上海市虹口区2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷（含答案+解析）

这是一份上海市虹口区2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷（含答案+解析），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中，点7,−8所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.当多边形的边数由3逐渐增加到n时(n≥3,且为正整数)，这个多边形的外角和( )
A. 逐渐增加B. 逐渐减小C. 没有变化D. 增、减情况不确定
3.俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B3,1处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为( )
A. 4,7B. 5,6C. 5,7D. 7,5
4.如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是( )
A. 12和8B. 13和6C. 28和6D. 20和6
5.如图，菱形ABCD各边的中点分别为E，F，G，H，若四边形EFGH的面积为 2，则菱形ABCD的面积为( )
A. 2 2B. 4 2C. 6 2D. 4
6.下列说法正确的是( )
A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分
B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.正六边形的内角和为 度．
8.在平面直角坐标系中，点M(−3,4)到y轴的距离为 .
9.在平面直角坐标系中，已知两点M2,5、N−1,3，那么MN= .
10.在平行四边形ABCD中，∠A的补角与∠B互余，那么∠C的度数为 .
11.如图，如果“车”的坐标为−2,3，“马”的坐标为1,3，那么“炮”的坐标为 .
12.已知点Q关于y轴的对称点为2,y，关于x轴的对称点为x,−7，那么点Q的坐标为 .
13.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠AOD=120 ∘，那么∠OEC= .
14.如图，EF是△ABC的中位线，BG平分∠ABC，交EF于点G.已知AB=8，BC=14，则GF的长为 .
15.已知点A−2,3、B2,−1、C5,0，平行四边形ABCD的顶点D的坐标为 .
16.如图，矩形ABCD中，AD=4 2,E为AD上一点，将△EDC沿EC翻折，点D的对应点G恰好为△ABC的重心，那么DC= .
17.在平面直角坐标系中，对于平面任一点a,b，若规定以下三种变换：
①fa,b=−a,b，如：f1,3=−1,3；
②ga,b=b,a，如：g1,3=3,1；
③ℎa,b=−a,−b，如：ℎ1,3=−1,−3.
按照以下变换有：fg2,−3=f−3,2=3,2，那么fℎ5,−3= .
18.在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC 是“中垂三角形”，AD、BE、CF 是中线，∠DAB=30 ∘ ，AB=4 ，那么BC 的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标为A2,3、B−3,3、C−1,−1，试求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E，求△ABE的周长．
21.(本小题8分)
点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B.如果PA+PB=5，那么点P称为“好点”．例如：点M−1,4，因为−1+4=5，所以点M是“好点”．
(1)在点A2,−3、B−32,72、C−2,7中，“好点”是 .
(2)如果D2a,−5a是“好点”，求a的值．
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE=AB，如果∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
23.(本小题10分)
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺.无刻度的直尺不能度量，且无法画垂线、平行线，只能用来连线．
参考以上作法，请你在以下两题中只使用无刻度直尺和铅笔作图(保留作图痕迹)：
(1)如图3，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，请作出边AB的中点F；
(2)如图4，点A、点B、点C都是方格纸中的格点，作出△ABC的重心G.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A0,2，点B在x轴上．
(1)当点B在x轴正半轴，将点B绕点A逆时针旋转90 ∘后落在点C处，如果△ABC的面积为6，求点B的坐标；
(2)如果点D在直线y=−1上，AB=AD，且∠BAD=90 ∘，求点D坐标．
25.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，AB=6，对角线AC、BD交于点O，点P是边CD上一点(不与点C、D重合)，连接AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F.
(1)求证：AE=EF；
(2)连接CE、DF，当CE//DF时，求CF的长．
26.(本小题14分)
综合与实践
【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下：
(1)【知识运用】请根据上述过程，连接AB′、BB′、BE′，观察图1中∠1、∠2、∠3，试猜想这三个角的大小关系是 ；
(2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点N为边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B、P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B、P分别落在EF、BN上，得到折痕l，点B、P的对应点分别为B′、P′，展平纸片，连接BB′、P′B′.求证：BB′是∠NBC的一条三等分线；
(3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF，(其中，点E、F分别是边AB、CD的中点)，连接DE，将纸片沿DE翻折，使点A落在点A′处，连接EA′并延长，交边BC于点G，求证：CG:CB=1:3.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵点7,−8的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点7,−8在第四象限．
2.【答案】C
【解析】任意多边形外角和都为360度，据此可得答案．
【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为360 ∘，与边数多少无关，
∴当多边形边数由3增加到n时，这个多边形的外角和没有变化．
3.【答案】C
【解析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可．
【详解】∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B，
∴将点B3,1先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点A
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为5,7，
故选：C.
4.【答案】D
【解析】根据平行四边形的两条对角线互相平分和三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可．
【详解】解：平行四边形的两条对角线互相平分，即两条对角线的一半与平行四边形的一边可组成一个三角形，
设两条对角线长分别为x、y，则对角线的一半分别为x2、y2，平行四边形的一边长为10，
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：x2+y2>10、x2−y210，202−62=7PG ，这与垂线段最短相矛盾，
∴不存在CF⊥BE ；
综上，BC 的长为 19 或2 7 ．
故答案为： 19 或2 7 ．
19.【答案】解：∵A2,3，B−3,3，A和B的纵坐标相等，均为3，
∴AB//x轴，AB的长度为2−−3=5，AB所在直线为y=3，
∴点C到直线AB的垂直距离为3−−1=4，
∴S△ABC=12×5×4=10.

