2024-2025学年河北省保定市唐县高二上学期12月期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市唐县高二上学期12月期末数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．在数列中，若，则下列数是中的项的是（ ）
A．4B．4C．D．3
3．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（ ）
A．B．
C．D．无最大值
5．棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．若，且，则D．若且，则
10．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．椭圆离心率为
B．
C．若，则的面积为
D．最大值为
11．已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆的位置关系是相切B．直线l与圆的位置关系是相离
C．圆与圆的公共弦长是D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是等差数列的前项和，且，，则 .
13．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为
14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足，.
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
16．已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线l的斜率存在且过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程．
17．已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2．【正确答案】B
【详解】由，，
，可知以3为周期，依次为，显然B正确.
故选：B
3．【正确答案】B
【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，
又为的前项和，则成等比数列，公比为，
于是，
所以.
故选：B
4．【正确答案】B
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，
当时，；当时，；
可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，
所以，故C错误；
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】因为，
所以，
又，，，，
所以．
故选：A．
6．【正确答案】A
【详解】因为两条直线与，
所以，
所以与间的距离为，
所以圆心到直线的距离为1，
因为直线被圆截得的弦长为2，
所以圆的半径为，
所以圆的面积为.
故选：A.
7．【正确答案】C
【详解】

由题知，解得，，
所以椭圆，
设，，，
设的圆心为，半径为，则，，
因为与圆相切，
所以
，
当时，.
故选：C.
8．【正确答案】D
【详解】由题意可得，，，，，
于是有，
所以，，，
，，，
将以上个式子相加，得，
所以，
所以
.
故选：D.
9．【正确答案】BC
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；
对于B，因为，，所以，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得，所以C正确，
对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误.
故选BC.
10．【正确答案】BCD
【详解】由椭圆方程可知，，，，
所以椭圆的离心率，故A错误；
由椭圆定义知，故B正确；
又，因为，所以，
，
解得：，所以的面积为，故C正确；
因为，即，
设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】BC
【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项.
【详解】对于选项A: 因为圆：，所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误；
对于选项B: 因为圆：，所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确；
对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：，
所以圆心到的距离为，
所以公共弦长为，故选项C正确;
对于选项D：因为，且，
所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）, 故选项D错误;
故选：BC.
12．【正确答案】51
【详解】由得，所以由，得，
所以.
故51.
13．【正确答案】/
【详解】设, ，则 ①, ②,
∵是线段的中点,
∴
故过点作斜率为的直线的方程是，
∴
①②两式相减可得:
∴.
∴.
∴
∴
∴
故答案为:.
14．【正确答案】
【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，
由题知，焦点，，．
因为直线的斜率为，所以为正三角形，
所以，，
所以．
记关于直线的对称点为，则．
当，，三点共线时，，
所以周长的最小值为．
故
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为.
又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列.
（2）由（1）有，可得，
所以有.
16．【正确答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：右焦点到渐近线的距离为，
又双曲线C过点，所以，解得，
所以双曲线C的方程为．
（2）由（1）可知：右焦点坐标为，由题意，直线的斜率存在，
设，联立
消去y得：，
所以，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以
．
解得，即，满足．
所以直线的方程为，或．
17．【正确答案】(1).
(2).
【分析】
（1）根据题中给出得递推关系式，以及，即可求解数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.
(1)
由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴数列的通项公式为.
(2)
由（1）得，∴.
∴，
即，
，
两式相减，得，
∴.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，
【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
为棱的中点，
，
（i），，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，
则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是
,
，，
.
19．【正确答案】(1)
(2)是，定点（0，±10），理由见解析
【详解】
（1）由新定义得出的关系，结合可求得；
（2）设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0），写出方程求得点坐标，同理得点坐标，然后可得出以线段MN为直径的圆的方程，由方程可确定定点坐标．
(1)
因为椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b=a+c，
所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化简得．
(2)
过定点（0，±10），理由如下：
由得，由得，
椭圆方程为：，所以A（0，8），设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0），
所以直线AP的方程为：，令y=0，得，所以，
同理可得，所以以MN为直径的圆的方程为，
结合，化简得，令x=0，得y=±10，所以该圆恒过定点（0，±10）．