河北省衡水市武强中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省衡水市武强中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知函数是的导数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导代入求解即可.
【详解】，所以.
故选：A
2. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位.
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列定义计算即可.
【详解】根据题意可设第排的座位个数为，
易知成等差数列，且；
所以可得.
故选：C
3. 有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ）
A. 12B. 64C. 81D. 256
【答案】C
【解析】
【分析】由分步乘法计算可得.
【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有种.
故选：C
4. 若在数列中，，，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】因为，，
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，所以.
故选：D
5. 已知数列满足且，则（ ）
A. -3B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.
【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.
6. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得=，由列式得a的方程求解即可
【详解】由题=,解得a=4
故选D
【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题
7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得.
【详解】，
因为三次函数在上是减函数，
所以恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A
8. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得.
【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，
依题意成等差数列，故，得到：，
化简得，即：，
解得：或（舍去）
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共有7项B. 每一项中的指数都是偶数
C. 各项系数的和为64D. 常数项为540
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二项式展开式的特征即可求解A，根据通项的特征即可求解BD，利用赋值即可求解C.
【详解】对于A,根据，即可得展开式共有7项，故A正确，
对于B，展开式的通项为，由于为偶数，因此每一项中的指数都是偶数，故B正确，
对于C,令，则系数和为，故C正确，
对于D，令，故，故常数项为，故D错误，
故选：ABC
10. 已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数只有一个极值点
B. 函数满足，且在处取得极小值
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在内单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果.
【详解】由导函数的图像可得，当x2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.
故选: AC.
【点睛】本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题.
11. 某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ）
A. 若不选择生物、政治，选法总数为8种
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用组合计数依次对各个选项分析，采用间接法求得选法总数.
【详解】对于A选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的4门课程中选择三门作为选修科目，
可得选法总数为种，故A不正确；
对于B选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为种，
若物理和化学均不选，选法总数为种，
若物理和化学至少选一门，选法总数为种，故B正确；
对于C选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为种，
若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选，
结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数四则运算及复合函数求导法则进行计算.
【详解】．
故答案为：
13. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答．
【详解】等比数列中，，由，
得，由，得，
所以．
故答案为：3．
14. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________.
【答案】240
【解析】
【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案.
【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种，
再安排到4个不同社团负责组织活动，共有种不同的安排方法.
故答案为：240.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；
（2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式．
【小问1详解】
因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
【小问2详解】
由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
16. 已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）求在R上的极值．
【答案】（1）；
（2）极大值，极小值.
【解析】
【分析】（1）由点在上得，根据区间单调性知是的两个根，结合根与系数关系求得，即可得解析式.
（2）由已知区间单调性及极值点的定义，即可求极值.
【小问1详解】
的图象过点，
，
，
，
由已知：是的两个根，则，
.
.
【小问2详解】
由题设：是的极大值点， 是的极小值点，
极大值，极小值.
17. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）;
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前项和公式建立方程组，解出即可；
（2）因为，裂项相消求和即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，数列的等比为，
因为，，，
所以，解得
，.
【小问2详解】
因为，
所以，
则，
所以
.
18. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
（2）
【解析】
【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【小问1详解】
当时，，
，
所以单调递减区间是 ，单调递增区间是
【小问2详解】
由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
19. 数列满足．
（1）证明：数列等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，证明：数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可；
(2)根据（1）可得通项公式，进而可得的通项公式；
(3)根据裂项相消求和证明即可.
【小问1详解】
由可得，解得，则.
且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证.
【小问2详解】
由（1），故
【小问3详解】
，
故