2026年中考数学二轮复习专题03 统计与概率综合应用（题型专练）（全国通用）（含解析）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
题型02 统计图（表）的分析
题型03 统计量的计算
题型04 统计综合问题
题型05 用列举法求概率与几何概率
题型06 \l "_Tc181117090" 用频率估计概率的实际应用
题型07 利用概率判断游戏的公平性
题型08 统计与概率的综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
典例引领
【典例01】（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【典例02】（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ）
A．向上两面的数字和为5B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12D．向上两面的数字和为偶数
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心
【变式03】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
题型02 统计图（表）的分析
典例引领
【典例01】（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比D．其他类图书销售占比
【典例02】（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
A．B．
C．D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名D．“体育”对应扇形的圆心角为
【变式02】（2025·甘肃·中考真题）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
题型03 统计量的计算
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6B．5，7C．6，6D．6，7
【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．15，14B．14，15C．14，14D．15，15
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3B．平均数是3C．中位数是4D．方差是1
【变式02】（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12B．中位数是75C．众数是21D．众数是85
题型04 统计综合问题
典例引领
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【典例02】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【变式02】（2026·河南·一模）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织七、八年级所有学生参与以“不忘初心，牢记使命”为主题的作文比赛（百分制），现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并对他们的成绩进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69 87 76 80 74 68 94 87 98 77 87 94 92 77 70
八年级：86 90 90 84 80 62 99 97 87 84 78 90 96 78 89
【整理数据】
【分析数据】
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ， ， ， ；
(2)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学可能是哪个年级的学生，并说明理由．
题型05 用列举法求概率与几何概率
典例引领
【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
【变式02】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
题型06 用列表法或树状图求概率
典例引领
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
【变式02】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
题型07 \l "_Tc181117090" 用频率估计概率的实际应用
典例引领
【典例01】（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
【典例02】（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
题型08 利用概率判断游戏的公平性
典例引领
【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【典例02】（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球．
(1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”）
(2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由．
【变式02】（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示）
(1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________；
(2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由．
题型09 统计与概率的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【典例02】（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【变式02】（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【变式03】（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
(2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
(3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·湖北襄阳·二模）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．三角形内角和为
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7
C．打开电视机，正在播放新闻节目
D．在一个标准大气压下，水加热到会沸腾
2．（2026·重庆·模拟预测）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查2026年春节联欢晚会的收视率
B．采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情
C．检测国产大飞机的零部件质量情况
D．调查某批奥迪汽车的抗撞击能力
3．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）小明有四枚不同的学科徽章，分别是数学、英语、语文、物理．这些徽章除正面图案外，背面完全相同．他把徽章背面朝上洗匀，从中随机一次性抽取两枚，则两枚徽章恰好为数学和语文的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）陕西省境内有一株被称为“太上槐”的国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（ ）
