河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由直线和 x 轴垂直即可判断.
【详解】因为直线 垂直于 x 轴，
故该直线的倾斜角为 .
故选：C.
2. 点 到直线 的距离为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】代入点到直线 距离公式，即可求解.
【详解】点 到直线 的距离 ．
故选：D
3. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若 A 是 上一动点，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求得 ，结合椭圆的定义求得 的周长.
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【详解】在椭圆 C 中， ，
由椭圆的定义可得 ，
则 的周长为 .
故选：C
4. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一动点，且在 轴上方， 为 上一动点，且
轴，若 ，则点 的纵坐标为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点 ，表示出点 的坐标，再利用抛物线的定义列式求解.
【详解】设点 ，由 轴，得 ，且 ，
又 ，则 ，又 ，所以 .
故选：A
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 截 C 的两
条渐近线所得的线段长为 ，则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件确定 ，再根据焦距公式和双曲线的性质，即可求解.
【详解】设 ，则 ，故 ，由题意可得 ，故
，所以 C 的方程为
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故选：B．
6. 记椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，若 ，则
（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆、双曲线离心率 计算公式列出等式，求解即可.
【详解】 ，
则 ，即 ，
由 ，可知 ，于是 ．
故选：C．
7. 已知点 A，B 位于直线 上，其中点 A 在 x 轴上，点 C 是平面 xOy 中的一点，若 为
正三角形，则直线 AC 的斜率为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定直线 的倾斜角，再利用两角和差的正切公式，即可求斜率.
【详解】因为点 A 在 x 轴上，且在直线 上，所以 ，
易知直线 l 的倾斜角为 ，若 为正三角形，
则直线 AC 的倾斜角为 或 ，即 或 ，
故直线 AC 的斜率为 ，
或 .
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故选：D
8. 已知双曲线 ，抛物线 .若 与 在第一象限内有唯一交点
，则点 的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】
【分析】联立双曲线与抛物线方程得 0，利用 求出点 的横坐标即可得答案.
【详解】因为 与 在第一象限内存在交点，所以 ，
又 ，所以 .联立 得 0，
由对称性可知 与 在第四象限的交点的横坐标与点 的横坐标相等，
故 仅有一解，所以 ，得 ，
所以 .将 代入 得 ，
所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
则 ，轨迹是圆的一部分.
故选：A.
二、多选题
9. 对于直线 ，下列说法正确的有（ ）
A. 直线在 轴上的截距为 1
B. 直线 与直线 垂直
C. 直线 的一个方向向量为
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D. 直线 到直线 的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求直线 与 轴的交点，判断 A，根据两直线的斜率关系，判断 B，根据斜率和方向向量的关
系，判断 C，代入平行线间距离公式，判断 D.
【详解】对于 A，直线 显然经过点 ，所以直线 在 轴上的截距为 ，故 A 错误；
对于 B，由 可得 ，直线 的斜率为 ，而直线 的斜率为 1，故直线 与直线
互相垂直，故 B 正确；
对于 C，若直线 的斜率为 ，所以一个方向向量为 ，故 C 正确；
对于 D，由直线 到直线 的距离为 ，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知双曲线 的上下焦点为 ， ，点 P 为 E 上一点，且 ，则（ ）
A. E 的虚轴长为 6
B.
C. E 的渐近线方程为
D. 点 到直线 的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的虚轴、焦半径、渐近线和等面积法对选项进行分析，从而确定最大值.
【详解】依题意， ，双曲线的焦点在 轴上.
A 选项，双曲线的虚轴长 ，故 A 错误；
B 选项，由于 ，故点 P 为双曲线 E 上支上一点，
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故 ，解得 ，故 B 正确；
C 选项，由 ，得双曲线的渐近线方程为 ，故 C 错误；
D 选项， ， ，故 ，
于是 的面积 ，
故点 到直线 的距离 ，故 D 正确；
故选：BD.