【解析】利用A、B纵坐标相同的特点，直接求出三角形的底和高，再用三角形面积公式计算．
20.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，AB=CD,AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴AB+CD+AD+BC=20，
∴2AB+2AD=20，即AB+AD=10；
又∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AE+BE+AB=AE+DE+AB=AD+AB=10.

【解析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，AB=CD,AD=BC，则根据四边形的周长公式可推出AB+AD=10；可证明OE垂直平分BD，得到BE=DE，据此根据三角形的周长公式求解即可．
21.【答案】【小题1】
A和B
【小题2】
解：∵D(2a,−5a)是“好点”，且点P不在坐标轴上，
∴|2a|+|−5a|=5，且a≠0，
分两种情况讨论：
①当a>0时，原式化简为2a+5a=5，即7a=5，
解得a=57；
②当a0和a0，已知A0,2，即OA=2，OB=b，
由旋转的性质得AB=AC，∠CAB=90 ∘，
∵△ABC的面积为6，
∴12AB×AC=12AB2=6，即AB2=12，
在△ABO中，由勾股定理得AB2=OA2+OB2=4+b2=12，
∴b=2 2 ，
∴点B的坐标为2 2,0；
【小题2】
解：设点B坐标为b,0，
∵点D在直线y=−1上，
∴点D坐标为d,−1，
∵A0,2，
∴AD2=0−d2+2+12=d2+9，AB2=b−02+0−22=b2+4，DB2=b−d2+0+12=b−d2+1，
∵AB=AD，
∴AB2=AD2，
即：d2+9=b2+4，
∵ ∠BAD=90 ∘，
∴BD2=AB2+AD2，且d≠0，b≠0，
即：d2+9+b2+4=b−d2+1，
再结合d2+9=b2+4，
可得：bd=−6，即b=−6d，
∴d2+9=b2+4=−6d2+4=36d2+4，
整理得：d4+5d2−36=0，
∴d2+9d2−4=0，
∵d2+9≥9，
∴d2−4=0，
∴d=±2，
∴点D的坐标为：2,−1或−2,−1.

【解析】1.
本题主要考查了勾股定理的应用，旋转的性质，解一元二次方程等知识，掌握在坐标系中利用勾股定理求解两点之间的距离是关键．
设点B坐标为b,0，b>0，由旋转的性质得AB=AC，∠CAB=90 ∘，即根据三角形的面积可求出AB2，再在△ABO中利用勾股定理即可作答；
2. 设点B坐标为b,0，点D坐标为d,−1，利用勾股定理表示出AD2、AB2、DB2，再根据AB=AD，且∠BAD=90 ∘，列出相应的等式，可得b、d的数量关系，问题随之得解．
25.【答案】【小题1】
解：如下图，延长CF，AD交于点R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=∠RDC=90 ∘，∠BDC=45 ∘，
∵CF是∠BCD的外角的平分线，
∴∠DCR=12×90 ∘=45 ∘，
∴△DCR是等腰直角三角形，
∴DC=DR=AD，
∴D是AR的中点，
∵∠BDC=∠DCR=45 ∘，
∴CR//BD，
作MF//AR，
∴四边形DMFR为平行四边形，
∴MF=DR，
∴MF=AD，
∵∠DAF=∠AFM,∠AED=∠FEM,AD=MF，
∴△ADE≌△FMEAAS，
∴AE=EF；
【小题2】
如下图，延长AD，过点F作AD的延长线的垂线交于点H，交BC的延长线于点G，
由(1)知：CF//BD，
∵CE//DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EP=FP,DP=CP=3,EC=DF，
∴AP= AD2+DP2= 62+32=3 5，
∵AE=EF,EP=FP，
∴AP=3EP=3 5，
∴EP= 5，
∴AE=EF=2EP=2 5，
∵AB=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE，
∴△ABE≌△CBESAS，
∴AE=CE，
∴AE=CE=DF=2 5，
设CG=FG=x，则CF= x2+x2= 2x，
∴DH=CG=x,FH=GH−FG=6−x，
在Rt△DFH中，根据勾股定理得：DH2+FH2=DF2，
∴x2+6−x2=2 52，
解得：x1=2,x2=4(舍去)，
∴CF=2 2.

