2026年重庆中考数学二轮复习 热点05 概率(6大题型练习)

这是一份2026年重庆中考数学二轮复习 热点05 概率(6大题型练习)，共9页。
第一部分 热点聚焦·析考情
第二部分 题型引领·讲方法
题型01 列举法求概率
题型02 放回问题
题型03 不放回问题
题型04 跨科学相关概率问题
题型05 概率与函数综合
题型06 概率与方程综合
第三部分 能力突破·限时练

题型01 列举法求概率
例1（2024·重庆巴蜀中学·二诊）将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是________．
【答案】
【详解】从不透明的口袋中随机摸出两个球，共有种等可能的结果：中华，中崛，中起，华崛，华起，崛起，其中摸到的球上的汉字可以组成“中华”的结果有1种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是，
故答案为．
【变式1】（2023·重庆八中·适应考试）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为______．
【答案】
【来源】重庆市第八中学2022-2023学年九年级下学期适应考试数学试题
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四张卡片中，矩形，菱形，正方形为中心对称图形，分别用表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性随机抽取两张卡片共有，共种情况，其中抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的有，共种情况，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率．熟练掌握矩形，菱形，正方形为中心对称图形，以及列举法求概率，是解题的关键．
【变式2】（22-23九上·重庆沙坪坝区第八中学校·一模）不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为__________．
【答案】
【详解】解：
从袋子中随机一起摸出 2 个球可能出现的情况一共12种等可能结果，其中，摸出 1个红球1个黑球的情况有4种
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键．
【变式3】（2024·重庆实验外国语·三诊）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，球上分别标有数字1，，4，，随机摸取一个小球记作，然后不放回，再随机摸取一个小球记作，则为正数的概率是______．
【答案】
【详解】解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于正数的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于正数的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
【变式4】（2024·重庆一中·三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．
【答案】
【详解】解：从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，它们为1、3；1、5；1、6；3、5；3、6；5、6共6种等可能的结果数，其中与长度为8的线段恰好能围成三角形的结果数有2种，∴与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列举法求概率、三角形的三边关系，熟记求概率公式，掌握三角形的三边关系是解答的关键．
题型02 放回问题
例1（2025·重庆八中·二模）从，0，，中随机取一个数，放回后再从中随机取一个数，则两个数均为有理数的概率是______．
【答案】
【详解】解：根据有理数的定义，可知，，是有理数，是无理数，即四个数中有理数共个，
可画树状图为：
由树状图可得，一共有16种等可能性的结果数，其中两个数均为有理数的结果数有9种，
∴两个数均为有理数的概率是．
【变式1】（2025·重庆大渡口区·一诊）桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：疯，狂，的，数，学，把这五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字放回，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率是 ________．
【答案】
【详解】解：根据题意，列表如下：
共有25种等可能的结果，其中两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果有：（数，学），（学，数），共2种，
∴两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率为．
故答案为：．
【变式2】（2025·重庆一中·二模）在一个不透明的袋子里装有个分别标有数字，，的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之积是奇数的概率为______．
【答案】
【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2）
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练画出树状图或列表是解题的关键．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次记下的数字之积是奇数的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画出树状图，
共有种等可能的结果，其中两次记下的数字之积是奇数的有种，
∴两次记下的数字之积是奇数的概率为，
故答案为：．
【变式3】（2025·重庆·二模）有四张完全一样正面分别写有汉字“我”“爱”“重”“庆”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，求抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是__________．
【答案】/
【来源】2025年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学试题预测卷（二）
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下，
共有16种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同，有4种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故答案为：．
【变式4】（2023·重庆万州二中·模拟）在四张不透明的卡片中分别标有数字，，，，从中任取一张记下数字后放回，洗匀后再取一张记下数字，则两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为______ ．
【答案】/0.625
【来源】2023年重庆市万州二中教研片区中考数学联考模拟预测题
【分析】本题考查列表法与树状图法，有理数加法．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸到的卡片上的数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
，
共有种等可能的结果，两次摸到的卡片上的数字之和分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两次摸到的卡片上的数字之和为正数的结果有种，
