2025-2026学年浙江省杭州市西湖区公益中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市西湖区公益中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2
C. 2× 6=2 3D. 24÷ 2=3 2
3.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是( )
A. 2ax2+x+1=0B. 1x+x=0C. xy+x=0D. x2+x=0
4.用配方法解一元二次方程x2−4x−6=0时，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=2B. (x−2)2=2C. (x+2)2=10D. (x−2)2=10
5.在四边形ABCD中，∠A+∠B=180∘，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A. AB=CDB. AD//BC
C. AD=BCD. ∠C+∠D=180∘
6.随着新能源电动汽车的快速增加，杭州市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，全市约有4.5万个公共充电桩，根据规划到2026年底，全市的公共充电桩数量将会达到5.445万个，则从2024年底到2026年底，全市公共充电桩数量的年平均增长率为( )
A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%
7.已知：a=12− 3，b=12+ 3，则a与b的关系是( )
A. a−b=0B. a+b=0C. ab=1D. a2=b2
8.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB=5，BC=3，则以下结论不正确的是( )
A. AD=3
B. OB=2
C. AC=2 13
D. ▱ABCD的面积为6
9.对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是( )
A. 当a0，a+cAB，∠ABC=60∘，∠DAC=45∘，点P在边AD上运动且不与点A、D重合，连接BP，取BP的中点E，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 2B. 1C. 32D. 22
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. (−4)2= .
12.若用反证法证明命题“在△ABC中，若AC>AB，则∠B>∠C”，则应假设 .
13.如果一个多边形的每一个外角都是45∘，那么这个多边形的内角和为 .
14.如图，点O为▱ABCD的对称中心，点F为边AD上一点，连接AO，CO，DO，FO，若▱ABCD的面积为16，DF=3AF，则图中阴影部分的面积为 .
15.若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为 .
16.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有 .(填序号)
①方程x2−4x+3=0是三倍根方程；
②若(x−3)(mx+n)=0是三倍根方程：则9m2+10mn+n2=0；
③若p，q满足pq=3，则关于x的方程px2+4x+q=0是三倍根方程.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：
(1) 2− 8；
(2)( 5− 2)2+(2+ 3)(2− 3).
18.(本小题9分)
用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)2x(x−3)+x=3；
(2)x2−4x+5=0.
19.(本小题9分)
如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形(所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上).
(1)在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图2中画▱ABMN，使面积为5；
(3)在图3中画▱ABEF，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长.
20.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若AC平分∠BAE，AB=6，AE=8，求BF的长．
21.(本小题9分)
定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式.
(1)若3 2与 2是关于c的共轭二次根式，则c=______；
(2)若a与 5− 3是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(3)若3+ 3与6+ 3m是关于12的共轭二次根式，求m的值.
22.(本小题9分)
公益中学乐益农场准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长方形菜地，设平行于墙一边CD长为xm.
(1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边由篱笆ECDF围成，当菜地的面积为60m2时，求x的值；
(2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当菜地面积为60m2时，求x的值.
23.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程mx2−2(m+1)x+m−1=0，有两个不相等的实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的一个根x1=2，求m的值及方程的另一个根x2；
(3)若满足x12+x22=4+x1x2，求m的值.
24.(本小题9分)
如图1，在△ABC中，中线BE，CF交于点O，G，H分别是OB，OC的中点，连接EF，FG，GH，HE.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图2，连接OA，若OB=8，OC=6，OB⊥OC，求四边形BCEF面积和OA的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析判断如下：
A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握该知识点是关键．
2.【答案】C
【解析】解： 2、 3不是同类项，不能进行合并计算，故A选项不符合题意；
2 3− 3= 3，故B选项不符合题意；
2× 6=2 3，故C选项符合题意；
24÷ 2=2 3，故D选项不符合题意，
故选：C.
根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
3.【答案】D
【解析】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.1x+x=0，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D.
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
4.【答案】D
【解析】解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
即(x−2)2=10，
用配方法解一元二次方程x2−4x−6=0时，配方后的方程是(x−2)2=10，
故选：D.
先移项，根据配方法，方程两边都加上4，再根据完全平方公式，即得答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，正确理解用配方法解一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A+∠B=180∘，
∴AD//BC，
A、由AB=CD，AD//BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AD//BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵∠C+∠D=180∘，
∴AD//BC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C.
