2026年北京中考数学二轮复习 专题01 实数及其运算(题型专练)

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 数轴
题型02 科学记数法
题型03 实数的运算
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 数轴
典例引领
【典例01】(24-25北京·朝阳区·一模)实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，不等式，理解并正确运用是解题的关键．
利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题．
【详解】解：由数轴可知，
A、因为，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意；
B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意；
C、因为，那么，所以故原说法正确，该选项不符合题意；
D、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
【典例02】(24-25北京·房山区·一模)实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：C．
方法透视
变式演练
【变式01】(24-25北京·东城区·二模)若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
【变式02】(24-25北京·北京师范中学·零模)实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值和相反数．有理数的乘法和加法，掌握相关知识点是解题关键．由数轴可知，，，再逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，，，
，
A、B、C选项错误，
故选：D．
【变式03】(24-25北京·海淀区·零模)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得出，据此逐个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：由数轴得出，
∴A选项不符合题意；
则，
∴B选项不符合题意；
∵，
则，
∴，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项符合题意，
故选：D
题型02 科学记数法
典例引领
【典例01】(24-25北京·人大附·零模)北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，2021年机场旅客年吞吐量达到15000000人次，到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍，2023年机场旅客年吞吐量为（单位：人次）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍即45000000人次，
∵，
故选：D．
【典例02】 (24-25九下·北京三帆中学·)据新华社报道：9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射了一发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．此次导弹发射，是火箭军年度军事训练例行性安排，有效检验武器装备性能和部队训练水平，达到了预期目的．此次发射的导弹的射程约为12000公里，最高时速可达马赫约为每小时30000公里，把最高时速换算成米的话得每小时米，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：30000公里米米．
故选：B．
方法透视
变式演练
【变式01】(24-25北京·十三分·三模)科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据1纳米等于米得75纳米，据此解答即可．
【详解】解：∵1纳米等于米，
∴75纳米，
即：．
故选：B．
【变式02】(24-25九下·北京二中教育集团·零模)在比例尺为的江苏省地图上，某条道路的长为．这条道路的实际长度用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例尺，科学记数法，熟练掌握比例尺，科学记数法是解题的关键
先计算实际长度，然后转换单位，再用科学记数法即可解答．
【详解】∵比例尺为，地图上的对应实际长度为：
用科学记数法表示为：
故选：C．
【变式03】(24-25北京·东城区·二模)某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C
题型03 实数的运算
典例引领
【典例01】(24-25北京·丰台区·一模)计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行求解即可．
【详解】解：
．
【典例02】(24-25九下·北京朝阳区人朝分实验学校·模拟)计算：．
【答案】
【分析】先计算绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，再进行加减计算即可．本题主要考查了实数的运算，绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：
．
方法透视
变式演练
【变式01】 (24-25九下·北京三帆中学·零模)计算：．
【答案】
【分析】先计算绝对值，负指数幂，三角函数和二次根式化简，再进行加减计算即可．
本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、负指数幂、特殊角三角函数和二次根式化简，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
【详解】解：原式
．
【变式02】(24-25九下·北京十一学校龙樾实验中学·模拟)计算：
【答案】
【分析】根据二次根式、三角函数值、零指数幂以及绝对值运算法则化简各项，再进行加减运算．本题主要考查了实数的综合运算，涉及二次根式的化简、特殊三角函数值、零指数幂的运算法则以及绝对值的化简．熟练掌握二次根式化简方法、特殊三角函数值、零指数幂公式（，）以及绝对值的性质（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）是解题的关键．
【详解】解：
【变式03】(24-25北京·朝阳区·二模)计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和二次根式的性质分别运算，再合并即可，掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