两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为．
故答案为：．
题型03 不放回问题
例1（2025·重庆巴蜀中学·二模）中国古代的四大名著又称四大小说，是指《三国演义》《西游记》《水浒传》及《红楼梦》四部中国古典章回体小说，是汉语文学中不可多得的作品若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《西游记》和《水浒传》的概率为______．
【答案】
【来源】广东省东莞市万江区翰林实验学校2024—2025学年下学期九年级数学中考模拟训练卷
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求等可能事件的概率，掌握相应方法是解题的关键．用画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好是西游记和水浒传的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记三国演义西游记水浒传及红楼梦分别为、、、，根据题意，画树状图如下：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是西游记和水浒传的结果有种，
抽取的两本恰好是西游记和水浒传的概率是．
故答案为：．
【变式1】（2025重庆铜梁·模拟）有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，，，将这四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，不放回再抽一张，卡片上的数字记为，则与的积为正数的概率是______ ．
【答案】
【来源】2025年重庆市铜梁区九年级中考数学质检模拟预测题
【分析】本题考查树状图法求概率，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，从中找出符合条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中与的积为正数的结果有种，
与的积为正数的概率是，
故答案为：．
【变式2】（2024·重庆巴蜀中学·一模）一个袋子中有两个黄球，一个红球，任意摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次摸到都是黄球的概率为____________．
【答案】
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有6种，其中，两次摸到都是黄球的结果有2种，
∴两次摸到都是黄球的概率为，
故答案为：．
【变式3】（2024·重庆巴蜀中学·二模）现将正面分别标有“1”“2”“3”“4”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的概率是______．
【答案】
【详解】解：画出树状图如下：
一共有种情况，两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的有种情况，
∴两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的概率是，
故答案为：
【变式4】（2024·重庆市渝北区·指标到校）《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》是中国古代的数学名著．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是________．
【答案】
【来源】2024年重庆市渝北区九年级指标到校数学试题
【分析】本题考查了列举法求概率．正确画树状图是解题的关键．
根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：记《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》分别为，
依题意画树状图如下；
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》共有2种等可能的结果，
∴抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是，
故答案为：．
题型04 跨科学相关概率问题
例1（2025·重庆珊瑚中学·中考模拟）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为__________．
【答案】
【来源】重庆市珊瑚中学2025年中考数学模拟试卷
【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为．
故答案为：．
【变式1】（2025·重庆·模拟）化学实验课上，每个学生需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验中以抽签的方式随机选取1个，则甲、乙两人抽中同一个实验的概率为______．
【答案】
【来源】2025年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试卷
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：将“二氧化碳的实验制取与性质”，“粗盐的提纯”，“溶液的配置”三个实验分别记为，，，画树状图如图所示：
∵由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两人抽中同一个实验的情况有3种，
（甲、乙两人抽中同一个实验）．
故答案为：．
【变式2】（2025·重庆育才中学·二模）有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“，，，”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则上面书写的符号是金属元素的概率是______．
【答案】/0.5
【详解】解：化学元素符号“，，，”中金属元素符号的为“，”，
∴摇匀后随机抽取一张，书写的符号是金属元素的概率是，
故答案为：．
【变式3】（2025·重庆巴蜀中学·二模）化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）小巴同学分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则他所选金属能置换出氢气的概率是___________．
【答案】
【详解】解：∵、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气．
∴他所选金属能置换出氢气的概率是，
故答案为：．
【变式4】（2025·重庆南开中学·二模）在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是___________．
【答案】
【详解】解：∵一共有3张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，且化学变化（火柴燃烧）的卡片有1张，
∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是，
故答案为：．
题型05 概率与函数综合
例1（2024·重庆育才中学校·二模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字－1，－2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数与函数没有交点的概率是_______．
【答案】/0.25
