专题04 全等三角形【十大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）

③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
模块三
考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：如图，AB=AD，BC=CD，点B在AE上，点D在AF上．
求证：△ABC≌△ADC．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据SSS证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=CDAC=AC
∴△ABC≌△ADCSSS．
【变式1】如图，点F，C在BE上，DE与AB相交与点O，OB=OE，BF=CE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，先根据等边对等角得出∠B=∠E，然后根据等式的性质可得出BC=EF，最后根据AAS证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵OB=OE，
∴∠B=∠E，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且AB=CE．求证：△CED≌△ABC．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定．根据DE⊥AC，AB⊥AC，得到∠B=90°，∠DEC=90°，根据CD∥AB，得到∠DCE=∠A，结合AB=CE，利用ASA即可证明结论．
【详解】证明：∵DE⊥AC，AB⊥AC，
∴∠DEC=∠B=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠A，
在△CED和△ABC中，
∵∠DEC=∠BCE=AB∠DCE=∠A
∴△CED≌△ABCASA．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以AB为边向外作等边△ABE，过点E作ED⊥AB于点D，且AC=ED．求证：∠BAC=∠AED．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等边三角形的性质得出∠AEB=60°,AE=AB，证明Rt△ADE≌Rt△BCAHL，得出∠BAC=∠AED．
【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°,AE=AB，
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，
又∵∠C=90°，AC=ED，
∴Rt△ADE≌Rt△BCAHL，
∴∠BAC=∠AED．
【变式4】如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用三角形内角和定理得出∠BEO=∠2，再证明∠1=∠BEO，即可得∠AEC=∠BED．最后利用“角边角”即可判定．
【详解】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠AED=∠AED+∠BEO，
即∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BEDASA．
【变式5】如图，DA=DC，DG=DE，其中∠ADC=∠GDE=90°，连接AG，CE，求证：AG=CE．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先判定∠ADG=∠CDE，再利用“SAS”判定即可．
【详解】证明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，
即∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
DA=DC∠ADG=∠CDEDG=DE，
∴△ADG≌△CDESAS，
∴AG=CE.
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一点
求证：
(1)AC平分∠DAB；
(2)BE=DE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用SSS证明△ABC≌△ADC，则∠DAE=∠BAE，即可得出结论；
（2）利用SAS证明△ADE≌△ABE，则BE=DE．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADAC=ACBC=DC，
∴△ABC≌△ADCSSS，
∴∠DAE=∠BAE，
∴AC平分∠DAB；
（2）在△ADE和△ABE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ADE≌△ABESAS，
∴BE=DE．
【变式1】△ABC与△ADE都是以点A为顶角的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，
(1)求证：AE⊥EC；
(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BF=CF，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）证明△BAD≌△CAESAS，得出∠AEC=∠ADB，即可得出答案；
（2）在EF上取点N，使CN=CF，根据等腰三角形性质得出∠CFN=∠CNF，证明∠ENC=∠BFD，∠BDF=∠NEC，得出△BDF≌△CENAAS，即可证明BF=CN=CF，得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC与△ADE都是以点A为顶角的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
