2026年广东中考数学二轮复习 热点04 函数图象与数据拟合(热点专练)(广州专用)

这是一份2026年广东中考数学二轮复习 热点04 函数图象与数据拟合(热点专练)(广州专用)，共37页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 一次函数与数据的拟合
题型02 反比例函数与数据的拟合
题型03 二次函数与数据的拟合
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 一次函数与数据的拟合
例1（2025·广东广州·一模）某食用油的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油在特定条件下均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
(1)根据以上信息，判断油温y（单位：）与加热的时间t（单位：）可能是________函数关系（填写：“一次”或“二次”或“正比例”或“反比例”），并求出y与t的函数解析式；
(2)当加热时，油沸腾了，求出此时的油温．
【答案】(1)一次；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用． 能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可，并运用待定系数法求解即可；
（2）把代入函数关系式，求出函数值即可．
【详解】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，故可知可能是一次函数关系；
设这个一次函数的解析式为
当时，；当时，；
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，
答：当加热时，油沸腾了，此时的油温为．
例2（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】(1)
(2)，见详解
(3)
【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把代入进行计算，得；
（2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象；
（3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵曲线过点．
∴；
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为….
【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】
(1)由题意可知：、；、；、；则 、 ；
(2) ；
(3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.
【答案】(1)15；8
(2)
(3)的值不能等于．理由见解析
【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键．
(1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答；
(2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可；
(3)根据规律计算出n的值，即可得知结果．
【详解】（1）解：∵，，，，，，
……
∴根据规律发现,，
∴，，
故答案为：15；8．
（2）解：∵，，
，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
∵，
，
∵n不是整数，
∴的值不会等于．
【变式2】（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
(1)求，两地之间的距离及的值；
(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？
【答案】(1)s的值为12，a的值为1.5
(2)，图象见解析
(3)两机器人出发2秒或5秒时相距1米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
【详解】（1）解：A，B两地之间的距离（米），
根据题意，得，
解得，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）解：前4秒时，，
当时，，
则后2秒时，，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
其图象如图所示：
（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
题型02 反比例函数与数据的拟合
例1（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
（1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可；
（2）将代入得，求出，得到函数的解析式为；
（3）设，连接，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
例2（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
(1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
(2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)增大
(3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解；
②依据题意，根据表格数据描点即可得解；
（2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解．
【详解】（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案．
项目主题：探秘饮水机工作程序
项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习．
驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？
设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题．
实施方案：
（1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．
按照方案展开调查，收集了如下数据．
（2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”）
（3）解决问题：
①第一次加热过程中与的函数表达式为___________；
第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________；
②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______．
【答案】（）画图见解析，一次，反比例；（）①，；②
【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解；
（）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：（）画图如下：
由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数，
故答案为：一次，反比例；
（）解：①设一次函数表达式为，把，代入得，
，
解得，
∴第一次加热过程中与的函数表达式为，
设反比例函数表达式为，把代入得，，
∴，
∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为，
故答案为：，；
②把代入得，，
解得；
把代入得，，
∴；
∵，
∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为，
故答案为：．
【变式2】（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：

(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：

②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，

由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
题型03 二次函数与数据的拟合
例1（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】(1)米
(2)
(3)米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答．
（2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答．
（3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
例2（2025·广东深圳·二模）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
(1)建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求的值．
验证：把的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
(2)应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米．
【答案】(1)③见解析；④二次；⑤，；
(2)32，1．
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，画二次函数图象，求二次函数值，
对于（1），先根据表格描点，并连线，可得图象，再判断其为二次函数，然后将两个点的坐标代入关系式，求出解即可；
对于（2），将代入关系式求出答案，再令时求出s，可得解．
【详解】（1）解：③根据题意连线如下：
④二次；
⑤解：把和代入．
可得，
∴，
∴函数解析式为；
（2）解：32，1.
由题意，当时，，
∴．
∴最后2秒钟，即当时，；又当时，，
∴（米）．
故答案为：32，1．
【变式1】（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2）；
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离
（4）
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可；
（4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与的函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）当时，
解得：．
将代入得：
．
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．
（4）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）项目式学习
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形（BundingBx）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．

【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．

（2） 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】

如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

【应用拓展】
（1）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
（2） 据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
【答案】【概念理解】（1）；（2）；【联系实际】；【应用拓展】（1）个，；（2）
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，待定系数法，二次函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解目标矩形和纵横比．
概念理解：（1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比；
（2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段的目标矩形纵横比；
联系实际：由最高点C与水面的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得；
应用拓展：（1）抛物线，得与横轴交点，，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂6个；
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可．
【详解】解：概念理解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比；
故答案为：1；
（2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比；
故答案为：；
联系实际：如图：

