2026年高考考前预测卷：数学（浙江卷03）（全解全析）

这是一份2026年高考考前预测卷：数学（浙江卷03）（全解全析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，
，
所以，．故C选项正确.
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性分析：，，，
，，故充分性成立；
必要性分析：，，
，，
，，，故必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件
3．已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A．1或2B．1或4C．2或4D．4
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为,
当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时；
当公比时 等比数列前项和公式为，代入得： ,
整理得，令，则,解得（对应舍去）或，
因此.
综上所述，或.
4．（新情境）根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，该船空船时不受水深影响，设卸货前的吃水深度为，在时的安全水深为，
则，令，求导得，
如图，
当直线与曲线相切时，达到最大值，
此时，则，由，得，解得或，
当时，，，解得，而，不符合题意；
当时，，，解得，符合题意，
所以其卸货前的吃水最大深度约为，对比选项可知C选项最接近.
5．（热点）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设向量，则，
，，
联立解得，或，，所以或.
当时，，
当时，，
，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
6．已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由母线与底面所成角是60°，知，，
所以侧面积为．
设挖去的圆柱底面半径为，高为，要圆柱体积最大，
首先有，所以，
圆柱的体积，，
则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得最大值，最大值为．
7．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以.
因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与轴交于点N，所以，且，
所以设是圆与双曲线的交点，所以或
解得或或或，
所以四等分点的坐标为,
把代入中，得，
解得，所以双曲线C的离心率.
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，可知，，，
∵，
，
，
，
∴，
令，则，
∵，
令，
∵，
∴，
即对于任意的，恒有，
∴在上单调递增，
∴.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则下列选项正确的有（ ）
A．B．的共轭复数为
C．为实数D．在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【详解】由题意，
对于A：，故A正确；
对于B： 的共轭复数为，故B错误：
对于C：，为实数，故C正确；
对于D：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4
B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D．若随机变量服从正态分布，且，则
【答案】BD
【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5，
第百分位数是第5个数5，故A错误；
选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确；
选项C：独立性检验中，在的显著水平下，
无法判断与有关联，故C错误；
选项D：正态分布关于均值对称，，
已知，则，
由对称性可知，
，故D正确．
11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A．点的轨迹经过线段的中点
B．点的轨迹长度为
C．三棱锥的体积为定值
D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为
【答案】ACD
【详解】如图，取的中点，连接，，易知，
又平面，平面，所以平面.
又是中点，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，
所以点的轨迹为线段（不含端点）.
对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为平面，点是棱的中点，
则，所以C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，
则，设，球心，半径为，
由，得到，解得，，
所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______．
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，令直线上为圆心的点为，
以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则，即，
依题意，存在以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则点到直线的距离不大于2，
因此，即，解得，
所以k的取值范围是.
13．已知，则______.
【答案】/
【详解】由题可得，
，
所以.
14．（新情境）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.
【答案】
【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，
所以，
若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.
(1)求的值；
(2)若的外接圆半径为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为成等差数列，所以.
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.
由余弦定理可得；（5分）
（2）因为，且，所以.
设的外接圆半径为，则.（7分）
由正弦定理可得，
则.
所以的面积.（13分）
16．（15分）
如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.
(1)求的长；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为平面，平面，
所以，
所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以在中，由余弦定理，得.（5分）
（2）所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
设点到平面的距离为，
由三棱锥的体积公式和性质，
得，所以.（10分）
（3）由上可知：，取的中点，显然，
因为平面，平面，
所以，
因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
，
由上可知：是棱中点，，
所以可得，，即
设平面的法向量为，
，
所以，
所以取该平面的一个法向量为，（13分）
设直线BC与平面PAB所成角为，
所以.（15分）
17．（15分）
某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会.
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
【答案】(1)
(2)96000元
【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”，
设事件表示“第i次闯关成功” ，
，
，
第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为；（4分）
（2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形：
第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功；
第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功.
故 ，（6分）
设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元.
由题知，，
故 ，（8分）
所以，
商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. （15分）
18．（17分）
已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【详解】（1）由题意有，所以.
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.
又，所以.
所以，即，解得.
所以，，故的标准方程为． （3分）
（2）（ⅰ）设，，，则，由题意有．
直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程.
所以，又，在椭圆上，
∴，∴.
∴，
∴.（13分）
（ⅱ）∵，
而，，
由（ⅰ）知，
∴，又，
∴，
∴.
当且仅当，即时等号成立.
所以．的最小值为．（17分）
19．（17分）
已知a为实数，函数，函数.
(1)若在区间上单调递减，求a的取值范围；
(2)求函数极值点的个数；
(3)当时，证明：，，使.
【答案】(1)
(2)0
(3)证明见解析
【详解】（1）函数，求导得，
由在上单调递减，得，恒成立，
函数在上都递增，则函数在上递增，
则当时，取得最小值，因此，
所以的取值范围为；（3分）
（2）函数的定义域为，求导得，
函数极值点的个数，即在区间上的变号零点的个数，
令，求导得，函数在上都递减，
则函数在上递减，而，，
于是存在，使，即，，（5分）
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，
因此，
而当时，，即，则，函数无零点，
所以函数的极值点的个数为0；（8分）
（3）当时，函数，
令，
求导得，当时，；
当时，，
函数在上递增，在上递减，则，
即，当且仅当时等号成立；（13分）
令，求导得，
函数在上递增，
则当时，，即，
因此，
即，
由（2）得函数在上递减，，
即，，
所以，，使.（17分）