河北省高二上学期12月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省高二上学期12月期中考试数学试题（解析版）-A4，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.
【详解】解：抛物线的标准方程为，
所以焦点坐标为，其准线方程为，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为，
故选：B
2. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A. 6B. 3C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义即可求出.
【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，
则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.
故选:D.
3. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：D.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ）
A. 7B. 3C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用点的纵坐标表示的面积，再借助范围求出最大值即可.
【详解】依题意，椭圆半焦距，设点，则，
因此面积，
则，即，而，解得，
所以.
故选：A
5. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.
【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
可变形为.
所以有，即，解得.
故选：A.
6. 已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（ ）
A. 2或4B. 6或12C. 4或16D. 2或18
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据抛物线的定义求解；
【详解】
设，代入抛物线，解得：，
又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得：
化简得：
解得：或18.
故选：D.
7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
8. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解.
【详解】设代入椭圆方程，则
整理得：设，
又，,所以
而，所以，所以
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ）
A. 实轴长相等B. 离心率相等
C. 焦距相等D. 焦点到渐近线的距离相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可
【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，
所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，
所以焦点到渐近线的距离为，
双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，
所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，
所以焦点到渐近线的距离为，
综上，两条双曲线只有焦距相等，
故选：ABD
10. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，
则有，解出其范围结合选项即得.
【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，
∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.
故选：BD
11. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若，则△PMF的面积为2
C. |的最大值为
D. △PMF的周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值.
【详解】，，，准线方程为，故A正确；
根据抛物线定义得，，,
轴，当时，，
若点在第一象限时，此时,
故，的高为1，故，
若点在第四象限，此时，故，
的高为1，故，故B错误；
，,故C正确；
（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，
图对应如下）
过点作准线，垂足为点，
的周长，
若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，
此时,
故周长最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ______
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得的值，进而求出抛物线的方程．
【详解】由双曲线的方程可得，解得，
所以双曲线的焦点坐标为，
抛物线准线方程为，
由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为：，
故答案为：．
13. 已知椭圆，偶函数，且，则椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶性求m，由可得b的范围，然后可得离心率范围.
【详解】是偶函数，
，
，解得，
，
，
又，
，．
故答案为：
14. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。
【详解】原方程可化为，
其几何意义为点到0,4，距离之差的绝对值等于，
则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，
又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，
令得，所以原方程的解为。
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长等于20，离心率等于．
【答案】（1） （2）或.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点,,得出,代入方程即可.
（2）由条件可得,则可得,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.
【详解】解:（1）设椭圆方程为:,因为椭圆经过点,,
,分别为左顶点和下顶点, 所以得,
所以椭圆标准方程为.
（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于
依题意: ,所以，由即
所以椭圆标准方程为:或.
16. 已知圆的方程为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；
（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.
【小问1详解】
方程可化为，
∵此方程表示圆，
∴，即，即.
【小问2详解】
由（1）可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由弦长公式及，得，解得，
∴，得．
17. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上，
（1）求的标准方程；
（2）若点，在上，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程；
（2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点.
【小问1详解】
将代入抛物线方程，解得，
将代入抛物线方程，解得，
将代入抛物线方程，解得，
根据题意可知，
∴的标准方程为
【小问2详解】
∵，∴，
∴设直线，
则联立方程组得，即，
∴，∴，
∴，
∴直线过动点.
18. 在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的第二定义列出等式，整理即可得曲线的方程为；
（2）设直线方程为并于椭圆方程联立，由直线与椭圆相切可得，同理可知是关于方程的两个根，可求得直线的方程为.
【小问1详解】
根据题意可得，即，
整理可得，
因此曲线的方程为；
【小问2详解】
如下图所示：
设，则，
又点不在坐标轴上，所以且；
因此直线的方程为，直线的方程为，
又直线与椭圆相切与点，
联立整理可得
可得，即，
整理可得，
又，可得；
直线与椭圆相切与点，同理可得，
所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
因此，
再由可得，即；
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为.
【点睛】方法点睛：在求解直线与椭圆相切问题时，可联立直线和椭圆方程再利用判别式为0可得关系式，再由韦达定理可求得参数之间的关系，即可求得直线的斜率为，可得直线方程.
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的焦距为8．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，．求证：点A在以线段为直径的圆上．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程，焦距，即列方程组求出即可；
（2）分斜率是否为零，当斜率不为零时，设直线的方程，，直曲联立，表示出韦达定理，再用坐标表示，结合韦达定理化简即可；
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】

由（1）可得，
当直线的斜率为零时，直线方程为，与双曲线的两交点为实轴顶点，显然成立；
当斜率不为零时，设直线的方程为，，
联立，消去得，
，
，
，
，
将和代入可得，
整理可得，
所以，
所以，即，即点A在以线段为直径的圆上，
综上，点A在以线段为直径的圆上.