2024_2025学年_福建福州台江区高二第一学期11月期中考试数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建福州台江区高二第一学期11月期中考试数学试卷[附解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．25B．5C．4D．3
2．已知向量，，则的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为第二象限角﹐且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知奇函数的导函数为，若在上是减函数，则不等式的解集是（ ）
A．或x>2B．
C．或x>1D．
5．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
7．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）.

A．样本在区间内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
10．已知，点到直线：的垂足为，，，则（ ）
A．直线过定点B．点到直线的最大距离为
C．的最大值为D．的最小值为
11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数记作，则满足有两个零点的概率是 ．
13．在直三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点，则点在三棱柱内的概率为 .
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为 ．

①点C到平面的距离等于；
②与平面所成角的正弦值为；
③堑堵外接球的表面积为；
④堑堵没有内切球．
四、解答题（本大题共5小题）
15．(本题满分14分)
已知点是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.
（Ⅰ）求证：EO⊥平面AFC；
（Ⅱ）试问在线段DF(不含端点)上是否存在一点R,使得CR∥平面ABF,若存在,请指出点R的位置；若不存在,请说明理由.
16．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）已知函数为上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
17．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.
18．如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.

(1)求证：平面平面；
(2)若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.
19．已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.
(1)对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，；
(2)求证：不可能为18；
(3)求的最大值以及的最小值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】；
故选：B.
2．【正确答案】B
【详解】，又，
所以的夹角为.
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】，又为第二象限角，，，
.
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】因为函数是奇函数，所以导函数是偶函数，
所以，等价于
因为在上是减函数，
所以，解得： ，
即不等式的解集是.
故选：D
5．【正确答案】C
【详解】设函数为单调递增函数，
故，
所以“”是“”的充要条件，
故选C.
6．【正确答案】B
【详解】令,可得．
设
根据题意与直线只有两个交点，
不妨设，结合图形可知，当时如右图，
与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得，即，此时，
，
同理可得，当时如左图，，
故选：B．
7．【正确答案】D
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示
因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
8．【正确答案】D
【详解】取中点，连接，如图，
因为，所以，
所以在中，，，，
所以，
设外接圆圆心为，半径为，则，即；
同理可得：，的外接圆半径也为2，
因为，所以是等边三角形，
则，即二面角为，
球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，
所以在中，，
所以，即，
所以外接球的表面积．
故选：D.
9．【正确答案】AB
【详解】由图可得
样本在区间内的频数为，故A正确；
年收入在300万元以内的企业频率为，故B正确；
则中位数在之间，
设为则，故C不正确；
年收入平均数超过，D不正确.
故选：AB.
10．【正确答案】AB
【详解】已知， 则，故直线过定点，正确；
设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确；
过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆，
而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为，
又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误．
故选：．
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】/
【详解】解：在这五个数中，任取两个不同的数记作是（1,2）、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(3,1)、(4,1)、(5,1)、……(4,5)、(5,4)共有20种情况，
函数有两个不同零点，即方程有两个不相等实数根，
即，满足有（5,4）、（5,3）、（5,2）、（5,1）、（4,3）、（4.2）、（4,1）（3,2）、（3，1）共9种；所以所求概率.
故
13．【正确答案】
【详解】设，则，由题意可知三棱柱是正三棱柱，如图所示，为正的中心，为外接球的球心，
则该三棱柱的体积.
因为是等边三角形，且，，所以外接圆的半径.
设三棱柱外接球的半径为，有，，，
由平面，则，即，从而，故该三棱柱外接球的体积.
由几何概型可知所求概率.
故
14．【正确答案】①④
【详解】如图所示：

由于垂直于平面，在平面内，所以.
而，所以有平行四边形，从而四边形是矩形.
对于①，由于四面体的体积，
同时，
所以，这表明矩形的面积为，
从而三角形的面积.
设点C到平面的距离为，则有，
从而，①正确；
对于②，由于，，在平面内，
所以与平面所成角的正弦值为，②错误；
对于③，记长方体的中心为，
则到长方体的每个顶点的距离都是体对角线长的一半，即.
故以为球心，半径为的球同时经过堑堵的每个顶点，
故是堑堵的外接球，
从而堑堵的外接球表面积，③错误；
对于④，假设堑堵有内切球，设该内切球的球心为，半径为，
则在堑堵内部，且到堑堵的每个面的距离都是.
所以堑堵的体积等于四棱锥、四棱锥、三棱锥和三棱锥、四棱锥的体积之和，
记矩形、矩形、三角形和三角形、矩形的面积分别为，
则，，，，.
同时，堑堵是对长方体一分为二得到的，
故堑堵的体积是长方体的一半，
从而堑堵的体积，这就说明：
.
但是到平面和平面的距离相等，且平面和平面是长方体的一组对面，
故它们平行，且距离为.
所以到平面和平面的距离都等于平面和平面距离的一半，
从而.
这就导致了矛盾，所以堑堵不存在内切球，④正确.
故①④.
15．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析.
【详解】【分析】（1）通过证线面垂直，证明AC⊥EO，通过计算证明EO⊥OF，然后得到EO⊥平面AFC
（2）若CR∥平面ABF，又CD∥平面ABF则平面CDF∥平面ABF，得出矛盾
【详解】证明：（1）连结FO，设AB=BF=2DE=2a，则DO=OB=a，
所以EO=a，FO=a，EF=3a。
在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分）
又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC，
所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分）
由AC平面AFC，FO面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC …………（7分）
（2）找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF …………（9分）
假设存在这样的点R，使得CR∥平面ABF，因为点R与点D不重合，所以CD与CR相交，又CD∥平面ABF， CR∥平面ABF，CD平面ABF，CR∥平面ABF，
所以平面CDF∥平面ABF …………（12分）
而平面ABF与平面CDF有公共点F，所以平面ABF与平面CDF必定相交矛盾，
所以，找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF …………（14分）
16．【正确答案】（1）（2）
【详解】（1）因为是R上奇函数，所以，
即此时，
因为成立，所以
（2）因是奇函数，从而不等式：
等价于
因为减函数，由上式推得.
即对一切有：
从而判别式
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）在四棱台中, 延长后必交于一点，故共面，
因为平面,平面,
故,
连接，因为底面四边形为菱形，故,
平面,
故平面,因为平面,
所以；
（2）过点A作的垂线作为x轴，交与N点，以分别为y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设，则，
由于，故,
则,
设，
则，， ，
记平面的法向量为,则,
即，令，则，即，
平面的法向量可取为，
由于平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
则，
解得 ，
当M与N点重合时，平面垂直于平面，
由于平面与平面所成角为锐二面角，故，
所以,故.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）的中点为中点，，又，可得，
又直圆柱的上、下底面圆心分别为平面
平面.
且平面平面；
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过作轴//，建立如图所示空间直角坐标系.
则，
所以，
设，
；
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
，
令，则时，，
.

19．【正确答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)的最大值为17，的最小值为16.
【详解】（1）数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，
对任意的，若，则，且，
设集合，
集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，
因为，
，
所以，，.
（2）假设，
设，
则，
即，因为，所以，
同理，设，可以推出，
中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，
故，
所以不可能为18.
（3）的最大值为，的最小值为16.
①首先求，由（2）知，而是可能的.
当时，
设
则即，
又
得，即.
同理可得.
对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4
此时，，，满足题意.
所以的最大值为17；
②现证明：的最小值为16.
先证明为不可能的，假设.
设，
可得，即，元素最大值为10，所以.
又，
同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以.
数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，
，，，中元素的最大值为16.
所以的最小值为16.