2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列四个函数中，一次函数是
A．B．C．D．
2．（2分）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2分）下列事件中，必然事件是
A．上海明天太阳从西边升起
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度
4．（2分）下列方程中，有实数解的是
A．B．C．D．
5．（2分）如图，在梯形中，，点是边的中点，联结，，下列向量中，不是的相反向量的是
A．B．C．D．
6．（2分）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（2分）直线的截距是 ．
8．（2分）方程的解是 ．
9．（2分）如果一次函数的图象经过，那么的值是 ．
10．（2分）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ．
11．（2分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
12．（2分）如果多边形的每一个内角都等于，那么它的内角和为 ．
13．（2分）如图，在矩形中，，对角线与交于点，，且，，则四边形的周长为 ．
14．（2分）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为
15．（2分）如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 ．
16．（2分）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．
17．（2分）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ．
18．（2分）如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，将正方形沿着翻折，点恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．（8分）解方程：．
20．（8分）解方程组：．
21．（8分）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ；
（2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率；
（3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案．
22．（9分）某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本与产量之间是一次函数关系，函数与自变量的部分对应值如下表：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入（元与销量之间满足如图所示的函数关系
①与之间的函数关系式为 ；
②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少，才不会亏损？
23．（9分）如图，在中，、分别是边、的中点，联结、，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形．
24．（10分）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），联结、，为的中点，过点作，交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）如果，当为等腰三角形时，求的长．
25．（12分）已知直线（其中，我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线．
在平面直角坐标系中，已知直线的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点．
（1）如果直线经过点．
①求直线、的表达式和点的坐标；
②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标．
（2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．（2分）下列四个函数中，一次函数是
A．B．C．D．
解：、该函数是二次函数，故本选项不符合题意；
、该函数符合一次函数的定义，故本选项符合题意；
、该函数不是一次函数，故本选项不符合题意；
、该函数不是一次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（2分）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是
A．B．C．D．
解：函数值随自变量的增大而减小，
，
．
故选：．
3．（2分）下列事件中，必然事件是
A．上海明天太阳从西边升起
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度
解：、上海明天太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意；
、任意选取两个非零实数，它们的积为正是随机事件，不符合题意；
、抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，不符合题意；
、在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度是必然事件，符合题意；
故选：．
4．（2分）下列方程中，有实数解的是
A．B．C．D．
解：．，
方程两边都乘，得，
经检验不是原方程的解，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
移项，得，
不论为何值，不能为负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
方程两边平方，得，
，
，
经检验和都是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项符合题意；
．，
不论为何值，，
，
，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意．
故选：．
5．（2分）如图，在梯形中，，点是边的中点，联结，，下列向量中，不是的相反向量的是
A．B．C．D．
解：，，
四边形是平行四边形．
．
点是边的中点，
．
．
与相反向量的是：、、，
观察选项，只有选项不符合题意．
故选：．
6．（2分）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为
A．B．C．D．
解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（2分）直线的截距是 6 ．
解：将代入得，
，
所以直线的截距是6．
故答案为：6．
8．（2分）方程的解是 ．
解：，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验：是原方程的解．
故答案为：．
9．（2分）如果一次函数的图象经过，那么的值是 3 ．
解：一次函数的图象经过点，
，
解得．
故答案为：3．
10．（2分）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ．
解：一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：．
11．（2分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
解：设，
则原分式方程可化为：，
去分母得：，
即，
故答案为：．
12．（2分）如果多边形的每一个内角都等于，那么它的内角和为 ．
解：设多边形的边数为，
根据题意得，，
解得，
所以，
故答案为：．
13．（2分）如图，在矩形中，，对角线与交于点，，且，，则四边形的周长为 8 ．
解：四边形是矩形，．
，．
，．
四边形是平行四边形．
是菱形．
．
．
是等边三角形．
．
菱形的周长．
14．（2分）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为 8
解：由正方形，，，，
得，
得四边形为平行四边形，
得，
得，
得的面积．
故答案为：8．
15．（2分）如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 ．
解：向量，，
．
是边的中点，
．
．
故答案为：．
16．（2分）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 4.5 ．
解：、分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
四边形为梯形，
、分别是、的中点，
，
故答案为：4.5．
17．（2分）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ．
解：过作交的延长线于，
，
四边形是平行四边形，
，，
梯形的中位线长为6，
，
，
，
在梯形中，，
，
过作于，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（2分）如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，将正方形沿着翻折，点恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ．
解：连接交于，过点作于，如图所示，
四边形为正方形，
四边形是梯形，
四边形的面积为，
又，
，
设，
则，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
点是点沿着的翻折点，
，
，
，
又，，
，
，
在 中，
根据翻折特征，，
利用勾股定理得，，
即，
解得，
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．（8分）解方程：．
解：方程两边同时乘以，得，
整理，得，
解这个整式方程，得，，
经检验：当，时，，
所以，原方程的根是，．
20．（8分）解方程组：．
解：，
由②得：，
或③，
由①和③组成两个二元一次方程组：，，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
21．（8分）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ；
（2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率；
（3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案．
解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有2种，
从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，
两次摸出的球都是白球的概率为．
（3）再往箱子里放1个白球，1个红球，此时从箱子中任摸一个球，摸出白球的概率为（答案不唯一）．
22．（9分）某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本与产量之间是一次函数关系，函数与自变量的部分对应值如下表：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入（元与销量之间满足如图所示的函数关系
①与之间的函数关系式为 ；
②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少，才不会亏损？
解：（1）设，由已知得：
，
解得：．
给所求的函数关系式为．
（2），
（3）由得，
解得．
答：每月至少要生产该种食品，才不会亏损．
23．（9分）如图，在中，、分别是边、的中点，联结、，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，，
，
，分别是边，的中点，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
24．（10分）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），联结、，为的中点，过点作，交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）如果，当为等腰三角形时，求的长．
【解答】（1）证明：，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，即，
，与交于点，
与不平行，
四边形是梯形；
（2）解：为等腰三角形，
有以下三种情况：
①当时，如图1所示：
为的中点，
，
，，
在中，由勾股定理得：；
②当时，过点作于，如图2所示：
由（1）可知：四边形为平行四边形，
，，，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
；
③当时，如图3所示：
由（1）可知：四边形为平行四边形，
，
此时平行四边形为矩形，即，
，
点与点重合，故不合题意，
综上所述：的长为6或16．
25．（12分）已知直线（其中，我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线．
在平面直角坐标系中，已知直线的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点．
（1）如果直线经过点．
①求直线、的表达式和点的坐标；
②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标．
（2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
解：（1）①由题意得：的表达式为：，
将代入直线的表达式得：，
解得：，
则直线、的表达式分别为：，；
联立上述两个函数表达式得：，
解得：，
则点；
②如图，由直线、的表达式知，点，，
，则直线的表达式为：，
设点，
四边形是等腰梯形，则，
即，
解得：或，
当时，，此时，不符合等腰梯形这个条件，
点；
（2）正确，直线过定点，理由：
由题意得：的表达式为：，
联立、的表达式得：，
解得：，则点，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，
由题意得，，，
则、均为等腰直角三角形且，
由点的坐标知，，
则，
则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
即直线过点，即过定点．
（单位：
10
20
30
（单位：元）
3030
3060
3090
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
C
D
C
（单位：
10
20
30
（单位：元）
3030
3060
3090