2026年广东中考数学二轮复习 热点03 一次函数与反比例函数图象(热点专练)(广州专用)

这是一份2026年广东中考数学二轮复习 热点03 一次函数与反比例函数图象(热点专练)(广州专用)，共37页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 一次函数的图象和性质
题型02 反比例函数的图象和性质
题型02 反比例函数K值的几何意义
题型04 一次函数与反比例函数图象问题
题型05 一次函数与反比例函数交点问题
题型06 一次函数的实际应用问题
题型07 一次函数与反比例函数的应用
题型08 反比例函数与几何图形的综合
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 一次函数的图象和性质
例1（2025·广东广州·一模）下列函数中，值随值的增大而减小的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意；
B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、，，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、，，，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
例2（2025·广东广州·二模）下列函数中，值随值的增大而增大的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，∴当时，的值随值的增大而增大，故本选项符合题意；
B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，，故本选项不符合题意；
D、，，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1】（2024·广东广州·三模）下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意；
②，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
③，当时，随的增大而增大，符合题意；
④，当时，随的增大而增大，不符合题意，当时，随的增大先减小后增大，不符合题意，
综上所述符合题意的有：②③，
故选：B．
【变式2】（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（ ）．
A．函数图象经过点B．随的增大而增大
C．当时，D．函数图象不经过第一象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．
【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；
B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；
C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意
D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．
【详解】A、当时，，
一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意；
B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意
C、，
随的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；
故选：D．
题型02 反比例函数的图象和性质
例1（2026·广东广州·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小．
【详解】解：反比例函数中，，
函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
，
点、都在第三象限的函数图象上，
．
例2（2025·广东广州·二模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当时，反比例函数的图象位于第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式1】（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．
【详解】解：确定k的符号：
由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数．
∵反比例函数的图象位置由的符号决定：
当时，图象位于第一、三象限；
当时，图象位于第二、四象限．
因为负数，故图象在第二、四象限．
综上，正确答案为选项C．
故选：C
【变式2】（2024·广东广州·二模）反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的减小而增大，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∴，
∴，
故选：B．
【变式3】（2023·广东广州·一模）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质．根据反比例函数的图象位于二、四象限，则，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
．
故选：C．
题型03 反比例函数K值的几何意义
例1（2024·广东广州·模拟预测）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，根据条件易证，利用面积比等于相似比平方可得，继而可求出k值．
【详解】解：∵矩形的面积是6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数图象上，
∴．
故选：D．
例2（2023·广东广州·一模）在矩形中，顶点在第一象限且在反比例函数上，与轴交于点，且．与轴负半轴的夹角的正弦值为，连接，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值．
【详解】过点作轴于点，
四边形是矩形，
，
，
轴，
，轴，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
【变式1】（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
【变式2】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，四边形是矩形；
∴，
∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；
如图，连接，
∵轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小，则最小，
设，
∴，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
如图，设平移距离为，
∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④
题型04 一次函数与反比函数图象问题
例1（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意；
B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意；
C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意；
D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意；
故选：B．
例2（2025·广东广州·一模）函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
分和两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项，
故选：B．
【变式1】（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意；
当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项．
故选：A．
【变式2】（25-26九年级上·广东清远·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限；
若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限．
故选：A．
【变式3】（2006·广东深圳·中考真题）反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像所在的象限与系数的关系，关键在于熟练掌握两种函数的性质．
首先由反比例函数y＝的图像位于第二、四象限，得出，则，得到一次函数图像经过第二，四象限且与y轴正半轴相交．
【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限，
∴，
∴，
∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴，
∴一次函数的图像过一、二、四象限．
故选：C．
题型05 一次函数与反比例函数交点问题
例1（2024·广东广州·二模）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点是轴上一点，若，求点的坐标；
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合．