A．12个B．8个C．6个D．4个
5．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率
C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率
D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率
二、填空题
6．（2025·河南濮阳·一模）从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件．
7．（2025·湖南·三模）某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下：
表中表示人数这组数据中，众数和中位数分别是______、_______．
8．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）阿克苏地区盛产苹果，小王同学家果园今年收获了冰糖心、嘎啦两种苹果共20箱，其中冰糖心苹果有12箱，从这批苹果中随机抽取一箱，抽到嘎啦苹果的概率是________.
9．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．
三、解答题
11．（2026·陕西西安·二模）国产AI大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．
A．机器人技术 B．计算机视觉
C．自然语言处理 D．专家系统
(1)甲同学随机选择一种AI，选到“A．机器人技术”的概率为________；
(2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率．
12．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜．
(1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______；
(2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平．
13．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
14．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
15．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
16．（2026·重庆·模拟预测）为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为：
20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70．
抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)____________，____________，____________；
(2)如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？
17．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
一分钟跳绳成绩的扇形统计图
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ．
(2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；
(3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？
18．（2026·山东·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．考向解读
1. 调查方式选择：主要考查全面调查（普查）和抽样调查的适用场景，根据调查对象的特点（如破坏性、数量大、范围广）选择合适的调查方式。
2. 抽样调查概念：常考总体、个体、样本、样本容量的概念辨析，要求准确区分并指出具体对象。
3. 事件分类：考查必然事件、不可能事件、随机事件的判断，结合生活情境或数学结论进行归类。
4. 实际应用结合：常与统计图、概率初步知识结合，考查学生分析实际问题的能力。
方法技能
1. 普查抽样巧辨：数量少、要求精准、无破坏性用普查；数量多、有破坏性、范围广用抽样调查。
2. 概念辨析抓关键词：总体是个体全体，样本是部分个体，样本容量是数目无单位，注意指代对象。
3. 事件判断重确定性：一定发生是必然，一定不发生是不可能，可能发生是随机，关注事件本质。
4. 结合语境细分析：遇到实际问题，先理解情境再判断调查方式或事件类型，避免想当然出错。
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温/℃
25
25
28
30
33
30
29
考向解读
1. 图表信息提取：主要考查从条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图及统计表中读取数据的能力，包括频数、频率、圆心角度数等。
2. 补全统计图表：常考根据已知数据补全统计图（如画条形图、计算扇形圆心角）或填写统计表。
3. 数据分析应用：结合平均数、中位数、众数、方差等统计量，分析数据集中趋势和波动程度。
4. 决策与建议：根据图表分析结果提出合理化建议或作出简单预测，考查综合应用能力。
方法技能
1. 看图找关系：抓住各图表间的数据对应关系，如扇形图百分比与条形图频数互推，样本估计总体。
2. 公式计算准：扇形圆心角 = 百分比 × 360°，样本估计总体时用“总体 × 样本频率”计算。
3. 统计量结合：分析数据时，结合众数看集中点，结合方差看稳定性，多角度描述数据特征。
4. 规范作答：补全图表时数据准确、标注清晰；提建议时结合实际、语言简练、言之有理。
考向解读
1. 基础统计量：主要考查平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的计算，要求掌握各自定义和适用场景。
2. 加权平均数：常考在统计图表背景下的加权计算，如根据频数分布求平均成绩，注意权重的正确使用。
3. 中位数求法：数据排序后找中间位置，偶数个数据时取中间两数的平均值，常结合统计图表考查。
4. 方差意义：考查方差的计算公式及实际意义（衡量数据波动大小），常与稳定性分析结合。
方法技能
1. 公式记准确：平均数公式，方差公式，注意计算顺序。
2. 中位数先排序：求中位数前必须将数据从小到大重新排列，避免直接取中间值出错。
3. 众数看次数：出现次数最多的数据，可能不止一个，注意不要漏找。
4. 加权算清权：加权平均数计算时，明确每个数据的权重，正确相乘后求和再除以总权重。
书籍本数
2
3
4
5
6
人数
2
2
2
3
1
组别
分数
频数
百分比
第1组
第2组
10
第3组
15
第4组
40
第5组
考向解读
1. 多图表结合：主要考查条形图、扇形图、折线图、频数分布表之间的信息互推，补全图表并计算相关统计量。
2. 统计量综合：结合平均数、中位数、众数、方差等分析数据集中趋势与波动程度，对数据作出评价。
3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体数量，常考估算全校某类学生人数或总体百分比。
4. 决策与应用：根据统计结果提出合理化建议，或结合实际情境作出判断，考查数据分析观念。
方法技能
1. 找准突破口：从图表中数据量最全、关系最明确的部分入手，如已知频数和百分比可先求样本总数。
2. 公式互推：熟练掌握频数 = 总数 × 频率，扇形圆心角 = 频率 × 360°，灵活进行数据转换。
3. 多角度分析：评价数据时，既看平均数反映整体水平，又看方差反映稳定性，全面描述特征。