∵最高点C与水面的距离为5米，
∴，
∵抛物线目标矩形的纵横比，
∴，
∴，
∵抛物线关于y轴对称，
∴，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得，
∴；
应用拓展：
（1）相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称，如图2，

∴，
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
∵最左侧位于拱面上方处，
∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为．
（2）如图3，当水位达到最高时，水位线为．

∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
∴当时，，，，
在中，由勾股定理得：．
答：救生绳至少需．

（20分钟限时练）
1．（2025·广东广州·二模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，自身重量为的机器狗，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重质量时，它的最快移动速度；当其载重质量时，它的最快移动速度．则这个机器狗的自身重量___________．
A．10B．11C．12D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，根据题意可得，解之即可得到答案，
【详解】解；设，
∵一款机器狗（如图所示）载重质量时，它的最快移动速度；当其载重质量时，它的最快移动速度，
∴，
解得（已检验，符合题意），
故选：A．
2．（2025·广东广州·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度__________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，由函数与方程的关系，通过待定系数法求出关系式，将代入函数解析式求解即可．
【详解】解：设与体积的函数解析式为，将代入，
得，
解得，
，
将代入，得，
故答案为：6．
3．（2025·广东·二模）【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
(1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
(2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
(3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出解析式并利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案；
（3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
4．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．
(1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；
(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？
【答案】(1)1.2
(2)①；②该行对应的视力值是
【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
（1）由轴对称的性质即可得到答案．
（2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案．
【详解】（1）解：（米），
∴测试线应画在距离墙的米处；
（2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7，
∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
设，
把，代入得到，
∴视力值V与字母宽度a的函数关系是，
②把，代入，得，
∴该行对应的视力值是．
5．（2025·陕西咸阳·二模）物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据：
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）
(2)根据以上判断，求关于的函数表达式；
(3)当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量是多少千克？
【答案】(1)图见解析，一次
(2)
(3)当弹簧长度为时，所挂物体的质量为
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意得到二者成一次函数关系是解题的关键。
（1）根据表格中的数据，在坐标系中描点，再根据这些点在一条直线上即可得到答案；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出当时x的值即可得到答案.
【详解】（1）解：描点如下：
由图象可知，这些点在一条直线上，故二者可能是一次函数关系；
（2）解：设关于的函数表达式为．
将点代入，得，解得．
∴关于的函数表达式为．
（3）解：当时，，解得．
答：当弹簧长度为时，所挂物体的质量为．
6．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【答案】（1）见解析 ；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题：
（1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）令，求出x的值，即可求解．
【详解】解：（1）画出函数图象，如下：

（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为．
点、在该图象上
，解得，
与之间的函数表达式为．
（3）当时，即，
解得：，
则
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午．
7．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解；
（3）将代入代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
8．（23-24九年级上·浙江温州·月考）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，．
通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．
(1)求h关于s的函数表达式．
(2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
(3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
【答案】(1)
(2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析；
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）计算出当时h的值即可得到答案；
（3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
（2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
（3）解：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
9．（2025·广东深圳·模拟预测）我校九年级学生去游乐园进行春游，在过山车项目排队时，小明发现过山车的轨道可近似看出多个函数图象的组合．活动结束后，数学老师给同学们提出如下问题：如图是水上过山车的示意图，