【解析】1.
延长CF，AD交于点R，证明△DCR是等腰直角三角形，证D是AR的中点，再证CR//BD，作MF//AR，证四边形DMFR为平行四边形，再证△ADE≌△FME，
即可得答案；
2. 先证明四边形DECF是平行四边形，求出AP,AE,EF的长，再证△ABE≌△CBE，求出CE,DF的长，最后再利用勾股定理列出方程即可．
26.【答案】【小题1】
∠1=∠2=∠3
【小题2】
证明：如图所示，连接PB′，
由折叠可知：EF是PB的垂直平分线，
∴PB′=B′B，∠PB′E=∠BB′E；
由折叠的性质可得BP=B′P′,∠BPB′=∠BB′P′,∠BPB′=∠BP′B′，∠PB′E=∠BB′E，
∴△BPB′≌△B′BP′ASA，
∴∠P′BB′=∠PB′B=∠PB′E+∠BB′E=2∠BB′E；
由折叠的性质可得EF⊥AB，
由矩形的性质可得AB⊥BC，
∴EF//BC，
∴∠BB′E=∠CBB′，
∴∠P′BB′=2∠CBB′，
∴∠P′BC=3∠CBB′，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线；
【小题3】
证明：如图所示，连接DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90 ∘,AD=CD=AB=BC，
由折叠的性质可得AE=A′E,AD=A′D,∠DAE=∠DA′E=90 ∘，
∴AD=CD，
∵∠DA′G=180 ∘−∠DA′E=90 ∘，
∴∠DA′G=∠C，
又∵DG=DG，
∴Rt△DA′G≌Rt△DCGHL，
∴A′G=CG；
设AB=BC=2x,CG=y，则BG=2x−y，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE=A′E=x，
∴EG=x+y；
在Rt△BEG中，由勾股定理得EG2=BE2+BG2，
∴x+y2=x2+2x−y2，
∴2x2=3xy，
∵x>0，
∴2x=3y，即BC=3CG，

【解析】1.
由折叠的性质可推出AB=BB′=AB′，AE′=BE′，则可证明△ABB′是等边三角形，得到∠ABB′=60 ∘，由三线合一定理得到∠1=∠2=12∠ABB′=30 ∘，再由矩形的性质和角的和差关系可得∠3=∠ABC−∠ABB′=30 ∘，则∠1=∠2=∠3；
解：由折叠的性质可得AB′=BB′,AB=AB′,AE=BE,AE′=AE,BE=BE′，
∴AB=BB′=AB′，AE′=BE′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABB′=60 ∘，
又∵AE′=BE′，
∴∠1=∠2=12∠ABB′=30 ∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90 ∘，
∴∠3=∠ABC−∠ABB′=30 ∘，
∴∠1=∠2=∠3；
2. 由折叠的性质可得BP=B′P′,∠BPB′=∠BB′P′,∠BPB′=∠BP′B′，∠PB′E=∠BB′E，则可证明△BPB′≌△B′BP′ASA，得到∠P′BB′=∠PB′B=2∠BB′E；证明EF//BC，得到∠BB′E=∠CBB′，可证明∠P′BB′=2∠CBB′，则BB′是∠NBC的一条三等分线；
3. 连接DG，可证明Rt△DA′G≌Rt△DCGHL，得到A′G=CG；设AB=BC=2x,CG=y，则BG=2x−y，EG=x+y；由勾股定理得x+y2=x2+2x−y2，可求出2x=3y，即BC=3CG，则CG:CB=1:3.作图：只用无刻度直尺在图1中作出平行四边形ABCD的对角线AC的中点；
小朱同学采用下面的方法：
(1)用无刻度直尺连接线段BD；
(2)线段BD与AC的交点记为P点；
结合已学过的平行四边形性质，图2中的点P即为线段AC的中点．
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60 ∘、30 ∘、15 ∘等大小的角，可以采用下面的方法(如图1)：
(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
(2)再一次折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B、E的对应点分别为B′、E′，把纸片展平．