广西壮族自治区玉林市北流部分校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西壮族自治区玉林市北流部分校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 在中，若，则的形状一定是， 以下四种说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直接求解.
【详解】因为，，
所以.
故选:D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】复数z满足,
故，
故.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得.
【详解】因为，两边平方得，
整理得，所以.
故选：A.
4. 在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，可知，
所以.
故选：A
5. 若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，
故.
故选:D.
6. 在中，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 不含的直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论.
【详解】由和正弦定理，可得，
因，代入上式，化简得：，
即，故得或，
当时，，所以，此时是直角三角形；
当时，，又，，
则或（舍去），此时为等腰三角形.
综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.
故选：B.
7. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ）

A. 10 mB. 10mC. 10mD. 10m
【答案】D
【解析】
【分析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案.
【详解】解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10（m）.
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）.
故选：D.
8. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】在边长为2的正方形中，，
设，，
而，因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 以下四种说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为
B.
C. 若为纯虚数，则
D. 若复数，则在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的定义，复数的运算法则，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，逐项判断，即可求解.
【详解】对于A，复数的虚部为，所以A错误；
对于B，由复数的运算法则，可得，所以B正确；
对于C，由复数为纯虚数，则满足，
解得，所以C正确；
对于D，若复数，可得，
则在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D错误.
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数向右平移个单位长度后可得到的图象
【答案】ABC
【解析】
【分析】观察图象确定函数的最值，利用最值求出判断选项A，观察图象确定函数的最小正周期判断B，并利用最小正周期与的关系求出，由特殊点坐标求出的值，可得的解析式，根据正弦函数对称性判断C，再利用函数的图象变换判断D．
【详解】对于A，观察函数的部分图象，
可得函数的最大值为，最小值为，又，故，A正确；
对于B，设函数的最小正周期为，
观察图象可得，故，B正确
又，所以，故，
由，可得，
故，，又，
，所以，
对于C，令，，可得，，
取可得，
所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D错误.
11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ）
A.
B. 当为中线时，
C. 当为高线时，
D. 当为角平分线时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D.
【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确；
因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，则，则，
在中利用余弦定理可得，，
则，
当为中线时，，则，
即，得，故B正确；
当为高线时，，得，故C错误；
当为角平分线时，则，
由，得，
则，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，
所以，设非零向量的夹角为，
根据题意可得，
且，所以．
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，结合诱导公式，即可求解.
【详解】因为，则.
14. O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____
【答案】
【解析】
【分析】结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：

易知，所以，
因此可得三点共线，
易知与的公共边为，设点到边的距离为，
可知到边的距离为，到边的距离为，
所以.
故答案为：
四､解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模；
（2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角.
【小问1详解】
由题知，，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题知，，，
设向量与向量的夹角为，
所以，即，
解得，因为，所以
所以向量与向量的夹角为.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，，，的面积为，求边的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.
【小问1详解】
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，
又为的内角，则
故，
所以，所以.
设角所对边分别为，
因为，由正弦定理得.①
因为三角形的面积为，所以.②
由①②解得：，
由余弦定理得，
所以.
17. 已知在中，为中点，.
（1）若，求；
（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
【答案】（1）
（2）点为线段的中点
【解析】
【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；
（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
因为，所以，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
【小问2详解】
因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，解得，此时点为线段的中点.
18. 记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合正弦定理进行化简，进而求出.
（2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的范围即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，由正弦定理得：，
所以，又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，即.
【小问2详解】
由正弦定理得，所以，
所以，
又，
得，
因为为锐角三角形，即，
所以，，
即，，
则，所以的周长的取值范围为.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，求BC边上的高的最大值．
（3）若的垂心为M（M在的内部），直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理得，再由余弦定理求；
（2）由(1)中的结论可求得，运用基本不等式可得，即可求面积的最大值,据此求出高的最大值；
（3）根据为的垂心求得，利用正弦定理求得，，
结合辅助角公式可求其取最大值时的值.
【小问1详解】
，由正弦定理得，即．
由余弦定理得．
【小问2详解】
由，得．
由（1）可得，得，
当且仅当时，等号成立，
所以．故面积的最大值为10,
设BC边上的高为，又，
所以，即时，BC边上的高有最大值.
【小问3详解】
如图，

设．
在中，．
在中，由，得．
在中，，
由正弦定理得，
得，
所以，
其中，
当时，取得最大值，此时，
得．