河北省衡水市武强中学高二上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省衡水市武强中学高二上学期期末数学试题（解析版）-A4，共10页。试卷主要包含了 已知A为抛物线C， 已知双曲线C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
出题人：刘宽新
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A. 1B. 2
C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
2. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）.
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的几何意义可得的值，再由导数的概念即可得正确答案．
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是，
切点的横坐标为，
由导数的几何意义可得，
所以，
故选：D.
3. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 3D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选：A
4. 过点的直线与圆相切，则切线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长.
【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为.
故选：C
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、两点间的距离公式，属于基础题.
5. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
6. 若直线过圆的圆心，则的最小值是（ ）
A. 16B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由圆的方程知圆心为，直线过圆心有，利用基本不等式“1”的代换求最小值即可；
【详解】可化为：，即圆心，
∴由题意，知：，有，
故，当且仅当时等号成立；
故选：A
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，根据直线过圆心得到参数的等量关系，结合目标式利用基本不等式“1”的代换求最值；
7. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
8. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为60°
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
10. 已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 为等比数列
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;
【详解】，则 ，又 ，
同理 ，故A正确；
而 ，故不是等比数列，B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：AD
11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 离心率
B. 面积的最大值为
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 的最小值为0
【答案】CD
【解析】
【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由椭圆可知，，，，
所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误；
对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为，故选项B错误；
对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，
由圆心到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确；
对于D：设，，
，则最小值为，
故选项D正确；
故选：CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【解析】
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
13. 函数的图象在点处的切线方程为，则_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义可得，根据切点在直线上可得.
【详解】因为切线的斜率为，所以，
又切点在切线上，所以，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
16. 已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
因为椭圆的焦距为，得，
又，则，得，
因此，椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为点是椭圆上的一点，则有，
可得，①
又由，得，②
①②可得，即，
则的面积.
17. 数列前n项和为，,数列满足，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
【答案】（1）， （2）
【解析】
【详解】（1）由，可得
当时，，
当时，符合上式，所以；
由可得，解得．
（2）
∴ ①
②
①-②可得
，
∴．
考点：求数列的通项公式，错位相减法求和．
【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强．
18. 设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．
【解析】
【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；
（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.
【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
（2）由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝．
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，
解得m＝7．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.
（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.
【答案】（1）为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；
（2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解；
（3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解．
【小问1详解】
因为常数，
所以数列等方差数列，1为公方差；
因为，
所以数列不是等方差数列；
【小问2详解】
因为是等差数列，设其公差为d，
则，
又是等方差数列，所以，
故，
所以，
即，
所以，故是常数列；
【小问3详解】
由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项含前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.
【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.