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得点D的坐标，进而根据列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：将代入
解得：，
∴
将代入得
∴，
将，代入
∴
解得：
∴
（2）解：连接
设，
对于，当，
∴
∵
即
解得：或
∴或
例2（2025·广东广州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
【答案】(1)1；
(2)4或14
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质：
（1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
【变式1】（2026·广东广州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，求的面积
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围；
（3）求出C点的坐标，从而求出的面积．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
，
将点，代入直线中得，
，
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可知，不等式的解集是或；
（3）解：设与x轴交于点C，
令，得，
解得，
，
，
．
【变式2】（2025·广东广州·一模）如图，已知直线过点，且与直线相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当且时，自变量的取值范围是______；
(3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先求出，然后利用待定系数法即可求解；
（）由题意得，然后解出不等式组即可；
（）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
把和点代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵且，
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）解：联立方程组，得，
解得（舍去）或，
∴另一个交点B的坐标为，
如图，作轴于点E，轴于点，
∴，，，，
∴．
【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案；
（2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题；
（3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：过点作轴于，

对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
，
解得，
点在直线下方的双曲线上，
，
当时，，
；
（3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
题型06 一次函数的实际应用问题
例1（2025·广东广州·三模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)试求出关于的函数表达式．
(2)经过市场调查，经销商发现每日该种鱼销售量不超过，请问该经销商最低能将售价定为多少元？
【答案】(1)
(2)经销商最低能将售价定为40元
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；
（2）代入，可得出关于x的一元一次不等式，求解取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为
（2）当时，，
解得：，
∴x的最小值为40．
答：该经销商最低能将售价定为40元．
例2（2025·广东广州·三模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：
(1)若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
(2)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
(2)租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键．
（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得，然后解方程即可；
（）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可．
【详解】（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
答：租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
（2）解：租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
答：当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
【变式1】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？
【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元
(2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元
【分析】设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据，两种组合的进价，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过件，列出关于的一元一次不等式，解之得出的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件组合的销售利润准备数量每件组合的销售利润准备数量，列出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元；
（2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，
根据题意得：，
解得：，
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
【变式2】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求滑动变阻器的最大电阻；
(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
【答案】(1)．
(2)学校买这批仪器至少要花费670元．
【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值．
（1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻．
（2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小 ），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费．
【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知：，解得：，
总费用，即，
∵，∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
【变式3】（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．
(1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)选用A种食品3包，B种食品2包
(2)选用A种食品3包，B种食品4包
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用A种食品3包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得，
∴，
设总热量为，则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，
∴，
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
题型07 一次函数与反比例函数的应用
例1（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
【答案】(1)，
(2)有效制冷时间是9分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可；
（2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解．
【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为，
由图象可知，点在函数图象上，
，
解得，，
当时的反比例函数关系式为．
当时，，
解得，；
（2）解：当时，，
解得：，
设当时的一次函数关系式为，
由图象可知，点，点在函数图象上，
则，
解得：
当时的一次函数关系式为，
当时，，
解得，，
（分钟）．
答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟．
