广西壮族自治区玉林市玉林市容县高中、北流高中、博白县三校联考2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区玉林市玉林市容县高中、北流高中、博白县三校联考2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 正三角形中是线段上的点，，则， 若向量，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐个判断向量是否共线可得.
【详解】对于A，，两向量共线，故A错误；
对于B，，两向量共线，故B错误；
对于C，，两向量共线，故C错误；
对于D，设，即，方程组无解，即两向量不共线，故D正确.
故选：D
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个非零向量共线，则必在同一直线上
B. 若与共线，与共线，则与也共线
C. 若则
D. 若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或
【答案】D
【解析】
【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C.
【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确；
若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错；
若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错；
由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错.
故选：D.
3. 在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量、表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形重心关系有，，即可化简得解.
【详解】在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，
所以，
.
故选：B
【点睛】此题考查平面向量的基本运算，根据加法法则减法法则和数乘运算进行化简，熟记常见的几何结论的向量表示对于解题能够起到事半功倍的作用.
4. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0且不反向，由此列出不等式求解即可.
【详解】因为向量与的夹角为钝角，
所以且，即且，
即实数的取值范围是，
故选：C.
5. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A 矩形B. 梯形C. 平行四边形D. 菱形
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形.
【详解】由，得，
所以，
可得且.
所以四边形一定是梯形．
故选：B
6. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（ ）
A. B. 5NC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可．
【详解】由题意得，，
所以，
故选：C．
7. 正三角形中是线段上的点，，则（ ）
A. B. 6C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的基本运算，结合数量积公式求解即可.
【详解】由题意，
.
故选：C
8. 在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 若向量，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D. 与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项.
【详解】由题，
所以，故A错；
又，故B正确；
，所以在上的投影向量为：，故C正确；
因为，又，所以，故D错误.
故选：BC.
10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D.
【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则，
又由正弦定理可得，故A说法正确；
选项B，若，则由正弦定理边化角可得，
即，所以或，整理得或，
所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；
选项C，因为，所以由正弦定理可得，
所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确；
选项D，若，则由正弦定理角化边可得，
所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误；
故选：BD
11. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A. B. 直线过边的中点
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.
【详解】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，
所以，C正确；
若，且，
所以，
而，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，是单位向量，与的夹角为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义求，然后再根据向量的平方等于向量模的平方求.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13. 已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，再根据向量的坐标公式与求解即可.
【详解】设，由，即，可得，
即，解得，即.
故答案为：
14. 在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可．
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，

∵，
∴有，
∴，
设，
因此有，
∵，
∴有，而，
∴，
当时，有最大值，当有最小值0，
∴的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长.
（2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.
【小问1详解】
因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以.
【小问2详解】
由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角.
16. 在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求；
（2）若，且，则的面积为，求、.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求的值；
（2）由题意利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立方程即可求解，的值.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得：，
所以，
可得：，
因为，所以，
所以，
因为，所以
小问2详解】
因为，且，则的面积为，
所以，
又由余弦定理可得：，
所以，
由，解得：，或
因为，所以
17. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.
（1）若，，三点共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为，求的值；
（3）若四边形为矩形，求点坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值．
（2）利用向量的夹角公式即可求解.
（3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标．
【小问1详解】
向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，
即，解得；
【小问2详解】
，
解得，
【小问3详解】
设，
由，，
，
，
若四边形为矩形，则，
即，解得；
由，得，
解得，
故
18. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）
（1）求面积；
（2）求点之间的距离．
【答案】（1）;
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；
（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.
【小问1详解】
在 中，，，所以．
由正弦定理：，得，
所以,
，
所以 的面积为．
【小问2详解】
由，，得，且,
．
在 中由余弦定理，得
,
所以．
即点C，D之间的距离为．
19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
（1）求B及a，c；
（2）若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题得，再结合三角形面积公式和余弦定理即可得到答案；
（2）设内切圆的圆心为，半径为，根据内切圆半径公式得，代入数据有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
小问1详解】
由，得，又
，解得
，或
由余弦定理，
得，
当时，，又，所以，，
当时，，矛盾
所以，，
【小问2详解】
设△内切圆的圆心为，半径为，由（1）知：△ABC为等边三角形，
则，
从而（其中指的周长），
，
，
，则
，
又，当且仅当等号成立
，
，当且仅当时等号成立，.
即内切圆半径的最大值为
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用三角形内切圆半径公式，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值.