2026长沙一中高一下学期4月阶段检测数学试题含解析

这是一份2026长沙一中高一下学期4月阶段检测数学试题含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知集合，，
故.
2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.
【详解】因为，
所以，
所以复数的虚部为,
故选：C.
3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.
4. 已知，则的最小值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
故选：A
5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ）
A. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度
B. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度
C. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度
D. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度
【答案】A
【解析】
【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象.
6. 复数满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，
复数几何意义是复数对应的点到点的距离，
所以的最大值为，
故选：D.
7. 在中，内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，然后利用三角恒等变换化简求解.
【详解】A选项，，
由,，故为充要条件；
B选项，，
而，则或，为必要不充分条件；
C选项，，由，
则，为充要条件；
D选项，，由，得，
从而且，，
，为充要条件.
8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围
【详解】因为，都是锐角，所以，又，则，
注意到，故，，
所以.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；
对于D选项，依题意，，且，，
故，故D选项错误.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数图象的对称轴是
C. 函数的一个单调递减区间为
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合图象可得，根据周期公式计算可判断A；根据正弦型函数性质计算可判断BCD.
【详解】对于A，由图知，，，
，故A正确；
对于B，令，解得，
不是函数图象的对称轴，故B错误；
对于C，由，解得，
令，即为，故C正确；
对于D，的周期为，而，
则，故D正确.
11. 在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正弦定理可判断A；根据弦切互化及三角恒等变换化简可判断B；结合B由基本不等式可得，根据两角和的正切公式化简计算可判断C；由C可得，根据正弦定理化简可判断D.
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，但是不能得到，故A错误；
对于B选项，，故选项B正确；
对于C选项，由为锐角，故，
从而，故，
因为，所以，
因此，故C正确；
对于D选项，由C可知，则，
由正弦定理可得，得，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量.
【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是.
故答案为：
13. 函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解.
【详解】设，令，去分母，得，
整理得，即，
，，即，
.
14. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】当或时验证成立，再按分类，结合函数的奇偶性，借助正弦函数性质推理判断.
【详解】当或时，不等式恒成立；
令函数，其定义域为，，
当时，取，则，，
因此，与已知矛盾；
当时，由对任意实数x均有，取，
得，而，，两者矛盾，
所以满足条件的的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
【答案】（1）24；（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcs30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
16. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为.此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的模长.
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，结合数量积的运算律分析求解即可；
（2）根据题意可得，结合数量积的运算律解得，进而可求的模长.
【小问1详解】
由题可知：，，
因为，，则，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
因为，则，
整理可得，解得，
即，则，
所以.
17. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值.
（2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意得，的定义域为，且为奇函数，
所以
所以恒成立，所以.
【小问2详解】
由（1）得，，
因为，所以，
所以当时，的值域．
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域．
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以，
解得，即实数的取值范围是．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的值.
（2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）30（ii）
【解析】
【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果；
（2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值.
【小问1详解】
因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
19. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
，
，
，
．
（1）证明：．
（2）运用上面的公式解决下列问题：
（i）已知，求的值；
（ii）若，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合两角和与差的余弦公式即可证明；
（2）（i）结合（1）所证式子，再利用倍角公式即可求解；（ii）利用三角恒等变换将原式变为，再结合及将原式放缩为只含的式子，研究其最值并验证等号成立条件即可．
【小问1详解】
由于，
且，
将两式相加，得，
两边同时除以2，得．
【小问2详解】
（i）由（1）可知
，
结合已知条件可得．
（ii）
由于，，
所以，原式
，
当且时取到最大值，最大值为．