题●型●训●练
1．(24-25九下·北京三帆中学·零模)如图，数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，且满足，，则原点在（ ）
A．点A左侧B．点A点B之间（不含点A点B）
C．点B点C之间（不含点B点C）D．点C右侧
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解题关键．由已知条件可得，，，，即可确定原点位置．
【详解】解：由数轴可知：，
，，
，，，，
原点在点A点B之间（不含点A点B），
故选：B．
2．(24-25九下·北京十一中学·模拟)实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，的绝对值相等，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是绝对值、实数的性质、实数与数轴，解题关键是找到数轴上原点的位置．
根据题意推得、、、后，对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：依图得：，且，又，
，，，，
，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确．
故选：D．
3．(24-25九下·北京十一中学·三模)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
根据对应的点在数轴上的位置得到，然后逐一判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项错误；
∴，故D选项正确；
故选D．
4．(24-25北京·房山区·二模)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键．根据数轴可得，，进一步得出，，即可判断答案．
【详解】解：，
，
又，
，
选项正确，符合题意；
，
，
，
选项错误，不符合题意；
C选项错误，不符合题意；
D选项错误，不符合题意；
故选A．
5．(24-25北京·通州区·一模)已知数轴上有A、B两点，点B在点A的右侧，若点A、B分别表示数a、b，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（ ）
A．aB．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，由点B在点A的右侧确定是本题的关键．
因为点B在点A的右侧，所以，由，可得，所以，化简得，所以一定为负数．
【详解】解：由题意得，，
，即，
，
，
，
故选：C．
6．(25北京中考)党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，对于，将小数点向左移动位得到，因此．
【详解】解：，
用科学记数法表示为，
故选：．
7．(24-25北京·模拟)2024年4月16日，我国第一季度经济关键数据出炉，其中国内生产总值（）296299亿元，同比增长，296299亿元用科学记数法表示应为（ ）元
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】296299亿，
故选：D．
8．(24-25北京·门头沟区·二模)目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式．
根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数．
【详解】解：，
故选：D．
9．(24-25北京·丰台区·二模)据2024年中国国土绿化状况公报显示，我国森林蓄积量超200亿立方米，森林覆盖率超，将20000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
10．(24-25北京·第二十中·模拟)4月18日是国际古迹遗址日．《2024国家考古遗址公园运营报告》于2025年4月27日在第六届国家考古遗址公园文化艺术周开幕式现场发布．报告显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2024年全年接待游客总量达8871．58万人次，同比增长32%．将2024年全年接待游客总量用科学记数法表示约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，理科学记数法的表达形式的形式，其中，为整数是解答关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：．
故选：B．
11．(2024北京中考·模拟)计算：．
【答案】5
【分析】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
12．(24-25九下·北京石景山京源中学·模拟)计算：．
【答案】．
【分析】此题考查了实数的有关运算，涉及了二次根式，三角函数以及负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则．
首先计算开方、特殊角的三角函数值及绝对值、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
．
13．(24-25九下·北京汇文中学·三模)计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，然后再算乘法，最后算加减法．
【详解】解：
14．(24-25九下·北京中国人民大学附属中学·模拟)计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
15．(24-25九下·北京理工大学附属中学·三模)计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
考向解读
1.判断数轴上点的位置，能够求出相反数、绝对值，并且比较大小，是中考最常考题型。
2.辨别有理数乘积的正负，看负号的个数，奇负偶正。
3.熟练运用有理数加减法的运算法则。
方法技能
先确定原点位置，判断每个数字绝对值的大小，再进行比较；
两个数字作差，小减大结果为负，大减小结果为正。
考向解读
1.根据题干给的数据进行简单的计算，并且写为科学记数法的形式，是每年中考的必考题。
2.注意题目中单位的换算。
方法技能
科学记数法：
的数值看小数点的位置，左移几位就是几，右移几位是负几。
考向解读
需要掌握0次幂、负指数幂运算的公式，特殊的锐角三角函数值，绝对值、二次根式的化简，是每年中考的必考题。
方法技能
任意非零数的0次幂都为1.
负指数幂公式：