先证AD//BC，再由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据规划到2026年底，全市的公共充电桩数量将会达到5.445万个，
由题意可得，4.5(1+x)2=5.445，
解得x1=0.1，x2=−2.1(舍去)，
因此年平均增长率为10%，
故选：A.
根据增长率的数量关系列出一元二次方程，舍去不符合题意的解即可．
本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：分母有理化，可得a=2+ 3，b=2− 3，
∴a−b=(2+ 3)−(2− 3)=2 3，故A选项错误；
a+b=(2+ 3)+(2− 3)=4，故B选项错误；
ab=(2+ 3)×(2− 3)=4−3=1，故C选项正确；
∵a2=(2+ 3)2=4+4 3+3=7+4 3，b2=(2− 3)2=4−4 3+3=7−4 3，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C.
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a−b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，
∴OD=OB，OA=OC，AD=BC=3，故A正确；
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90∘，
∵AB=5，
∴BD= AB2−AD2= 52−32=4，
∴OB=OD=2，故B正确；
∴OA= AD2+OD2= 32+22= 13，
∴AC=2OA=2 13，故C正确；
∴平行四边形ABCD的面积为AD×BD=3×4=12，故D错误．
故选：D.
根据平行四边形的性质判断AD=BC=3；根据勾股定理求出BD判断OB=2；根据勾股定理求出AO判断AC的长；根据AD和BD的长计算平行四边形的面积即可解答．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
9.【答案】B
【解析】解：A、当a=−1，b=3，c=−2时，满足a0，a+c0，即方程有两个不相等的实数根，
故错误；
B、∵b+c>0，b−c0，
∵a0，
∴Δ=b2−4ac>0，即方程有两个不相等的实数根，
故正确；
C、当a=1，b=−1，c=−1时，满足a>0，a+b+c0，即方程有两个不相等的实数根，
故错误；
D、∵a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0，
∴b=−4a，c=4a，
∴Δ=(−4a)2−4×a×4a=0，即方程有两个相等的实数根，
故错误；
故选：B.
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式为Δ=b2−4ac，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根；Δ=b2−4ac∠C，∠B>∠C的否定为∠B≤∠C，因此用反证法证明该命题时，应假设∠B≤∠C，
故答案为：∠B≤∠C.
根据反证法的定义，反证法需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原结论的否定形式即可．
本题主要考查了反证法，掌握其相关知识点是解题的关键．
13.【答案】1080∘
【解析】解：∵多边形的每一个外角都是45∘，
∴这个多边形的边数为360∘÷45∘=8.
∴这个多边形的内角和等于180∘×(8−2)=1080∘.
故答案为：1080∘.
根据任意多边形的外角和等于360∘，得多边形的边数为360∘÷45∘=8，从而求得多边形的内角和．
本题主要考查多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和等于360∘是解决本题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵▱ABCD的面积为16，OA=OC，
∴S△AOD=S△COD=12×16×12=4，
∵DF=3AF，
∴S△AOF=14S△AOD=1，
∴图中阴影部分的面积为：S△AOF+S△COD=1+4=5.
故答案为：5.
根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，由等底等高的两个三角形面积相等可得△AOD的面积与△COD的面积相等，由▱ABCD的面积为16，可得△ACD的面积为8，所以△AOD的面积与△COD的面积均为4，根据△AOF与△DOF的面积的比等于它们的底边的比可得△AOF的面积为1，再把△AOF的面积与△COD的面积相加即可．
本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
15.【答案】6
【解析】解：∵一元二次方程2x2−4x−1=0的两个根为m，n，
∴m+n=2,mn=−12，2m2−4m=1，
∴3m2−4m+n2
=2m2−4m+m2+n2
=m2+n2+1
=(m+n)2−2mn+1
=22−2×(−12)+1
=6，
故答案为：6.
