河北省石家庄市第二中学教育集团2023−2024学年高二下学期 数学期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份河北省石家庄市第二中学教育集团2023−2024学年高二下学期 数学期末考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）
A．42B．56C．30D．72
5．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高．某学校社会调查小组通过调查得到如下数据：
若与之间具有线性相关系，老张年个人消费支出总额为2.8万元，据此估计其恩格尔系数为（ ）
（参考数据：；参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为）
A．0.148B．0.138C．0.248D．0.238
6．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．关于函数下列结论正确的是（ ）
A．图象关于轴对称B．图象关于原点对称
C．在上单调递增D．恒大于0
11．水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（ ）
A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量，则
B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量，则
C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为
D．记事件“第轮甲轮空”，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在处有极值10，则实数 ．
13．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ．
14．已知函数有两个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
16．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
17．电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
(1)求的值；
(2)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整）
附：，其中．
若，则，，
18．设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数．
(1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围．
19．已知函数有三个极值点，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)若2是的一个极大值点，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【分析】求解一元二次不等式得全集，借助于数轴进行补集运算即得.
【详解】由可得，，即，
而，故.
故选D.
2．【答案】A
【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围.
【详解】由，得，
因为不等式成立的一个必要不充分条件是，
所以.
故选A.
3．【答案】B
【分析】根据二项式定理的性质，采取赋值法即可解决．
【详解】令，则，即．
故选B.
【思路导引】令，结合二项式定理的性质即可计算出结果.
4．【答案】B
【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.
【详解】增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.
故选B.
5．【答案】A
【分析】结合题意求出，然后进行求解即可.
【详解】，，
故，
则，所以老张的恩格尔系数为．
故选A．
6．【答案】C
【分析】构造函数，可判断在上的单调性，根据单调性即可求解.
【详解】令，，则，
所以在单调递减，因为，所以，
时，不等式化为，即，即，所以，
所以不等式的解集为.
故选C.
7．【答案】A
【分析】根据条件得到，，从而得出函数是周期为的周期函数，再根据条件得到，即可求出结果.
【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称，即，
由题知，又是偶函数，所以，
则，则，
又，所以，得到，
所以，又由，得到，
所以①，②，
由①②得到，所以函数是周期为的周期函数，
由①得到，又，所以，
故，
故选A.
8．【答案】B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况
有种，而满足恰有个元素的有种；
故满足题意的概率为：，
故选B
【方法总结】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维.
9．【答案】ABC
【分析】对于A，运用常值代换法可得，正确；对于B，将条件等式取平方后，运用常值代换法即可推得正确；对于C，直接运用基本不等式，检验等号成立条件即得；对于D，利用基本不等式推得，运用对数函数的单调性得到,排除D.
【详解】对于A，由，
当且仅当时等号成立，因为，则得，故A正确；
对于B，由取平方得，，
则
，当且仅当时等号成立，
因为，故得，故B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，
因为，则，故C正确；
对于D，由可得，当且仅当时等号成立，
因为，则有，因为，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【解析】利用函数的奇偶性,单调性直接求解.
【详解】 函数定义域为,
①因为
,
故函数为偶函数,所以A正确;
②由①知,函数为偶函数,所以B错误；
③当时,,且在单调递减，
当时,,
且在单调递减,
而,故在单调递减,
又由为偶函数,故在上单调递增,所以C正确;
④由①知, ,当,,,,
故此时.故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【分析】对于A，运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得；对于B，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于C，运用条件概率公式计算；对于D，运用全概率公式化简得到递推式，构造等比数列即可求出概率表达式.
【详解】对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件：
①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜，
故，故A正确；
对于B，依题意，易得，故B错误；
对于C，设“甲在第轮获胜”，
依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况.
则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为：
,故C正确；
对于D，因，且与互斥，
由全概率公式，,
故又，
则组成一个首项为，公比为的等比数列，
于是，，即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再代回函数检验是否符合题意即得.