11. 设 O 为坐标原点，抛物线 的准线 ，P 为 C 上不与 O 重合的动点，以 P 为圆心，
1 为半径作圆，过点 作圆 P 的两条切线交圆 P 于 M,N 两点，则（ ）
A. l 始终与圆 P 相离 B. 无最值
C. 存在点 P，使得 D. 时，P 到 l 的距离为 3
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于 B，先求出 的取值范围，再根据
等面积求出 的表达式，推得 ，即可判断；对于 C，通过计算 的斜率，利用
，可判断 不重合，排除该项；对于 D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从
而排除 D 项.
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【详解】
对于 A，因抛物线 的准线 ，则 ，解得 ，故 ．
设 ，则 ，那么 P 到 l 的距离为 ，即 l 与圆相离，故 A 正确；
对于 B，设点 ，则 ，
因 ，则四边形 AMPN 的面积为 ，
可得 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，AP 的斜率为 ，而 OP 的斜率为 ，
两者相等当且仅当 ，而这与题意矛盾，所以 与 不可能垂直，故 C 错误；
对于 D，运用反向思考，若点 P 到 l 的距离为 3，则易得 ，由对称性，不妨取 ，
则 ，由已知 ，且 ，可得 O，M，P 三点共线，
由 ，可得 ，
此时 PM 斜率为 ，而 AM 的斜率为 ，
此时， ，即 AM 与 PM 不垂直，这与题意矛盾，故 D 错误．
故选：AB．
三、填空题
12. 直线 恒过定点的坐标为_____．
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【答案】
【解析】
【分析】由直线方程得到 ，进而可求解.
【详解】直线 ，
即 ，
联立可得 ，∴ ，
即直线 恒过定点 .
故答案为：
13. 已知椭圆 C： （ ）的右焦点为 ，若点 F 到 C 的上顶点的距离是点 F 到 C
的右顶点的距离的 2 倍，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据条件，列出关于 的方程，即可求解.
【详解】设椭圆 C 的半焦距为 ，则 结合 ，可得 ，
因为 C 的右焦点为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 ，过 作倾斜角分别为 的两条直线 ，且 分别与 C 交
于不与 P 重合的 A，B 两点，则 的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】求得直线 的方程，求得 两点的坐标，判断出 是直角三角形，进而计算出 的
面积.
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【详解】将 的坐标代入 C 的方程，成立，故点 P 在双曲线 C 上，
过点 ，倾斜角为 ，其斜率 ，
则 的方程为 ，即 ，
代入 C 的方程 ，化简可得 ，解得 或 （舍），
当 时， ，故点 A 的坐标为 ，
直线 过点 ，倾斜角为 ，其斜率 ，
则 的方程为 ，即 ，
代入 C 的方程 ，化简可得 ，解得 （舍）或 ，
当 时， ，故点 B 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，所以 是直角三角形，
且 ，
故 .
故答案为：5
四、解答题
15. 已知圆 与圆 ．
（1）若圆 与圆 D 相交，求 的取值范围．
（2）若 ，求圆 与圆 所得的公共弦长；
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解；
（2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解.
【小问 1 详解】
圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径为 3，则 ，
由圆 与圆 D 相交得 ， ，解得
所以 的取值范围是 ；
【小问 2 详解】
当 时，圆 ，
圆 C 与圆 D 的方程相减整理得 ，
所以圆 C 与圆 D 的公共弦所在直线方程为 ，
点 到直线 距离为 ，
所以公共弦长 ；
16. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ．
（1）求 E 的方程；
（2）记坐标原点为 O，直线 与 E 交于 A，B 两点，若 ，求 m 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的方程.
（2）联立直线 的方程与椭圆 的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得 的值
.
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【小问 1 详解】
依题意， ，解得 ，
故 E 的方程为 ．
【小问 2 详解】
，联立 ，
消去 可得 ，显然 ，设 ， ，
则 ， ，
于是，
，
即 ，可得 （舍）或 ，故 ，
17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的焦点为 ，动直线 l 过点 ，且点 F
到 l 的距离的最大值为 1
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 l 与 C 交于相异的 A，B 两点，证明： 为钝角三角形.
