵四边形为平行四边形，
∴ ．
∴，
∵平分，
∴ ．
∴，
∴ ．
∵，
∴ ．
∴四边形是平行四边形；
又∵ ，
∴四边形是菱形．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解
【来源】2023年重庆市主城区初中六校联盟中考适应性数学模拟预测题
【分析】本题考查尺规作角平分线，作相等线段，平行四边形的性质，菱形的判定：
（1）利用尺规作图作角平分线，根据圆的半径相等作线段即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质得到，从而得到，结合角平分线得到，从而得到，即可得到，进而即可得到证明
【详解】（1）解：由题意可得，如图所示，
以点为圆心画圆弧交两边于两点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接与该点交于一点即为E点，以为圆心为半径画圆弧交于一点即为点，
；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
又∵，
∴四边形是菱形．

（20分钟限时练）
1．在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
_____________，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
_____________，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（④_____________）．
【答案】作图见解析；①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④．
【详解】解：如图所示，就是所求作的图形；
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④
【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）证明，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所求作角，
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，．
∴，
∴，
∴．
在和中：，
∴，
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①，②，③，④．
3．学习了平行四边形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，平行四边形一组对角的平分线与另一组对角的对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，的平分线交对角线于点．用尺规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：在中，是的对角线，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，，
① ．
，的平分线分别交对角线于点，，
，，
② ．
在和中，
，
③ ，
．
进一步思考，如果过平行四边形一组对角的顶点向另一组对角的对角线作的是垂线呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： ④ ．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②；③；④过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等．
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
（1）根据作角平分线的方法作出的平分线交于点；
（2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：作图如答图；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，
．
，的平分线分别交对角线于点，，
，，
．
在和中，
，
，
．
结论：过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等
故答案为：①；②；③；④过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等．
4．如图，在矩形中，，请完成以下作图和填空：
(1)用尺规按要求作图：过点C作交于点F，连接．
(2)已知：矩形中，，连接
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形为矩形，
∴① ，，
∴，
∵，
，② ，
在和中，
∴
∴③ ，
∴四边形是平行四边形（④ ）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据矩形的性质可得，，再证明，，进而证明得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
，，
在和中，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．近三年：
2023 1题 / 4分 五种基本作图，侧重垂直平分线/角平分线 分值较低，考查基础作图痕迹 2024 1题 / 6分（分值提升） 作图+填空（写依据/结论） 分值与难度双提升，要求理解作图原理 2025 1题 / 6分（稳定在大题） 五种基本作图，过点作垂线；第4空写结论 题型固定，强调语言表达与步骤规范。
2026年中考复习备考方向与策略建议
1. 回归课本，深挖原理：弄明白“为什么这么画”，不要只记步骤。可以尝试用语言描述每一步操作的依据。 2. 规范训练，保留痕迹：考场上保留作图痕迹是得分点。平时练习就要习惯用2B铅笔作图，线条清晰，不随意涂抹。 3. 融会贯通，联系几何：把作图和几何证明联系起来。比如，看到角平分线，就要联想到“到角两边距离相等”；看到中垂线，要快速反应出“垂直且平分线段”。 4. 精选练习，熟悉题型：多练习重庆近2-3年的中考真题或高质量模拟题，特别是涉及“作图+计算”的综合题。
解题策略
仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明.
解题策略
此类题考查作图−复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
解题策略
此类题主要考查了过已知点作直线的垂线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。
解题策略
此类题考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定与性质是解题关键。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明.
解题策略
此类题主要考查了作已知线段相等的线段，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角，熟练掌握相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键．