【详解】由求导得，，
依题意，①，②，
联立① ② ，解得：或.
当，时，，
，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去；
当，时，，
，当时，，此时为减函数，
当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】先由条件求得和，再代入条件概率公式计算即得.
【详解】因，，则，
，
则.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】利用同构思想，设，将有两个零点转化成有两个根，继而又转化为与有两个交点，研究函数的图象，即可求得参数的范围.
【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则，
于是由题意知，有两个根，因为,则故与有两个交点.
由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，
且当时，，当时，，作出函数的简图.
由图可得，要使有两个根，需使，解得.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2)分布列见解析，．
【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解可得；
(2)根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望.
【详解】(1)该学生通过自主招生初试的概率，
(2)该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，
则，，，
所以的概率分布列为
．
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
(2)分和讨论即可；
(3)通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.
【详解】(1)因为对都有，
所以的图象关于直线对称，
又因为二次函数的最小值为，
所以可设二次函数的解析式为，
又因为是其一个零点，
所以，解得，
所以的解析式为.
(2)由(1)可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
.
(3)因为关于的不等式在区间上有解，
即不等式在上有解，所以，
记，因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以，即，
故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.
17．【答案】(1)2；
(2)（i）能被评为“反诈标兵”；（ii）2198人.
【分析】(1)完善列联表，计算卡方值，依题得到不等式，求解即得；
(2)（i）依题意求出，由即可判断；（ii）利用正态曲线的对称性，计算出，即可估计出学生总人数.
【详解】(1)完成列联表：
则，依题意，，
解得，，因，则；
(2)（i）依题意，，因为，故该同学可被评为“反诈标兵”；
（ii）因为,
则估计参与本次知识竞赛的学生人数约为人.
18．【答案】(1)①不是，②是，理由见解析；
(2).
【分析】(1)由，结合“无奇”函数的定义即可判断①；由恒成立，即可判断②；
(2)若函数不是“无奇”函数，将其转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数的取值范围，最后求其补集即得.
【详解】(1)对于函数①，因为，符合，故不是“无奇”函数；
对于②，由
因为，故恒成立，即是“无奇”函数.
(2)假设不是“无奇”函数，则方程有解，
即，即有解.
令，则，当且仅当时取等号，
则，因为，则，，
从而，，即需使，得，
因为函数是“无奇”函数，故或.
即实数的取值范围为.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用函数极值点个数可得在上至少有三个实数根，即可知在有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出的单调性并在同一坐标系下画出函数与函数的图象即可求得实数的取值范围；
(2)根据(1)中的结论可得，将要证明的不等式化为，利用分析法可得需证明，由的单调性可知，化简可得，构造函数即可得出证明.
【详解】(1)根据题意可知，函数的定义域为，
则，
由函数有三个极值点可知在上至少有三个实数根；
显然，则需方程，也即有两个不等于2的不相等的实数根；
由可得，，
令，则，
显然当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
所以，
画出函数与函数在同一坐标系下的图象如下图所示：

由图可得且时，在上有两个不等于2的相异的实数根，
经检验可知当时，导函数在左右符号不同，即均是的变号零点，满足题意；
因此实数的取值范围是.
(2)证明：根据题意结合(1)中的图象，由可知，
若2是的一个极大值点，易知函数在上单调递减，可知；
因此是方程的两个不相等的实数根，即
所以，
同理可得，
所以
由可知,
所以
又，要证，
即证，也即，所以；
只需证，即可得；
由(1)可得，所以可得，
且根据(1)中结论可知函数在上单调递减；
所以要证，即证，又，即，
即证，即，
可得，即，可得，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
即，所以，即在上单调递减；
因此，所以 .
年个人消费总额万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数
0.9
0.8
0.5
0.2
0.1
性别
不了解
了解
合计
女生
男生
合计
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
2
3
4
性别
不了解
了解
合计
女生
男生
合计