例2（2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设正比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由可得，当时，，
由可得，当时，，
由函数图象可得，当时，，
∵，
∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室．
【变式1】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）;
(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？
【答案】(1)
(2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可．
【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为．
把代入，得．
关于的函数表达式为．
（2）试销6天共销售苹果千克
苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，
销售10天后，还剩下苹果（千克）．
由，得．
把代入中得，
，随的增大而减小，
当时，，
新的售价最高可以定为6元/千克，
答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完．
【变式2】（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
(2)当时，求机器温度与时间的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度在以上持续时间．
【答案】(1)60、140
(2)
(3)12分钟
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）根据图象，列出算式进行计算即可；
（2）分和两种情况，待定系数法求出解析式即可；
（3）求出反比例函数的解析式，将为，依次代入及中，求出对应的的值，作差即可．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：60、140；
（2）由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，分别解得、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
【变式3】（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
（1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可；
（2）将代入得，求出，得到函数的解析式为；
（3）设，连接，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
题型08 反比例函数与几何图形的综合
例1（2025·广东广州·二模）如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4，
(1)求A点坐标；
(2)连接，求平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答；
（2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得．
【详解】（1）解：根据题意：，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵平行四边形中，点的纵坐标为4，
∴点A的纵坐标为1，
∴，
∴；
（2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则，
∵，
∴，
∴，
∴
．
例2（2025·广东广州·二模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)， 点E坐标为
(2)15
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设点D的坐标为，点E坐标为，证明，可得，即，求出 或32（不合题意，舍去），则点D的坐标为，点E坐标为，求出，，即可解答．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．
（2）∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
【变式1】（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简T；
(2)如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查分式的化简求值以及反比例函数（）中的几何意义．解题关键在于熟练运用分式运算规则进行化简，准确利用反比例函数的性质确定的值，再代入求值．
（1）先对进行通分计算，再根据除法运算法则，将除法转化为乘法进行化简．这一步主要依据分式的基本运算规则，通分是为了将两个分式化为同分母分式进行减法运算，除法变乘法是利用除以一个数等于乘以它的倒数这一规则．
（2）利用反比例函数中的几何意义，由矩形的面积得出的值，再结合函数图象所在象限确定的值，最后代入化简后的表达式求值．这里反比例函数（为常数，）中，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为 是关键知识点．
【详解】（1）解：
（2）解：∵反比例函数的图象经过点，矩形的面积为．
∴，即 ．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴，则．
把代入，得．
【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，平行四边形的顶点O与原点重合，边在x轴的正半轴上，且点，，反比例函数的图象经过对角线的中点D．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)已知线段的垂直平分线分别交，于点M，N．求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查作图基本作图、待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、线段垂直平分线的作法，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）由，可得，结合平行四边形的性质可得，进而可得，将的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案．
（2）由勾股定理及线段垂直平分线的定义可得，再结合已知条件证明，可得，求出的长，根据可得答案．
【详解】（1）解：，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点为的中点，
，
反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的表达式为；
（2）如图，连接，
，，
轴，，
由勾股定理得，，
为线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，即，
解得，
．
【变式3】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或
【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键．
（1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可；
（2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可．
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标，
设直线解析式为，
代入点坐标得：，
解得：，
直线解析式为：，
设， ，
当为平行四边形的对角线时，
得：，
即：，
解得：，
；
当为平行四边形的对角线时，
得：，
即：，
解得：，
；
当为平行四边形的对角线时，
得：，
即：，
解得：，
；
综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或．

（20分钟限时练）
1．（2025·广东广州·一模）反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
2．（2023·广东广州·一模）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．随的增大而减小B．图象与轴交点为
C．图象经过第一、二、四象限D．图象经过点
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：中，，
A. ，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B. 当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键．
3．（2023·广东广州·一模）对于反比例函数，下列说法错误的是( )
A．图象经过点B．图象位于第二、第四象限
C．当时，y随x的增大而减小D．当时，
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数，
A、当时，，图像经过点，故选项A不符合题意；
B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，故选项C符合题意；
D、∵当时，，时，
∴当时，当时，，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案．先求得点A的横坐标，观察函数图象得到在点A的左边部分的点的横坐标范围即可求解．