在△BAD和△CAE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ADB，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CE；
（2）解：在EF上取点N，使CN=CF，
∵FC=NC，
∴∠CFN=∠CNF，
∴∠ENC=∠BFD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°−∠BDA=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDF=∠NEC，
在△BDF和△CEN中∠BFD=∠CNE∠BDF=∠CENBD=CE，
∴△BDF≌△CENAAS，
∴BF=CN=CF，
即BF=CF．
【变式2】如图所示，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，点E在AB上．
(1)判断点A是否在∠CBD的平分线上，并说明理由；
(2)当CE=8时，求DE的长度．
【答案】(1)点A是否在∠CBD的平分线上，理由见解析
(2)DE=8．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得到∠ABC=∠ABD，即可判断点A是否在∠CBD的平分线上；
（1）由得到Rt△ABC≌Rt△ABD，BC=BD，∠ABC=∠ABD，再利用SAS证明△BCE≌△BDE，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AB=ABAC=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABDHL，
∴∠ABC=∠ABD，
∴点A是否在∠CBD的平分线上；
（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△ABD，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
在△BCE和△BDE中，
BC=BD∠EBC=∠EBDBE=BE，
∴△BCE≌△BDESAS，
∴CE=DE=8．
【变式3】在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一点，AE=CD．
(1)如图1，求证：△BDE是等腰三角形．
(2)如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AD=AB，得∠A=∠C=45°，AD=CB=AB，证明△ADE≌△CBDSAS，故有DE=BD，从而求证；
（2）过D作DH⊥AB于点H，则有DH∥BC，故∠BDH=∠CBD，由（1）得△ADE≌△CBD，所以∠ADE=∠CBD，∠ADE=∠BDH，由等腰三角形的性质得∠EDH=∠BDH，根据垂直的定义可得∠DFE=∠DHE=90°，然后证明△DFE≌△DHEAAS，根据性质得∠DEF=∠DEH，从而求证；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AB=CB，∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠A=∠C=45°，AD=CB=AB，
在△ADE和△CBD中，
AE=CD∠A=∠CAD=CB，
∴△ADE≌△CBDSAS，
∴DE=BD，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）证明：如图，过D作DH⊥AB于点H，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴DH∥BC，
∴∠BDH=∠CBD，
由（1）得△ADE≌△CBD，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠ADE=∠BDH，
∵DE=BD，DH⊥AB，
∴∠EDH=∠BDH，
∴∠EDH=∠ADE，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE=∠DHE=90°，
在△DFE和△DHE中，
∠DFE=∠DHE∠EDH=∠ADEDE=DE，
∴△DFE≌△DHEAAS，
∴∠DEF=∠DEH，
∴ED平分∠FEB．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将△ABC向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的△A1B1C1；
(2)仅用无刻度直尺作出△A1B1C1的高A1P．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据网格线的特点取格点G，连接AG交B1C1于点P，A1P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求；
（2）解：如图所示，A1P为所求．
取格点D，连接AG交B1C1于点P，A1P即为所求；
取格点M，N，AM与B1C1相交于点G，
∵A1M=B1N，C1N=MD，∠A1MG=∠B1NC1
∴△A1MD≌△B1NC1SAS
∴∠MA1D=∠NB1C1
∵∠NB1C1+∠B1GM=90°，∠B1GM=∠AGC1
∴∠AGC1+∠GAD=90°
∴∠A1PG=90°，点P即为所求
【变式1】线段AB的端点A，B在6×6的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．