根据根与系数的关系得m+n=2,mn=−12，2m2−4m=1，再把3m2−4m+n2变形为2m2−4m+m2+n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，则：
①x2−4x+3=0，
(x−1)(x−3)=0，
解得，x1=1，x2=3，
∴x2=3x1，
∴方程x2−4x+3=0是三倍根方程，
∴说法①正确；
②(x−3)(mx+n)=0，
x1=3,x2=−nm，
∵(x−3)(mx+n)=0是三倍根方程，
∴情况1，x2=3x1，即−nm=9，n=−9m，9m+n=0，
情况2，x1=3x2，即−nm=1，n=−m，m+n=0，
综合两种情况可得，(9m+n)(m+n)=0，即9m2+10mn+n2=0，
∴说法②正确；
③px2+4x+q=0，
∵pq=3，
∴(px+1)(x+q)=0，p≠0，q≠0，
∴x1=−1p,x2=−q=−3p，
∴x2=3x1，
∴方程px2+4x+q=0是三倍根方程，
∴说法③正确；
故答案为：①②③．
①求出方程的根，再判断是否为“三倍根方程”；
②根据“三倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当p，q满足pq=3，有px2+4x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=3代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为“三倍根方程”．
本题考查根与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
17.【答案】− 2 8−2 10
【解析】解：(1)原式= 2−2 2
=− 2；
(2)原式=( 5)2−2× 5× 2+( 2)2+22−( 3)2
=8−2 10.
(1)先将非最简二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式展开后，合并同类项即可得到结果．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
18.【答案】x1=3，x2=−12 原方程无实数根
【解析】解：(1)原方程移项可得：
2x(x−3)+x−3=0，
(x−3)(2x+1)=0，
∴x−3=0或2x+1=0，
∴x1=3，x2=−12；
(2)x2−4x+5=0，
Δ=(−4)2−4×1×5=−4−13且m≠0 m=5，x2=25 m=4
【解析】解：(1)∵一元二次方程mx2−2(m+1)x+m−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−2(m+1)]2−4m(m−1)>0且m≠0，
∴4m2+8m+4−4m2+4m>0且m≠0；
即12m+4>0且m≠0，
解得：m>−13且m≠0；
(2)方程的一个根为x1=2，
则4m−4(m+1)+m−1=0，
解得：m=5，
∴原方程为5x2−12x+4=0，
∴x1x2=ca=45x1x2=45，
∵x1=2，
∴x2=45÷2=25；
(3)∵x12+x22=4+x1x2，
∴(x1+x2)2−2x1x2=4+x1x2，
(x1+x2)2−3x1x2=4，
∵x1+x2=−−2(m+1)m=2m+2m，x1x2=m−1m，
∴(2m+2m)2−3(m−1)m=4，
解得：m=4或m=−13，
∵m>−13且m≠0，
∴m=4.
(1)结合根的判别式计算即可；
(2)根据根与系数的关系解题即可；
(3)根据根与系数的关系解题即可．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟记以上知识点是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵BE、CF为△ABC的中线，
∴FE为△ABC的中位线，
∴FE//BC，FE=12BC，
∵点G，H分别是OB，OC的中点，
∴GH为△OBC的中位线，
∴GH//BC，GH=12BC，
∴DE//GH，DE=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：∵G，H分别是OB，OC的中点，且OB=8，OC=6，
∴BG=OG=4，CH=OH=3，
∵OB⊥OC，
∴GH= 42+32=5，
由(1)知：四边形EFGH是平行四边形，
∴OF=OH=3，OE=OG=4，
∴四边形BCEF面积=S△BFE+S△BCE
=12⋅BE⋅OF+12⋅BE⋅OC
=12×12×3+12×12×6
=54，
如图2，过点O作OM⊥AC于M，
Rt△COE中，由勾股定理得：CE= 42+62=2 13，
∵E是AC的中点，
∴AC=2CE=4 13，
∵S△COE=12×4×6=12×2 13×OM，
∴OM=12 1313，
由勾股定理得：CM= OC2−OM2= 62−(12 1313)2=18 1313，
∴AM=AC−CM=4 13−18 1313=34 1313，
由勾股定理得：OA= OM2+AM2= (12 1313)2+(34 1313)2=10.
【解析】(1)先根据三角形中位线性质得到FE//BC，FE=12BC，GH//BC，GH=12BC，则FE//GH，FE=GH，从而根据平行四边形的判定方法可得到结论；
(2)先根据勾股定理计算BE的长，利用平行四边形的性质得OF和OE的长，由三角形面积的和可得结论；作辅助线构建直角三角形，由勾股定理可解答．
本题考查了三角形的中线的定义，三角形的面积，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定等知识，掌握三角形中位线定理是解本题的关键．