2026年高考考前预测卷：数学（全国一卷03）（全解全析）

这是一份2026年高考考前预测卷：数学（全国一卷03）（全解全析），共19页。试卷主要包含了设是周期为的奇函数，当时，，则，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（新考法）设集合，，若含有4个元素，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】根据集合元素的互异性可知，，.
因为含有4个元素，所以仅含有1个元素，
若，则或，所以或.
若，则.结合集合元素的互异性可知或.
当时，，，，符合题意.
当时，，，，不符合题意.
综上，.
2．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（ ）
A．，1B．2，1C．，iD．2，i
【答案】B
【解析】由题意可得，
则复数z的实部和虚部分别是2，1.
故选：B.
3．（热点）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，依题意，，
所以的离心率.
故选：B
4．（新考法）“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的图象关于对称，
则，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故选：A.
5．设是周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是周期为的奇函数，且时，，
所以．
6．（新情境）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点，
设，则，
所以，解得，，
所以点的坐标为，故选：D.
7．（改编）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．14D．35
【答案】A
【解析】设弦中点为，根据圆的性质，，
，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为.
因为，所以，
的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2.
，
.故选A.
8．（热点）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，
所以为奇函数.
，因为，所以，
所以在上单调递增.
由，所以，
所以；
由，所以，
即，因为为奇函数，
所以，所以，
所以，又在上单调递增，
所以，即.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ）
A．圆柱的侧面积为B．三棱锥的体积为
C．圆柱的外接球的表面积为D．平面
【答案】BCD
【解析】对于A，圆柱的侧面积，故A错误；
对于B，由题意得，且
所以，故B正确；
对于C，取的中点，连接，易求得，
即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确；
对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以，
又，所以，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面，故D正确．
故选：BCD．
，
10．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则（ ）
A．
B．
C．直线与轴有公共点
D．的面积为4
【答案】AD
【解析】抛物线的焦点为，准线为.
选项A：由抛物线的定义知，，解得，故A正确.
选项B：由A知，.
因为点在上，所以，解得，故B错误.
选项C：焦点，，所以直线是垂直于轴的直线，与轴没有公共点，故C错误.
选项D：，，
因为轴，所以，故D正确.
11．（新热点）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由图可得，函数的最小正周期，又，所以，
则，由，得，，
解得，，又，所以，故A正确；
由上分析，得故，因为，
故函数的图象关于点对称，故B正确；
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为，
令，，解得，，
故函数的单调递减区间为， ，
则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误；
当时，则，
要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，
需使，解得，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的解集为 ，则 的解集为 ______．
【答案】
【解析】由题干知，不等式 的解集为 ，
可得到，代入一元二次不等式得
，
由于，所以，即 .
13．（新考法）在三角形ABC中，，设，，则________.
【答案】
【解析】记 ，则，
因为，所以，所以
14．（新情境）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____.
【答案】 36
【解析】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者，
故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中,
故共有（种）分配方法.
的可能取值为1，2，且，，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（新情境）（本小题满分13分）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占.
(1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
附：.
【解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为，
因此：，解得：…………2分
下四分位数即第百分位数，计算累计频率
频率，累计；频率，累计；
频率，累计；频率，累计。 ………………………………………4分
，因此第百分位数在区间内，
计算得： …………………………6分
（2）零假设：认真完成作业与成绩无关
…………………………7分
，因为，……………9分
依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001， ………………………………………11分
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. ……13分
16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，若，且．
(1)证明：为等差数列，并求．
(2)若，数列的前项和，求证：．
【解】（1）， ………………………………………3分
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， …………………………………5分
所以； ……………………………………8分
（2）， ………………………………10分
． ………………………………15分
17．（本小题满分15分）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且．
(1)设平面与平面的交线为，证明：；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的余弦值．
【解】（1）由，，
得四边形为平行四边形，则， ………………………………………1分
而平面，平面，则平面， ………………………………………2分
又平面平面平面，所以. ……………………………………3分
（2）由，
得，即得， ………………………………………4分
由四边形是正方形，得，则， ………………………………………5分
而平面，所以平面. ……………………………………6分
（3）由（2）得，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，， …………8分
设平面的一个法向量，则，
取，得， ………………………………………10分
设平面的一个法向量，则，
取，得， ……………………………………12分
因此， ……………………………………14分
由图形知二面角的大小为钝角，
所以二面角的余弦值为. ……………………………………15分
18．（新考法）（本小题满分17分）已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6．
(1)求的方程；
(2)记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）．
（i）求的面积的取值范围；
（ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
【解】（1）设的焦距为，
由题意可知， ………………………………………2分
所以，
所以椭圆的方程为； ………………………………………4分
（2）（i）由（1）得，设，
由题得直线的斜率不为零，设
由，得， ………………………………………5分
所以，
, ……………………6分
则, …………………………7分
令，则， ……………………………………8分
因为在上单调递增，所以，
所以的面积的取值范围为； ………………………………………10分
（ii）由题意可得直线的斜率均存在且均不为0，
由直线和，得，
即，同理， ………………………………………11分
易得以为直径的圆的方程为， ……………………12分
即，
而
， ………………………………………14分
，

故以为直径的圆的方程为， ………………………………………16分
令，得，
故以为直径的圆恒过定点和． ………………………………………17分
19．（本小题满分17分）已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
【解】（1）．………………………………………1分
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；………………………………………3分
所以，在上单调递增，在上单调递减． ………………………………4分
（2）由题可知存在，使得成立，
∵时，，故存在，使得．……………………5分
令，其中， ………………………………………6分
，………………………7分
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，故． ………………………………………9分
（3）． ………………………………………10分
证明：由可得，
令，则．……………………………………11分
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减， ……………………12分
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，，
同理可得，
且， ………………………………………14分
因为，所以，
因为，所以，
所以，
………………………………………16分
因为函数在上单调递减，
故，即,
取，则, …………………………………………17分
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