(1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB2+BC2；
(2)在图②中作出△ABC的高CH，并直接写出CH的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，CH=165
【分析】（1）如图①，由题意知，AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，则AC2=AB2+BC2，格点C，AC，BC即为所作；
（2）如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，证明△CBD≌△AEBSAS，则∠BCD=∠EAB，可求∠BHC=180°−∠BCD+∠ABE=90°，即CH为△ABC的高，由勾股定理得，AB=5，由题意知，S△ABC=12AB×CH=12BC×AE，即12×5×CH=12×4×4，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图①，

由题意知，AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴AC2=AB2+BC2，
∴格点C，AC，BC即为所作；
（2）解：如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，

∵CB=4=AE，∠CBD=90°=∠AEB，BD=3=EB，
∴△CBD≌△AEBSAS，
∴∠BCD=∠EAB，
∴∠BCD+∠ABE=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠BHC=180°−∠BCD+∠ABE=90°，
∴CH为△ABC的高，
由勾股定理得，AB=5，
∴S△ABC=12AB×CH=12BC×AE，即12×5×CH=12×4×4，
解得，CH=165．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．
(2)在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了网格作图、全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）在方格中找到点D，使得BD=BA,CD=CA，连接BD,CD，根据“SSS”可知△BCD与△ABC全等；
（2）在方格中找到点E，使得AE∥BC且AE=BC，易得∠BCA=∠EAC，连接AE,CE，根据“SAS”可知△ACE与△ABC全等．
【详解】（1）解：如图①，△BCD即为所求；
（2）如图②，△ACE即为所求．
【变式3】网格画图：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)在图中，D，E分别是边AC，BC与网格线的交点．先将点A绕点E旋转180°得到点F，画出点F并连接AF；
(2)利用网格在BC找一点G，使线段DG∥AB，并证明你所画出的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）构造平行四边形ABCF，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解；
（2）连接BF，与格点交于点T，连接DT，与BC交于点G，根据平行四边形对边平行可得AC∥BF，根据两直线平行，同位角相等可得∠DAM=∠TBN，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BT，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行即可证明．
【详解】（1）解：如图：
在网格中确定格点F，使得CF∥AB，CF=AB．
则四边形ABFC是平行四边形，
连接AF，与BC的交点就是点E，
∴AE=EF，
∴点F即为所求．
（2）解：如图：
连接BF，与网格线交于点T，连接DT，与BC交于点G，即为所求．
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴∠DAM=∠TBN，
又∵AM=BN，∠DMA=∠TNB=90°
∴△ADM≌△BTNASA，
∴AD=BT，
∴四边形ADTB为平行四边形，
∴DG∥AB．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（1）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O，请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）BC=BF+CE，证明见解析．
【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等．
（1）当AB=AP时，可以证明出△ABC≌△APC，即以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，可以作出图形；
（2）在BC上截取BD=BF，证明△BFO≌△BDOSAS，继而再证明△COE≌CODASA，即可得到本题答案．
【详解】解：（1）当AB=AP时，
∵AE是∠MAD的平分线，
∴∠BAC=∠PAC，
在△ABC和△APC中，
AB=AP∠BAC=∠PACAC=AC，
∴△ABC≌△APC，
∴以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，如下图所示：
（2）BC=BF+CE，理由如下：
在BC上截取BD=BF，
在△BFO和△BDO中，
BF=BD∠FBO=∠DBOBO=BO，
∴△BFO≌△BDOSAS，
∴∠BOF=∠BOD，
∵∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O，
∴∠BOC=180°−12∠ABC−12∠ACB=180°−60°=120°，
∴∠COE=180°−120°=60°，
∴∠BOD=∠BOF=∠COE=60°，
∴∠COD=∠BOC−∠BOD=120°−60°=60°，
在△COE和△COD中，
∠COE=∠CODCO=CO∠OCE=∠OCD，
∴△COE≌CODASA，
∴CE=CD，
∴BC=BF+CE．
【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB>∠ABC，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线BC上方求作一点D，使得△ABD≌△BAC，其中AD=BC；
(2)在线段AB上求作一点E，使得∠BEC=2∠BAC，说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点，
（1）分别以A点、B点为圆心，以BC和AC为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“SSS”可判断△ABD≌△BAC；
（2）作AC的垂直平分线交AB于E点，则EA=EC，所以∠EAC=∠ECA，然后根据三角形外角性质可得到∠BEC=2∠BAC；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】（1）如图，点D为所作；
（2）如图，作AC的垂直平分线交AB于点E，交点E为所作；
∵点E为AC的垂直平分线与AB的交点，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠BEC=∠EAC+∠ECA，
∴∠BEC=2∠EAC，
即∠BEC=2∠BAC
【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，AD=AB，AE⊥AC，AE=AC．