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中a，b使得函数与函数的交点在第一，三象限的有(a=1，b=1；a=1，b=2；a=2，b=1；a=2，b=2)4种，
∴函数与函数的交点在第一，三象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式1】（2024·重庆南开中学·一模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字-1，-2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数与函数的交点在第一，三象限的概率是__________．
【答案】
【详解】函数与函数的交点在第一，三象限
，，
列表如下：
根据列表可得共有16种等可能结果，其中的结果有4种，则
函数与函数的交点在第一，三象限的概率是
故答案为：
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，列表法求概率，掌握函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2024·重庆忠中教育联盟·一模）现有三张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，则点在函数图象上的概率为______．
【答案】
【详解】解：画树状图为：
∵共有9种等可能的结果数，其中点函数的图象上的有3种，
∴点在函数的图象上的概率是，
故答案为：．
【变式3】（2024·重庆江北十八中·二模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字、、、，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图像不经过第二象限的概率是______．
【答案】/
【详解】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果
∵当，时，函数的图像不经过第二象限
∴满足条件的结果有种
故函数的图像不经过第二象限的概率是：
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值．熟记相关结论即可．
【变式4】（2023·重庆八中宏帆初中·一模）若从，0，1三个数中随机选取一个数记为k，再从，0，2个数中随机选取一个数记为b，则k，b的取值使得是一次函数且它的图象不过第二象限的概率是___________．
【答案】
【详解】解：根据题意画图如下：
一次函数的图象不过第二象限，
，
结合树状图可知，一次函数的图象不过第二象限有2种可能，
共有9种等可能的情况，
一次函数的图象不过第二象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是能正确画出图表．
题型06 概率与方程综合
例1（2023·重庆忠县花桥中学·二模）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣2，0，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 _____．
【答案】
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
，且，
即，且，
，且，
画树状图如下：
由此知，共有16种等可能结果，其中且的有4种结果，
所以方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为．
故答案为：．
【变式1】（2025·重庆八中·中考一模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 _____．
【答案】
【详解】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
【变式2】（2024·重庆渝中·二模）从，0，1，2这四个数中任取一个数，作为关于x的方程中a的值，则该方程有实数根的概率为_________．
【答案】/0.75
【详解】解：∵当且，一元二次方程有实数根
∴且
当a=0时，方程有实数根
从，0，1，2这四个数中任取一个数，符合条件的结果有，0
所得方程有实数根的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查了列举法求概率，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2025·重庆凤鸣山中学·一模）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________．
【答案】
【来源】重庆市凤鸣 山中学2025-2026学年九年级上学期数学月考试卷
【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键．
先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当，即时原分式无解，
∴使关于x的方程有整数解的：，1，2；
∵，
∴，解得：，
∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解，
∴或，
∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有，
∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：．
故答案为：．
【变式4】（2024·重庆万州岩口复兴学校·一模）已知关于x的方程，如果从，，0，1，2五个数中任取一个数作为此方程的a，那么所得方程有实数根的概率是_________．
【答案】
【详解】解：当，即时，方程为，解得，此时方程有实数根，
当时，即时，
∵方程有实数根，
∴，
解得且，
∴当时，方程有实数根，
∴满足条件的a有，，0三个数，
∴所得方程有实数根的概率是．
故答案为：．

（20分钟限时练）
1．现有四张正面分别标有数字，，0，1的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，随机抽取2张，将上面的数字分别记为m和n，则使得代数式是奇数的概率为________．
【答案】
【分析】先画出树状图，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：画出树状图，如图所示，
一共有12种可能出现的结果，，，，，符合题意的有8种，
所以代数式是奇数的概率为．
2．一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______．
【答案】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、，
列表可得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种，
∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为，
故答案为：．
3．在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_________
【答案】
【分析】本题考查了概率的求法， 用红球的个数除以球的总数即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，
∴摸出的球是红球的概率为．
故答案为：．
4．某校为培养学生的数学素养，开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味 课程，小琳和小玲从这四门课程中各随机选择一门学习，则她们选择相同课程的概率是__________．
【答案】