如图1，段为直滑道，段、段为平行滑道，、分别为冲刺顶点，段为抛物线的一部分，为抛物线顶点，段为双曲线的一部分，其中冲刺顶点离地距离，冲刺顶点离地距离，水面高度为，为抛物线和水面的接触点，，，，，
(1)求抛物线解析式和点E坐标．
(2)出于安全需求，游乐园在抛物线轨道和双曲线轨道离地高12米处添加纵向加固杆进行加固，请求出每条加固杆离出发点的水平距离（，结果保留一位小数）．
(3)过山车冲入水面时，水花会向四周飞溅，为确保游客安全，游乐园计划将冲刺顶点向下调整至，使仰角降低至，．如图2所示，请求出的正切值（，，）
【答案】(1)，；
(2)加固杆离出发点的水平距离分别是，，；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的应用，反比例函数，一元二次方程，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意得出．结合抛物线顶点坐标，设抛物线解析式，求出解析式，把代入求解即可．
（2）分别把代入抛物线和反比例函数解析式求解即可．
（3）把代入求出，根据，设且过，求出，求出，
，再求出即可．
【详解】（1）解：，，
．
抛物线顶点坐标，
设抛物线解析式且过，
由题意得，解得，
，
把代入得，，
在抛物线右侧，
．
（2）解：由题意得，把代入得，
解得，
即，，
把代入得，
加固杆离出发点的水平距离分别是，，．
（3）解：把代入得，
，
，
设且过，
则，解得，
，
由题意可得，，
对于来说，
当时，
，
．
10．（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究
【问题情境】
甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系．
【问题解决】
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表：
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________；
②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网；
【综合应用】
（2）根据表格数据，求出二次函数的解析式；
（3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②能（2）（3），理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．
（1）①利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可解题；
②根据图象和二次函数性质推出，再结合题干条件分析，即可解题；
（2）由（1）得到的顶点，再选择表格中的一组数据代入解析式求解，即可解题；
（3）当时，分别代入（2）、（3）中的解析式中求出和，再进行比较，即可解题．
【详解】解：（1）①由表格可知，当和时，，
二次函数对称轴为直线，
当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是，
故答案为：；
②当时，，当时，，
当时，，
，
羽毛球能过网；
故答案为：能；
（2）解：当时，，
，
，
过点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（3）解：当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
，
．近三年：根据近三年广州中考试题，“函数图象与数据拟合”部分的考试方向是突出数学建模与应用意识。试题严格依据课标，高度关注从实际情境中提取数据、选择函数模型、拟合图象并解决实际问题的能力。最典型的考查是2024年第23题，以“身高与脚长的近似函数关系”为背景，要求学生根据表格数据描点、从一次函数和反比例函数中选择合适模型并求出解析式，进而进行预测应用。在题型上，该板块通常以解答题形式在第21-23题位置出现，完整经历“数据呈现—模型选择—函数拟合—实际应用”的全过程。
预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查模型观念。试题可能进一步创新数据来源，如结合物理实验、体质健康或本土经济数据设计问题。考试题型预计保持稳定：解答题大概率继续以“数据分析+函数拟合”形式呈现，要求学生根据散点图选择合适的函数模型（一次函数或反比例函数），求出解析式并用于预测，重在检验学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的完整思维链条。
解｜题｜策｜略
1. 读取数据确定变量：从表格或实际问题中准确读取自变量与因变量的对应值，明确两者之间的函数关系。
2. 待定系数求解析式：选取两组对应值代入一次函数解析式y=kx+b，通过解方程组求出k、b的值。
3. 利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量，预测对应的函数值，或根据实际意义解释斜率和截距的含义。
时间
0
10
20
30
40
油温
10
30
50
70
90
解｜题｜策｜略
1. 确定函数模型：根据实际问题背景判断是否为反比例关系，常涉及物理（如压强与体积）、工程（工作量一定）等情境。
2. 待定系数求解析式：选取一组对应值代入设出的反比例函数解析式，求出k值，建立函数模型。
3. 利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量或函数值，预测对应的另一变量，解决实际问题。
…
10
16
20
25
40
50
…
…
8
5
4
3.2
2
1.6
…
0
1
2
3
4
5
6
7
．．．
2
1.5
1.2
0.75
0.6
．．．
通电时间（）
水温（）
…
1
3
4
6
…
…
4
3
2.4
2
…
解｜题｜策｜略
1. 待定系数求解析式：根据题目给出的三组对应值或图象上的三个点坐标，设出一般式、顶点式或交点式，通过解方程组求出二次函数解析式。
2. 结合实际建模型：根据实际问题背景（如抛物线形拱桥、喷泉、运动轨迹等）判断是否为二次函数关系，合理建立平面直角坐标系。
3. 利用解析式预测：将所求解析式代入新的自变量，预测对应的函数值，或根据顶点坐标求最值解决实际问题。
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角为，并查得：，
，
．
隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
（秒）
0
4
8
12
16
20
24
（米）
256
196
144
100
64
36
16
运动时间
0
2
4
6
8
10
运动速度
10
9
8
7
6
5
滑行距离
0
19
36
51
64
75
托盘B与点O之间的距离
10
20
30
40
托盘B中砝码的总质量
60
30
20
15
位置
视力值V
a的值（）
第1行
0.1
70
第5行
0.25
28
第8行
0.5
14
第14行
2
3.5
所挂物体质量/
0
10
20
30
40
50
弹簧的长度/
6
9
12
15
18
21
时间x（小时）
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度y（厘米）
6
10
14
18
22
脚长
…
…
身高
…
…
…
9
12
15
18
21
…
…
5
…
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
1
2.75
4
4.75
5
n
4