(1)①说明△ADC≌△ABE；
②小明在观察图形中感觉DC似乎与EB垂直，为了验证自己的猜想，他延长DC与EB交于点F，用量角器度量了∠BFC，测得它几乎就是90°，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点G，使∠GBE=∠AEB，并请说明：点G，B，C这三个点在同一直线上．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)图见解析，见解析
【分析】（1）由AD⊥AB，AE⊥AC，可得∠DAB=∠CAE=90°，即得∠DAC=∠BAE，即可证明△ADC≌△ABESAS；延长DC，EB交于点F，由∠ACB=90°，∠CAE=90°，可得CB∥AE，故∠CBF=∠AEB，由△ADC≌△ABESAS知∠ACD=∠AEB，可得∠CBF=∠ACD，因∠ACD+∠BCF=180°−∠ACB=180°−90°=90°，即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的步骤∠GBE=∠AEB即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点G，B，C这三个点在同一直线上．
【详解】（1）解：①∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
∴△ADC≌△ABESAS．
②理由：分别延长DC，EB交于点F，

∵∠ACB=90°，∠CAE=90°，
∴CB∥AE，
∴∠CBF=∠AEB，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ACD=∠AEB，
∴∠CBF=∠ACD，
又∵∠ACD+∠BCF=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°
∴∠F=90°，即EB⊥DC．
（2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交EA于M，交EB于N，②以B为圆心，EM的长为半径画弧交EB于K，③以K为圆心，MN的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线BG，则∠GBE即为所求；

∵∠GBE=∠AEB，
∴BG∥AE，
由（1）②知，CB∥AE，
∴过B的直线CB,BG都与AE平行，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点G，B，C这三个点在同一直线上．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
【变式3】如图，在直角三角形BCE中，∠E=90°，BC=2BE．
(1)作边BC的垂直平分线AD，与EC，BC分别交于点A，D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接BA，求证：BA平分∠EBC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于12BC长为半径画弧，使得弧有两个交点，经过两个交点的直线即为BC的垂直平分线AD；
（2）连接BA，根据垂直平分线的定义得到BD=CD=12BC，∠ADB=90°，再根据BC=2BE得到BD=BE，进而求得Rt△ABE≌Rt△ABD，再根据全等三角形的性质可证出结论．
【详解】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）证明：如图，连接BA，
∵AD垂直平分BC，
∴BD=CD=12BC，∠ADB=90°，
∵BC=2BE，
∴BD=BE，
在Rt△ABE和Rt△ABD中，AB=AB,BE=BD,
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL），
∴∠EBA=∠DBA，
∴BA平分∠EBC．
【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线的定义和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法，灵活运用相关的几何定理．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：如图，以O为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt△OAB和Rt△OCD，且点C在线段AB上（A、B除外），求证：AC2+BC2=CD2

【答案】证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
AO=BO∠AOC=∠BODCO=DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，BD2+BC2=CD2
即AC2+BC2=CD2．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
【变式1】如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC=AB．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED=CE，
在△ADE与△FCE中，
∠DAE=∠CFE∠AED=∠FECED=CE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴AD=CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠F，
∴∠BAF=∠F，
∴AB=BF，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD．
【变式2】如图所示，△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长．

【答案】BC=3
【分析】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理的应用．连接BE，证出Rt△BDE≌Rt△BCE得出CE=DE，设BC=BD=x,CE=y，得出AD+AE=12−2x−y，AD+AE=6−y，即可解得．
【详解】解：连接BE，
设BC=BD=x,CE=y，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
∵BC=BD，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCEHL，
∴CE=DE=y，
∵△ABC的周长为12，
∴AD+AE=12−2x−y，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+AE=6−y，
∴12−2x−y=6−y，
解得：x=3，
∴BC=3．
【变式3】已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．
小桐的证明方法如下框：
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据SSA不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接BD，等边对等角，得到∠ABD=∠ADB，根据∠ABC=∠ADC，得到∠CBD=∠CDB，等角对等边，得到BC=DC即可．
【详解】解：小桐的证明是利用SSA证明三角形全等，而SSA不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确；
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，即：∠CBD=∠CDB，
∴BC=DC．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．AD是△ABC的中线．AB=5，AC=3，写出一个符合条件的AD的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE．通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE