2025-2026学年下学期江苏淮安高中校协作体高二数学2026年4月学情调试卷含答案

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1. C42+C43 的值为
A. 5 B. 8 C. 10 D. 36
2. 四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为
A. 8 B. 12 C. 18 D. 24
3. 若向量 a 与 b 不共线，且 m=a+b ， n=a−b ， p=a ，则
A. m,n,p 共线 B. m 与 p 共线
C. n 与 p 共线 D. m,n,p 共面
4. 已知 Cn0−4Cn1+42Cn2−43Cn3+⋯+−1n4nCnn=729 ,则 n 的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 在四面体 OABC 中, OA=a,OB=b,OC=c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 是 BC 的中点，则 MN=
A. 12a+12b−12c B. −23a+12b+12c
C. 12a−23b+12c D. 23a+23b−12c
6. 长时间玩手机会影响视力. 据调查，某学校学生中，大约有 15 的学生每天玩手机超过 1 小时,这些人近视率约为 23 ,其余学生的近视率约为 13 . 现从该校随机调查一名学生, 他近视的概率大约是
A. 15 B. 25 C. 76 D. 12
7. x2+2x+1x5 的展开式中, x3 的系数为
A. 11 B. 15 C. 20 D. 25
8. 空间直角坐标系 O−xyz 中,过点 Px0,y0,z0 且一个法向量为 n=a,b,c 的平面 α 的方程为 ax−x0+by−y0+cz−z0=0 ,阅读上面材料,解决下面问题: 已知平面 α 的方程为 2x−y−z=2 ,点 M−1,2,2 ,则点 M 到平面 α 距离为
A. 463 B. 4
C. 566 D. 263
二. 选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对于 1≤m≤n,m,n∈N+ 关于下列排列组合数关系式,结论正确的是
A. Cnm=Cnn−m B. Cn+1m=Cnm−1+Cnm
C. Anm=mAn−1m−1 D. mCnm=nCn−1m−1
10. 甲箱中有 2 个红球和 2 个白球, 乙箱中有 2 个红球和 2 个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件 A1 和 A2 表示从甲箱中取出的球是红球和白球; 再从乙箱中随机取出两球,用事件 B 表示从乙箱中取出的两球都是红球,则
A. PA1=12 B. PB=15
C. PB∣A1=310 D. PA2∣B=120
11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图 1 ，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合，这个组合再转换成图 3 所示的几何体. 若图 3 中每个正方体的棱长为 1,则

图1

图2

图3
A. CG+2PF=2AA1
B. 平面 CQG⊥ 平面 PEF
C. 异面直线 CQ 与 BD 所成角的余弦值为 36
D. 直线 CQ 与平面 A1B1C1D1 所成角的余弦值为 23
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 l 的方向向量为 t,2,4 ,平面 α 的法向量为 12,1,2 ,若直线 l⊥α ,则实数 t 的值为_____.

13. 用 5 种不同的颜色给图中 A,B,C,D 四个区域涂色,规定每个区域只涂 1 种颜色, 且有临边的区域颜色不能相同, 则不同的涂色方法种数为_____.
14. 已知四棱锥 P−ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形， Q 为 PA 的中点,经过直线 CQ 的平面与侧棱 PB,PD 分别交于点 M,N .设 PM=λPB,PN=μPD . 若 λ=34 ，则 μ= _____.
四. 解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演 算步骤.
15. 3 个男生与 3 个女生站成一排.
(1)若要求 3 个男生互不相邻，有多少种排法?
(2)若要求男生甲必须站在男生乙的左边(不一定相邻)，有多少种排法？
(3)若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？
16. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ，底面 ∡BCD 为直角梯形， ∠CDA=∠BAD=90∘,AB=AD=2DC=22,E,F 分别为 PD,PB 的中点.

(1)求证: CF// 平面 PAD ；
(2)若截面 CEF 与底面 ABCD 所成锐二面角为 π4 ，求 PA 的长度.
17. 在 mx+1nm∈R,n∈N+ 的展开式中,最后三项的二项式系数之和等于 29, 第五项系数为 358 .
(1)求 n 和 m 的值；
(2)若 mx+1n=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an .
(i) 求二项式系数最大的项;
(ii) 求 na0−n−1a1+n−2a2−⋯−1n−1an−1 的值.
18. 某大学进行强基计划测试, 已知有 6 名学生进入最后面试环节, 且这 6 名学生全都来自 A. B. C 三所学校，其中 A. B. C 三所学校参加面试的学生人数比为 3:1:2. 该大学要求所有面试学生面试前到场,并随机给每人安排一个面试号码 kk=1,2,3,⋯,6 , 按面试号码 k 由小到大依次进行面试.
(1)求面试号码为 2 的是 A 校学生的概率；
(2)求 A 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A 校所有参加面试的学生完成面试, B.C 两校都还有学生未完成面试) 的概率.
(3)求前四个面试中有两个是 A 校学生的条件下，B 组学生最后一个面试的概率.

19. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 平面 PAB⊥ 平面 ABCD,ΔPAB 是边长为 23 的等边三角形, E 为侧棱 PB 的中点, F 为线段 BC 上一点.
(1)证明:平面 AEF⊥ 平面 PBC ；
(2) 若 F 为 BC 中点.
(i) 求异面直线 AF 与 PC 的距离;
(ii) 求四棱锥 P−ABCD 的外接球被 ΔAEF 所在的平面截得的圆的面积.
高二年级 2025-2026 学年度第二学期四月学情调研 数学试卷参考答案
一. 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. C 2. B 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A
二. 选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. ABD 10. ABC 11. AB
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1 13. 260
14. 35
四. 解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演 算步骤
15. 解: (1) A33A43=144 ; -4 分
(2) A66A22=360 ； -8 分
(3) C41A44A22=192 . -13 分
16. 解: (1) 证明: 取 PA 的中点 Q ,连接 QF,QD ,
∵F 是 PB 的中点, ∴QF//AB ,且 QF=12AB .
∵ 底面 ABCD 为直角梯形, ∠CDA=∠BAD=90∘ ,
AB=AD=2DC=22,∴CD//AB,CD=12AB ,
∴QF//CD ,且 QF=CD .
∴ 四边形 QFCD 是平行四边形, ∴FC//QD . -3 分
又 ∵FC⊄ 平面 PAD,QD⊂ 平面 PAD ,
∴FC// 平面 PAD . -6 分
(2)解:如图，分别以 AD,AB,AP 所在直线为 x 轴. y 轴. z 轴建立空间直角坐标系,设 PA=aa>0 ,则 A0,0,0,B0,22,0,C22,2,0 , D22,0,0,E2,0,a2,F0,2,a2, -8 分取平面 ABCD 的一个法向量为 n1=0,0,1 . -11 分 CE=−2,−2,a2,CF=−22,0,a2,

设平面 CEF 的法向量为 n2=x,y,z ,则有 CE⋅n2=0,CF⋅n2=0, 即 −2x−2y+a2z=0,−22x+a2z=0,
不妨取 z=42 ,则 x=a,y=a ,即 n2=a,a,42 , -12 分
∴csn,n=n,nn,n2=422a2+32=22 , -14 分
解得 a=4 ，即 PA 的长为 4 . -15 分
17. 解: (1) Cnn−2+Cnn−1+Cnn=29 ,解得 n=7 , -3 分 T5=C74mx3 ,则 C74m3=358 ,解得 m=12 . -5 分
(2)因 n=7 ，则二项式系数最大项为第 4 项与第五项， -6 分 T4=C7312x4=3516x4, -8 分 T5=C7412x3=358x3. -10 分
(3) 12x+17=a0x7+a1x6+a2x5+⋯+a7 ，求导得
7212x+16=7a0x6+6a1x5+5a2x4+4a3x3+3a4x2+2a5x+a6 -12 分
令 x=−1 得 7a0−6a1+5a2−4a3+3a4−2a5+a6=7128 , -14 分
即 na0−n−1a1+n−2a2−⋯−1n−1an−1=7128 . -15 分
18. 解: (1) P=36=12 ; -4 分
(2) P=A33A33+C32C21A33A22A66=320 ; -10 分
(3)记“前 4 个面试有两个 A 校学生”为事件 M，“B 组学生最后一个面试” 为事件 N， 则 PM=C32C32A44A22A66=35 , -13 分
PMN=C32C22A44A66=110, -16 分
则 PN∣M=PMNPM=16 . -17 分
19.【详解】(1) ∵ 平面 PAB⊥ 平面 ABCD ,平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB,BC⊥AB , 且 BC⊂ 平面 ABCD ,则 BC⊥ 平面 PAB , -2 分
因 AE⊂ 平面 PAB ,则 BC⊥AE ,又 PA=AB,PE=EB ,则 AE⊥PB ,
因 PB∩BC=B,PB,BC⊂ 平面 PBC ,则 AE⊥ 平面 PBC ,
又 AE⊂ 平面 AEF ,故平面 AEF⊥ 平面 PBC . -4 分
(2)由 EF// 平面 PCD ，平面 PDC∩ 平面 PBC=PC ， EF⊂ 平面 PBC ，则 EF//PC 故 F 为 BC 的中点，取 AB 的中点 O ，连接 OP ， OP⊥AB ，
则 BC⊥ 平面 PAB ,因 OP⊂ 平面 PAB ,则 BC⊥OP ,
BC∩AB=B,BC,AB⊂ 平面 ABCD ,所以 OP⊥ 平面 ABCD -6 分
故可以 O 为坐标原点, OB,OP 所在直线为 x,z 轴,过 O 作 BC 的平行线为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ,

由题意, P0,0,3,A−3,0,0,B3,0,0 ,
C3,23,0,E32,0,32,F3,3,0, 7 分
AF=23,3,0,PC=3,23,−3,
设 n=x,y,z 与 AF,PC 向量都垂直,则
23x+3y=0,3x+23y−3z=0,令x=1得n=1,−2,−3, -9 分
FC=0,3,0,
则异面直线 AF,PC 的距离 d=−238=62 . -11 分
(3)由底面 ABCD 为正方形，设 P−ABCD 外接球球心为 O0,3,t ， 由 OB=OP 得 3+3+t2=3+t−32 ,得 t=1 ,
则球半径 R=7 , -13 分
由(2)知平面 AEF 的法向量为 1,−2,−3 ， -14 分
则球心 O 到平面 AEF 距离为 d1=238=62 , -15 分
则球 O 截平面 AEF 所得圆的半径 r2=7−64=112 , -16 分则截面圆面积为 11π2 . -17 分