【分析】本题主要考查运用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
根据题意，列表确定所有等可能结果数以及她们选择相同课程的情况数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味课程，分别用A、B、C、D表示，
根据题意列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，她们选择相同课程有4种结果，则她们选择相同课程的概率是．
故答案为．
5．春节档上映的《哪吒之魔童闹海》收获了超高票房与口碑，掀起了一阵哪吒热潮，深受大众追捧．周末小光和小花一起去商场购买卡通贴纸，两人分别从“哪吒”“敖丙”“太乙真人”三款卡通贴纸中随机选择一款，则两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的概率是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了列举法求概率，分别记“哪吒”“敖丙”“太乙真人”三款卡通贴纸为A，B，C，根据题意画树状图，据此即可获得答案．
【详解】解：分别记“哪吒”“敖丙”“太乙真人”三款卡通贴纸为A，B，C，画树状图如答图，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的结果有1种，
∴P（两人恰好同时选中“哪吒”贴纸）．
故答案为：．
6．不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为__________
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式，用黑球数除以总球数即可得到答案．
【详解】解：不透明的袋子中共有3个球，其中有1个黑球，
所以，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为，
故答案为：．
7．小明有款式相同而颜色不同的2双手套，放在一个抽屉里，小明从中随机拿出两只（每只手套被拿出是等可能性的），刚好是颜色相同一对手套的概率是__________．
【答案】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
设其中一对手套分别为a，；另一对手套分别为b，，然后根据题意画树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与恰好能配一对的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：设其中一对手套分别为a，；另一对手套分别为b，．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好能配成一对的有4种情况，
∴恰好能配成一对的概率是：＝，
故答案为：．
8．甲同学决定中考后从七月的4个星期六和八月的5个星期六中，随机选择一天观看“魅力重庆”无人机灯光秀，甲同学选择的时间在七月的概率为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用7月份的星期六天数除以七月和八月两个月的星期六的天数综合即可得到答案．
【详解】解：由题意得，甲同学选择的时间在七月的概率为，
故答案为：．
9．中国人是“龙的传人”，龙、凤凰、麒麟、龟并称“四瑞兽”．小王与小李都从“四瑞兽”中随机选择一个瑞兽进行绘画创作，他们所选瑞兽相同的概率为______．
【答案】
【分析】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小王与小李都从“四瑞兽”中随机选择一个瑞兽进行绘画创作的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：分别记龙、凤凰、麒麟、龟为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小王与小李从“四瑞兽”中随机选择一个瑞兽进行绘画创作的结果有4种，
∴甲、乙两人都在同一检测点进行检测的概率是 ，
故答案为：．
10．为了丰富学生的课外活动，某中学开设了多种兴趣小组．其中，两名学生想从摄影、舞蹈、编程、书法中选报一个兴趣小组．两名学生恰好选报同一个兴趣小组的概率为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键．
先根据题意列表求得所有等可能情况数以及两名学生恰好选报同一个兴趣小组的情况数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：分别记摄影、舞蹈、编程、书法为A、B、C、D，
根据题意列表如下：
由列表可知：共有16种等可能结果，其中两名学生恰好选报同一个兴趣小组的情况数为4，则两名学生恰好选报同一个兴趣小组的概率为．
故答案为：．近三年：
2023 四张卡片（“清”“风”“朗”“月”），放回抽取两次，求汉字相同的概率 放回型两次抽取 1/4 2024 甲、乙两人从A、B、C三个景点中随机选择，求同时选B的概率 两人同时选择（可视为放回） 1/9 2025 袋中有1个红球、3个白球，随机摸出1个球，求摸出红球的概率 单一事件概率 1/4
2026年中考复习备考方向与策略建议
1. 掌握两种基本模型： · 单一事件概率：概率 = 目标结果数 / 总结果数（如2025年真题） · 两次抽取概率：分清放回（每次独立）与不放回（每次影响下次），熟练运用列表法和树状图法 2. 注意区分关键词： · “放回后再次抽取”——两次独立，分母不变 · “不放回”——两次相关，分母递减 · “两人同时选择”——本质等同于放回型 3. 规范答题格式：概率结果务必约分为最简分数，如1/4不能写成2/8。 4. 关注情景创新：虽然模型基础，但题干可能结合体育比赛、文创产品等新情境，需快速提取关键信息。
解题策略
主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键
1
-2
4
-8
1
-2
4
-8
-2
-2
-8
16
4
4
-8
-32
-8
-8
16
-32
解题策略
考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
疯
狂
的
数
学
疯
（疯，疯）
（疯，狂）
（疯，的）
（疯，数）
（疯，学）
狂
（狂，疯）
（狂，狂）
（狂，的）
（狂，数）
（狂，学）
的
（的，疯）
（的，狂）
（的，的）
（的，数）
（的，学）
数
（数，疯）
（数，狂）
（数，的）
（数，数）
（数，学）
学
（学，疯）
（学，狂）
（学，的）
（学，数）
（学，学）
我
爱
重
庆
我
我我
我爱
我重
我庆
爱
爱我
爱爱
爱重
爱庆
重
重我
重爱
重重
重庆
庆
庆我
庆爱
庆重
庆庆
解题策略
考查树状图法求概率，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，从中找出符合条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．不放回问题需要注意不能两次选择同一个。
解题策略
主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．还需注意其他学科的基础知识掌握。
解题策略
考查了一次函数和反比例函数的性质，利用列表法求概率，掌握函数的性质是解题的关键。
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解题策略
主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键．
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
同学1
同学2
A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D