【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3，
∴将代入中，得，则，
∴，
由图象得，不等式的解集是，
故选：B．
5．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限；
结合选项可得出C选项正确．
故选C．
6．（2025·广东广州·二模）一次函数图象上有两点，，则______（填，，）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据，得随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
7．（2025·广东广州·模拟预测）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________ ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
根据题意得出一次函数的图象也经过点，进而根据待定系数法即可求得．
【详解】解；由题意可知，一次函数的图象也经过点，即，
∴，
解得：，
∴此函数表达式是，
故答案为：．
8．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______．
【答案】12
【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意．
联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解；
【详解】解：将代入得，
整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点，
，
或0（舍去），
故答案是：12．
9．（2024·广东广州·一模）如图，已知在直角三角形中，点 B的坐标为，将绕点O旋转至的位置，使点落在边上，点落在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
【答案】
【分析】由题意知，，则，与轴的夹角为，由旋转的性质可知，，，则与轴的夹角为，即关于轴对称，，将代入，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴与轴的夹角为，
由旋转的性质可知，，，
∴与轴的夹角为，
∴关于轴对称，
∴，
将代入，可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切，旋转的性质，轴对称，反比例函数解析式．根据题意确定点的坐标是解题的关键．
10．（2025·广东广州·二模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形函数、勾股定理，首先过点作轴，过点作轴，可得：，，根据正切的定义可知，从而可得：，设点的坐标是，则，根据勾股定理可得：、，所以可得．
【详解】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴，
当时，，
，
当时，，
解得：，
，
，
，
设点的坐标是，则，
，，
，
点的坐标是，
，，
，
．
故答案为：．
11．（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形；
（1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，
，
，
，
的坐标为，，
，，，
，
，
把代入，得：；
，
把，，代入，
得：，
解得：，
；
（2）解：存在；理由如下：
，当时，
∴
，
，
联立，，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
∴；
当时，
∴，
或．
12．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元
(2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．
（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，
解得，，
由题意知，，
∵，
∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
13．（2025·广东广州·二模）如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，．
(1)当，时，求的值；
(2)连接，若时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键；
（1），时，，设，进而表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解；
（2）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，表示出，同（1）的方法，表示出梯形的面积，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：当，时，
反比例函数为：
设其中，代入
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
（2）解：如图，
∵轴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴,
∴,
将，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：
14．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】(1)
(2)，见详解
(3)
【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把代入进行计算，得；
（2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象；
（3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵曲线过点．
∴；
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
15．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)__________米/秒，__________秒；
(2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)4；15
(2)
(3)6秒或秒
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．
【详解】（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
16．（2025·广东广州·二模）已知点在反比例函数的图象上．
(1)中，，，，求的面积；
(2)抛物线与轴交于两点（在的左边），与轴交于点．
①求点坐标；
②求抛物线顶点纵坐标取得最大值时的值，并求出此时的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)①；②当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，抛物线顶点坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握它们的图象与性质是关键．
（1）由题意得，根据三角形面积公式即可求得的面积；
（2）①在抛物线解析式中令，得，由即可求得点C的坐标；
②求出抛物线顶点纵坐标为，变形后即可求得最大值，从而求得m的值．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即；
∴；
（2）解：①对于，令，得，
∵，
∴，
∴；
②令，解得：，
即，
∴抛物线的对称轴为直线；
当时，抛物线顶点纵坐标，
∴，
∴当时，上式取得最大值，
此时，得或（舍去）；
此时抛物线顶点坐标为；
故当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，抛物线顶点坐标为．近三年：根据近三年广州中考试题，“一次函数与反比例函数图象”部分的考试方向是突出数形结合与综合应用。试题严格依据课标，高度关注两种函数图象的交点问题、位置关系以及函数值的大小比较，常结合几何图形或不等式综合考查。在题型上，该板块分布稳定：选择题常考查根据一次函数图象经过的象限判断系数符号，或正比例函数与反比例函数图象性质的综合辨析；填空题偶有涉及；解答题往往在第21-23题位置，结合三角形、四边形等几何图形，考查交点坐标、解析式求解及面积计算。特别值得注意的是，2024年第15题考查了反比例函数与分类讨论的结合。
预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在动态问题或跨学科情境中考查数形结合能力。试题可能进一步创新设问，例如将函数图象与物理知识融合。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现两种函数图象共存或性质辨析题；解答题大概率以“一次函数与反比例函数综合”形式呈现，考查交点坐标、不等式解集及几何图形面积，重在检验学生从图象中获取信息、解决综合问题的能力。
与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同.
解｜题｜策｜略
1. 根据系数判断图象：由k、b的符号决定图象所经过的象限（k>0时图象上升，k0时交y轴正半轴）。
2. 利用增减性比较：若k>0，y随x增大而增大；k0时在一、三象限；k0，在每个象限内y随x增大而减小；k0，二四象限k