【答案】（1）
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（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解法一：写出焦点到直线的距离公式，根据距离最小值，即可求解；解法二，利用几何意义，
直接列式 ，即可求解；
（2）首先直线 与抛物线方程联立，利用韦达定理表示 ，即可证明
【小问 1 详解】
解法一：抛物线 C 的焦点为 ，
由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ，即 ，
点 F 到 l 的距离 ，d 取最大值，当且仅当 取最小值，即 ，
此时 d 取到最大值 1，即 ，解得： 或 ，
又 ，故 所以抛物线 C 的方程为
解法二：因为动直线 l 过点 ，
所以点 F 到直线 l 的距离的最大值为点 F 到点 的距离，
即 ，解得： 或 ，
又 ，故 ，所以抛物线 C 的方程为
【小问 2 详解】
证明：由题意知直线 l 斜率存在，设直线 l 的方程为
联立 ，得 ，则
，
所以 ，
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则 ，
易知点 O，A，B 不共线，故 和 的夹角 为钝角，
故 为钝角三角形.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中， ，曲线 上有两点 A，B，当 时，
.
（1）求曲线 E 方程；
（2）若点 A 在曲线 E 的右支上，点 B 在曲线 E 的左支上，点 A，B，O 三点不共线，且 ，
试判断直线 AB 是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，
【解析】
【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点 的坐标，代入双曲线方程，即可求解；
（2）首先设直线 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示 ，即可求
解.
【小问 1 详解】
由 得 ，又 ，
所以 ，故点 在曲线 E 上，所以 ，解得 ，
故 的方程为 .
【小问 2 详解】
判断：直线 AB 恒过一个定点；
由图形关系可知点 A，B 在 x 轴异侧，
故由 可得直线 AF，BF 的斜率互为相反数
设 ，
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联立 ，可得
所以
而直线 AF，BF 的斜率之和为
即
= ，
而 ，故 ，
所以直线 AB 过定点 .
19. 设 为曲线 不过原点的部分曲线.
（1）求 与 轴， 轴的交点坐标；
（2）求 围成的图形面积；
（3）若直线 与 有且仅有两个公共点，求 的取值范围.
【答案】（1）与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据曲线方程，令 和 ，得到相应的方程求解即可；
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（2）分当 ， ， 和 四种情况，得出曲线围成的图形，从而
将问题转化成 个半圆的面积及 个直角三角形的面积和，即可求解；
（3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解.
【小问 1 详解】
令 ，得到 ，当 时， ，解得 （舍）或 ，
当 时， ，解得 ，所以 与 轴的交点坐标 ；
令 ，得到 ，当 时， ，解得 （舍）或 ，
当 时， ，解得 ，所以 与 轴的交点坐标 ，
所以 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ；
【小问 2 详解】
当 时，由 得到 ，
即 ，
其图象在以 为圆心，半径为 的圆上，
当 时，由 得到 ，即 ，
其图象在以 为圆心，半径为 的圆上，
当 时，由 得到 ，即 ，
其图象在以 为圆心，半径为 的圆上，
当 时，由 得到 ，即 ，
其图象在以 为圆心，半径为 的圆上，
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所以曲线 围成的图象如图所示，由（1）知 ，
又直线 的方程为 ，易知 直线 上，
直线 的方程为 ，易知 在直线 上，
直线 的方程为 ，易知 在直线 上，
直线 的方程为 ，易知 在直线 上，
所以曲线 围成的图形面积为 个半圆的面积及 个直角三角形的面积和，
即
；
【小问 3 详解】
当直线 与圆 相切时，得到 ，
解得 或 ，所以直线 与圆 相切时，切点为 ，
当直线 与圆 相切时，得到 ，
解得 或 （舍），
当直线 与圆 相切时，得到 ，
解得 或 ，所以直线 与圆 相切时，切点为 ，
当直线 与圆 相切时，得到 ，
解得 （舍）或 ，
又曲线 不过原点，由图知，要使直线 与 有且仅有两个公共点，则 ，
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所以 的取值范围为 .
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