4. 规范表达：补全图表时数据准确；提建议时紧扣数据结论，语言简练、符合实际。
平均数
中位数
方差
七年级
95
八年级
92.5
成绩

七年级
2
5
4
八年级
1
2
6
平均数
中位数
众数
七年级
82
87
八年级
86
87
考向解读
1. 列举法求概率：主要考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，要求不重不漏地列出所有等可能结果。
2. 几何概率模型：常考与面积、长度、角度相关的概率问题，概率等于所求区域与整个区域的比例。
3. 游戏公平性：结合概率判断游戏规则是否公平，常需计算双方获胜概率并比较。
4. 综合应用：与统计图表、方程组、不等式等知识结合，考查综合建模与分析能力。
方法技能
1. 列举有序不遗漏：两步试验用列表法，三步及以上用树状图，注意区分放回与不放回试验。
2. 几何概率找比例：找准所求区域面积（或长度、角度），除以整个区域面积，注意单位统一。
3. 公平性比概率：判断游戏公平即比较概率是否相等，不等则修改规则使概率相等。
4. 结果化简规范：概率结果写成最简分数、小数或百分数，必要时用“\(P=\frac{m}{n}\)”形式表达。
考向解读
1. 方法选择：主要考查两步试验用列表法，三步及以上用树状图，要求能根据试验步骤数选择合适方法。
2. 等可能结果：常考不放回试验与放回试验的区别，准确列出所有等可能结果是求对概率的关键。
3. 事件概率计算：求指定事件（如颜色相同、数字和为偶数）发生的概率，数出满足条件的结果数。
4. 综合应用：与游戏公平性、代数知识结合，考查学生建模能力和分类讨论思想。
方法技能
1. 列表法规范：行表头与列表头分别对应两步试验的所有可能结果，表中交叉格填写事件结果。
2. 树状图分层：按试验顺序分层画出，每层分支数等可能，最后一行列出所有结果路径。
3. 放回与不放回：放回试验第二次结果数与第一次相同；不放回试验第二次结果数少一个，注意区分。
4. 计数与约分：数清总结果数n和所求结果数m，概率P= mn，结果化为最简分数。
小华小丽
①
②
③
④
①
①①
①②
①③
①④
②
②①
②②
②③
②④
③
③①
③②
③③
③④
④
④①
④②
④③
④④
甲
乙
1
2
3
4
1
－
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
－
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
－
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
－
移植总数
40
150
300
500
700
1000
1500
成活数
35
134
271
451
631
899
1350
成活的频率
0.875
0.893
0.903
0.902
0.901
0.899
0.900
考向解读
1. 频率稳定性：主要考查大量重复试验中，事件频率逐渐稳定于某个常数，该常数即为概率的估计值。
2. 估算数量：常考利用频率估计总体数量，如估算鱼塘中鱼的总数、袋中球的总数等，运用比例关系求解。
3. 试验设计与分析：结合模拟试验（如摸球、掷币、转转盘），分析试验数据，估计随机事件发生的概率。
4. 误差分析：考查试验次数对估计精度的影响，次数越多估计越准确，理解频率与概率的区别与联系。
方法技能
1. 大量试验趋稳：频率估计概率的前提是试验次数足够多，数据稳定时方可作为概率估计值。
2. 比例关系建模：估算总数时，利用“样本频率 ≈ 概率”列比例式频数总数=样本数总体求解。
3. 数据取整处理：估算结果若为小数，结合实际情境取整数（如鱼的数量、球的个数）。
4. 理解近似本质：频率是试验值，概率是理论值，二者可能不相等，但大量试验下频率接近概率。
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
正
反
正
正正
正反
反
反正
反反
考向解读
1. 概率计算基础：主要考查用列举法（列表、树状图）求各方获胜的概率，要求准确列出所有等可能结果。
2. 公平性定义：判断游戏公平的标准是参与游戏的各方获胜概率是否相等，常需分别计算并比较。
3. 规则修改设计：若游戏不公平，常考设计新的计分规则或调整胜负条件，使双方概率相等。
4. 综合应用：常与代数、统计图表结合，考查学生分析问题和方案设计能力。
方法技能
1. 先求各方概率：用列表或树状图列出所有等可能结果，分别统计各方获胜的结果数，计算概率。
2. 比较判公平：若 \(P_1 = P_2\) 则公平，否则不公平。比较时注意概率值需化为最简形式。
3. 修改规则策略：调整得分值（如胜方得分与概率成反比）或改变获胜条件，使期望得分相等。
4. 检验新规则：设计新规则后，务必重新计算概率或期望，验证是否真正达到公平。
球1
球2
红1
红2
绿
红1
（红2，红1）
（绿，红1）
红2
（红1，红2）
（绿，红2）
绿
（红1，绿）
（红2，绿）
组别
成绩/分
频数（人数）
1
10
2
3
35
4
25
5
调查问卷
年 月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选)
A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
考向解读
1. 图表信息提取：主要考查从统计图（表）中读取数据，结合频数、频率等计算概率，如随机抽一人是某类的概率。
2. 统计量+概率：常考先求平均数、众数等统计量，再结合概率知识分析数据特征或进行预测。
3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体概率，进而估算总体中某类事物的数量或比例。
4. 决策与判断：根据统计结果和概率大小，对实际问题作出合理决策或评价方案的优劣。
方法技能
1. 数据互推基础：由统计图表先求出样本总数，再由频数算频率，频率即为概率的估计值。
2. 概率公式应用：随机抽取概率P= 某类频数样本总数，注意抽取方式是否放回对概率的影响。
3. 估计总体方法：总体中某类数量 = 总体总数 × 样本中该类频率，估算结果结合实际取整。
4. 多角度分析：既要看统计数据反映的整体趋势，又要结合概率分析随机性，全面回答问题。
甲\乙
A
B
C
A



B



C



数学
英语
语文
物理
数学
（数学，英语）
（数学，语文）
（数学，物理）
英语
（英语，数学）
（英语，语文）
（英语，物理）
语文
（语文，数学）
（语文，英语）
（语文，物理）
物理
（物理，数学）
（物理，英语）
（物理，语文）
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数（万人）
2
3
4
3
2
3
1
分数
0
1
2
3
4
5
人数
4
7
10
8
甲乙
A
B
C
D
A
——
B
——
C
——
D
——
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
横坐标纵坐标
1
2
3
4
1
2
3
4
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
88
90
10.3
九年级
88
94
11.0
平均数
众数
中位数
一组团
46.2
a
b
二组团
46.2
40
c
组别
跳绳次数分段
频数
70
76
34
男1
男2
女1
女2
男1
男2，男1
女1，男1
女2，男1
男2
男1，男2
女1，男2
女2，男2
女1
男1，女1
男2，女1
女2，女1
女2
男1，女2
男2，女2
女1，女2
中午放学后家长接送孩子情况调查问卷
尊敬的家长：
您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选）
1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ）
A．步行 B．自行车 C．电动自行车
D．私家车 E．公共交通
2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ）
A．11：50﹣12：00
B．12：00﹣12：10
C．12：10﹣12：20
D．其他时段