河北省2024-2025学年高一(上)1月期末数学试卷（解析版）

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这是一份河北省2024-2025学年高一(上)1月期末数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由解得，由解得，
所以，，所以,
故选：B.
2. 函数的零点所在区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为均在上单调递增，则在上单调递增，由已知，，，，，
，
由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是.
故选：C.
3. “”是“是幂函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若是幂函数，则，得，
所以“”是“是幂函数”的充要条件，
故选：B.
4. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径，
则扇形面积
故选：A.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
所以，，的大小关系是.
故选：A.
6. 已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，得，，则点的坐标为，
根据三角函数的定义，所以．
故选：B.
7. 函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，即，解得.所以函数的定义域为，
又的对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是.
故选：B.
8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（）（参考数据：）
A. 1.921B. 1.301C. 1.875D. 1.079
【答案】A
【解析】由题意可得
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由，，得，A正确；
当时，，B错误．
因为是增函数，，所以，C正确；
因为是减函数，，所以，D错误；
故选：AC.
10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】令，即.
因为，所以无解，
则不是“不动点”函数，A不正确；
令，即，即.
因为，所以有两个不同的非零实根，
则是“不动点”函数，B正确；
令，即，
易知是方程的一个解，
则是“不动点”函数，C正确；
当时，令，即，解得或，
则方程在上无解；当时，，
则方程在上无解.故不“不动点”函数，D 不正确；
故选：BC.
11. 若函数，则下列结论正确的是（）
A. 的值域为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】因为，
的值域为，故A正确．
由，得，所以在上先增后减，故B错误．
因为，所以的图象关于点对称，故C正确．
由，得，
由，得，
由正弦函数的图象可得，解得，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示）
【答案】
【解析】与角终边相同的最小正角是，即，
故答案为：.
13. 函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】由得，则定义域为．
因为在上都是增函数，
所以在上是增函数，
所以的最小值为．
故答案为：1.
14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低．
【答案】
【解析】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．
由题意得，则总运费，
要使总费用最低，只需最小即可．
设，则，
得，则，得．
当时，总费用最低，则，得，
所以当地到地的距离为时，总运费最低．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求的值；
（2）若，求的值．
解:（1）．
（2）．
16. 已知函数（，且）的图象过点，．
（1）求，的值；
（2）求不等式的解集．
解：（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
（2）由（1）得，
由，得，所以，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为.
17. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）由解得，
所以．
（2）由，得，
则，
所以．
18. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增．
（1）求．
（2）若，，证明：．
（3）求不等式的解集．
解：（1）因为是定义在上的偶函数，
所以，解得.
（2）由（1）得，由，得，，
因为在上单调递增，所以，
所以，
又是定义在上的偶函数，
所以．
（3）由且是定义在上的偶函数，在上单调递增得，
解得，即不等式的解集为．
19. 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
（3）若函数在上有3个零点，求的取值范围．
解：（1）由题意得.
（2）因为是增函数，当时，
由得，
由正弦函数的图象可知，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
（3）令，则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，
由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，解得，
综上的取值范围为．