2024重庆中考数学二轮专题训练 题型八 尺规作图及其相关证明与计算 (含答案)

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典例精讲
例1 如图，在△ABC中，AB＞AC，在AB边上取一点D，使得AD＝AC.补全作图步骤并用尺规完成下列作图．
【作图步骤】以点A为圆心，________长为半径画弧，交________于点D，点D即为所求；
【作图依据】_________________________________________________________________．
例1题图
针对训练
1. 如图，已知：线段AB，AC.
(1)尺规作图：以线段AB为边长，线段AC为一条对角线画一个菱形ABCD(要求：保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若AB＝13，AC＝24，求该菱形的高线长．
第1题图
典例精讲
例2 如图，四边形ABCD为平行四边形 ，点M为AD边上一点，连接CM，请用尺规作图：过点A作∠BAN＝∠DCM交BC于点N.补全作图步骤并用尺规完成下列作图．
【作图步骤】(1)以点C为圆心，________长为半径画弧，分别交CD、CM于点E、F；
(2)以点______为圆心，______长为半径画弧，交AB于点P，以点_______为圆心，______长为半径画弧，交前弧于点Q；
(3)作射线AQ交______于点N，∠BAN即为所求；
【作图依据】_____________________________________________________________．
【一题多解】通过尺规作∠DAN＝∠BCM或DM＝BN亦可．
例2题图
针对训练
2.如图，已知△ABC，CD平分∠ACB.
(1)以D为顶点，在边AB右侧作∠ADE＝∠ABC，交AC于点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，求证：DE＝CE.
第2题图
典例精讲
例3 如图，已知△ABC，请用尺规作图：作AC边的垂直平分线MN交AC于点M，交AB于点N.补全作图步骤并用尺规完成下列作图．
【作图步骤】分别以点A、_____为圆心，________长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，连接EF分别交AC、AB于点M、N，连接MN，即为所求；
【作图依据】__________________________________________________________________．
例3题图
针对训练
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC.
(1)请用尺规作图：作AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接CE，若△CDE的周长为8，求平行四边形ABCD的周长．
第3题图
典例精讲
例4 如图，已知△ABC，求作∠ABC的平分线BD.补全作图步骤并用尺规完成下列作图．
【作图步骤】(1)以点______为圆心，________长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；
(2)分别以点E、F为圆心，________长为半径画弧，两弧交于点D；
(3)作射线BD，射线BD即为所求；
【作图依据】___________________________________________________________________．
例4题图
针对训练
4. 如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图：作∠BCD的平分线交BA的延长线于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BC＝10，AB＝6，求AE的长．
第4题图
典例精讲
例5 如图，已知△ABC，请用尺规作图：过点C作AB边上的高线交AB于点D.补全作图步骤并用尺规完成下列作图．
【作图步骤】(1)以点________为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P；
(2)分别以点B、P为圆心，________长为半径画弧，两弧交于点Q；
(3)连接CQ交AB于点D，CD即为所求；
【作图依据】___________________________________________________________________．
例5题图
针对训练
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD.
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线交BD于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AD＝10，sin∠ADB＝eq \f(2,5)，求BE的长．
第5题图
参考答案
典例精讲
例1 【作图步骤】AC，AB；
【作图依据】圆上的点到圆心的距离等于半径．
解：如解图，点D即为所求．
例1题解图
针对训练
1. 解：(1)如解图，四边形ABCD即为所求；
第1题解图
(2)如解图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC＝12，OB＝OD，
∵AB＝13，
在Rt△AOB中，OB＝eq \r(AB2－OA2)＝5，
∴OB＝OD＝5，
∴BD＝10，
设菱形的高为h，则13h＝eq \f(1,2)×10×24，
∴h＝eq \f(120,13).
典例精讲
例2 【作图步骤】(1)任意；
(2)A，CE(或CF)，P，EF；
(3)BC；
【作图依据】三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等．
解：如解图，∠BAN即为所求．
例2题解图
针对训练
2. (1)解：如解图，∠ADE即为所求；
第2题解图
(2)证明：∵∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB.
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE.
典例精讲
例3 【作图步骤】C，大于eq \f(1,2)AC；
【作图依据】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
解：如解图，直线MN即为所求．
例3题解图
针对训练
3. 解：(1)如解图，EF即为所求；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为CD＋(DE＋CE)＝AD＋CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为2×8＝16.
第3题解图
典例精讲
例4 【作图步骤】(1)B，任意长；
(2)大于eq \f(1,2)EF；
【作图依据】三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等．
解：如解图，射线BD即为所求．
例4题解图
针对训练
4. 解：(1)如解图，CE即为所求；
(2)∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝10，
∴AE＝BE－AB＝10－6＝4.
第4题解图
典例精讲
例5 【作图步骤】(1)C；
(2)大于eq \f(1,2)BP；
【作图依据】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
解：如解图，CD即为所求．
例5题解图
针对训练
5. 解：(1)如解图，CE即为所求；
(2)∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴sin∠EBC＝sin∠ADB＝eq \f(2,5).
在Rt△BCE中，sin∠EBC＝eq \f(CE,BC)＝eq \f(2,5)，
∴CE＝BC·sin∠EBC＝eq \f(2,5)×10＝4，
∴BE＝eq \r(BC2－CE2)＝eq \r(102－42)＝2eq \r(21).
第5题解图